重积分概念与计算.pptx

1.二重积分的定义二重积分的定义一、二重积分的概念与性质一、二重积分的概念与性质 第1页/共38页积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素注：注：第2页/共38页(3)几何意义：几何意义：当被积函数大于零时，二重积分是柱当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值D D(5)面积元素为面积元素为二重积分可写为二重积分可写为第3页/共38页性质性质当当 为常数时为常数时，性质性质（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）2.二重积分的性质二重积分的性质第4页/共38页性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质 若若 为为D的面积，的面积，性质性质 若在若在D上上推论推论(1)则有则有第5页/共38页性质性质（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）第6页/共38页 二二重重积积分分定定义义为为积积分分和和式式的的极极限限如如果果直直接接用用二二重重积积分分的的定定义义去去计计算算它它的的值值，是是相相当当困困难难的的，甚甚至是不可能的至是不可能的.下面我们根据二重积分的下面我们根据二重积分的几何意义几何意义曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积来来导导出出二二重重积积分分的的计计算算方方法法.这这个个方方法法就就是是把把二二重重积积分分的的计计算算转转化化为为接接连连计计算算两两次次定定积积分，即二次积分分，即二次积分.二、利用直角坐标计算二重积分二、利用直角坐标计算二重积分 第8页/共38页设函数设函数 在区域在区域 上连续上连续,且当且当 时，时，如果区域如果区域 是由直线是由直线 ，与曲线与曲线 所围成所围成(称为称为 型区域型区域),),如下图如下图,即即 型区域的特点型区域的特点:在在 内任取一点内任取一点 过过 作平行于作平行于 轴的直线轴的直线,则该直线与则该直线与 的边界曲线的交点不多的边界曲线的交点不多于两个于两个第9页/共38页为确定曲顶柱体的体积为确定曲顶柱体的体积,可在可在 处用垂直处用垂直 轴的平面去截曲轴的平面去截曲顶柱体顶柱体,设其截面面积为设其截面面积为 是区域是区域 上以曲面上以曲面 为为顶顶的的曲曲顶顶柱柱体体的的体积体积.由二重积分的几何意义知由二重积分的几何意义知:第10页/共38页从而从而其中其中是垂直于是垂直于 轴的平面与曲顶柱体相交部分轴的平面与曲顶柱体相交部分的面积的面积.即即 是一个是一个曲边梯形曲边梯形的面积的面积.由由定积分的应用定积分的应用可知：已知可知：已知平行截面面积平行截面面积的立体的体积的立体的体积公式为公式为第11页/共38页从而从而(1)(1)对固定的对固定的 ,此曲边梯形此曲边梯形的的曲边曲边是由方程是由方程确定的关于确定的关于 的一元函数的一元函数的曲线的曲线,而底边沿着而底边沿着 方方向从向从 变到变到 .故故其面其面 积为积为第12页/共38页通常写成通常写成(2)(2)这样，我们就把计算二重积分的问题化为计算两次这样，我们就把计算二重积分的问题化为计算两次定积分的问题。第一次计算定积分定积分的问题。第一次计算定积分时，时，看作是常量，看作是常量，是积分变量；第二次积分时，是积分变量；第二次积分时，是积分变量是积分变量.这是先对这是先对 ，后对，后对 的两次积分的两次积分(适合于适合于 型区域型区域).).第13页/共38页类似地类似地，如果，如果D D是是Y Y型区域型区域,可用垂直于可用垂直于 轴的平面轴的平面去截曲顶柱体去截曲顶柱体,此时此时D D为为这是先对这是先对 ，后对，后对 的两次积分的两次积分.第14页/共38页如果去掉以上结论中关于如果去掉以上结论中关于 的限制，则上述结论仍是成立的的限制，则上述结论仍是成立的.几点说明：几点说明：则则（）若区域）若区域D D是一个矩形，即是一个矩形，即D D为为（）若函数可积，且）若函数可积，且D D为为第15页/共38页（）上面所讨论的积分区域）上面所讨论的积分区域 是是 型或型或 型区域，即平行于型区域，即平行于 轴或轴或 轴轴的直线与区域的直线与区域 边界曲线的交点不多边界曲线的交点不多于两点于两点.若若 不满足这个条件不满足这个条件,可将可将分块分块.再应用积分的分域性质来计算再应用积分的分域性质来计算.且且则则第16页/共38页由于二重积分归结于计算两个定积分由于二重积分归结于计算两个定积分,因此计算重因此计算重积分本身没有新困难积分本身没有新困难,对于初学者来说对于初学者来说,感到困难的感到困难的是如何根据区域是如何根据区域 去确定两次积分的上、下限去确定两次积分的上、下限.建建议读者先将区域议读者先将区域 的图形画出，再写出区域的图形画出，再写出区域 上的上的点的点的坐标所要满足的不等式坐标所要满足的不等式以确定积分的上、下限以确定积分的上、下限.定限法则定限法则:就就 型区域而言型区域而言后积先定限后积先定限,域内穿射线域内穿射线,先交为下限先交为下限,后交为上限后交为上限.如右图如右图第17页/共38页例例1 1 计算二重积分计算二重积分 ,其中其中 为矩形：为矩形：解解1 1 先积先积 再积再积解解2 2 先积先积 再积再积第18页/共38页例例2 2 计算二重积分计算二重积分 ,其中区域其中区域 为矩形：为矩形：解解 因为因为 ,所以所以或或先积先积 再积再积第19页/共38页 例例3 3 计算二重积分计算二重积分 .其中积分区域其中积分区域 分分 别如下图所示：别如下图所示：三角形；三角形；四分之一椭圆四分之一椭圆。解解 因为下图所示的三角形因为下图所示的三角形区域的斜边方程是区域的斜边方程是所以所以 可表示为可表示为第20页/共38页 前图所示的四分之一椭圆区域可表示为前图所示的四分之一椭圆区域可表示为因此因此第21页/共38页例例4 4 计算二重积分计算二重积分 ,其中其中 是是由由三三条条线线 所所围围成成的区域的区域.解解 易知积分区域可表为易知积分区域可表为于是于是第22页/共38页例例5.计算其中D 是抛物线所围成的闭区域.解解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共38页例例6.计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解解:由被积函数可知,因此取D 为X 型域:先对 x 积分不行,说明说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共38页例例7.交换下列积分顺序解解:积分域由两部分组成:视为Y型区域,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共38页例例8.计算其中D 由所围成.解解:令(如图所示)显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共38页积分的变量代换是计算积分的一个有效方法积分的变量代换是计算积分的一个有效方法,对二对二重积分也有类似的方法重积分也有类似的方法.在这类方法中极坐标变换在这类方法中极坐标变换最为常用最为常用.下面介绍怎样利用极坐标变换来计算二下面介绍怎样利用极坐标变换来计算二重积分重积分.在二重积分的计算中在二重积分的计算中,如果积分域是圆域或部分圆如果积分域是圆域或部分圆 域域,被积函数为被积函数为 形式形式,利用极坐利用极坐标变换来计算二重积分会十分方便标变换来计算二重积分会十分方便.二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共38页对应有在极坐标系下,用同心圆 r=常数则除包含边界点的小区域外,小区在内取点及射线 =常数,分划区域D 为机动 目录 上页 下页 返回 结束 域的面积第28页/共38页即机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面考虑如何把极坐标系下的二重积分化为二次积分.分三种情况来讨论:第29页/共38页设则1)极点在极点在D之外之外2)极点在极点在D的边界上的边界上第30页/共38页3)设极点设极点D之内之内机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共38页若 f 1 则可求得D 的面积思考思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试答答:问 的变化范围是什么?(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共38页解解机动 目录 上页 下页 返回 结束 第33页/共38页例例10.10.计算其中解解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第34页/共38页解解机动 目录 上页 下页 返回 结束 第35页/共38页练习练习1.交换积分顺序提示提示:积分域如图机动 目录 上页 下页 返回 结束 第36页/共38页解：解：原式2.给定改变积分的次序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第37页/共38页3.计算其中D 为由圆所围成的及直线解：解：平面闭区域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第38页/共38页