附录1-平面图形的几何性质.pptx

1.1 1.1 静矩和形心静矩和形心1.2 1.2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径1.3 1.3 平行移轴定理平行移轴定理1.41.4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩附录1 平面图形的几何性质 反映平面图形的反映平面图形的形状形状与与尺寸尺寸的的几何量几何量如：如：本章介绍：本章介绍：平面图形几何性质的面图形几何性质的定义定义、计算方法计算方法和和性质性质1.在轴向拉（压）中：在轴向拉（压）中：2.在扭转中：在扭转中：3.在弯曲中：在弯曲中：平面图形的几何性质平面图形的几何性质一、静一、静矩矩二、形心二、形心三、组合图形的静矩和三、组合图形的静矩和形心形心四、静矩的性质四、静矩的性质1.1 静矩静矩和和形心形心整个图形整个图形 A 对对 x 轴的静矩轴的静矩：整个图形整个图形 A 对对 y 轴的静矩：轴的静矩：ydA微面积微面积 dA 对对 x 轴的静矩轴的静矩xdA微面积微面积 dA 对对 y 轴的静矩轴的静矩定义：定义：一、静一、静矩矩（面积矩）（面积矩）其值：+、-、0 单位：m3 （各分力对任一轴的矩等于其合力对同一轴的矩）各分力对任一轴的矩等于其合力对同一轴的矩）有有 则则 xdA 和和 ydA 相当于相当于力矩力矩由由合力矩定理合力矩定理 将微面积将微面积 dA 看作是 力二、形心二、形心 组合图形组合图形由几个简单图形由几个简单图形（如矩形、圆形等）（如矩形、圆形等）组成组成的平面图形的平面图形如如：三、组合图形的静矩和形心三、组合图形的静矩和形心2.形心形心1.静矩静矩形心轴 图形对形心轴的静矩为零图形对形心轴的静矩为零 通过图形形心的坐标通过图形形心的坐标轴轴反之，反之，图形对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴图形对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴 性质性质 1：四、静矩的性质四、静矩的性质例例求半径为求半径为r的半圆形对其直径轴的半圆形对其直径轴y的静矩及其形心坐标的静矩及其形心坐标解解:z 轴是对称轴，轴是对称轴，通过形心。通过形心。zdzdAyzro例例 2 确定形心坐标确定形心坐标解：解：取参考坐标系取参考坐标系 xoy例例3：求图示截面的：求图示截面的Sy、Sx，及形心位置。，及形心位置。y120O801010 x解：将原截面化分为解：将原截面化分为 I、II 两部分两部分。y120O801010 xIIIy120O801010 xIII一、一、惯性矩与惯性积惯性矩与惯性积二、惯性二、惯性矩与极惯性矩的关系矩与极惯性矩的关系三、惯性积的性质三、惯性积的性质四、惯性半径四、惯性半径1.2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径整个图形整个图形 A 对对x 轴的惯性矩轴的惯性矩整个图形整个图形 A 对对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩y2dA微面积微面积 dA 对对 x 轴的惯性矩轴的惯性矩x2dA微面积微面积 dA 对对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩定义：定义：其值其值：+单位单位：m41.惯性矩惯性矩一、惯性矩与惯性积一、惯性矩与惯性积整个图形整个图形 A 对对 x 轴和轴和 y轴的惯性积轴的惯性积定义：定义：xydA微面积微面积 dA 对对 x 轴和轴和 y 轴的惯性积轴的惯性积 的坐标轴的坐标轴其值：其值：+、-、0 单位：单位：m4假设：假设：x 轴和轴和 y 轴为一对轴为一对相互垂直相互垂直2.2.惯性积惯性积即：即：平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和 性质性质 2：若若 x、y 轴为一对轴为一对正交正交坐标轴坐标轴二、惯性矩与极惯性矩的关系二、惯性矩与极惯性矩的关系1.1.矩形截面矩形截面常用图形的惯性矩：常用图形的惯性矩：由对称性由对称性3.环形截面环形截面2.圆形截面圆形截面当当 x、y 轴中轴中有一轴为对称轴有一轴为对称轴 在一对正交轴中，只要在一对正交轴中，只要有一个对称轴有一个对称轴，则该图形，则该图形对这对轴的对这对轴的惯性积为零惯性积为零。性质性质 3：三、惯性积的性质三、惯性积的性质 惯惯 性性 矩矩对对某一轴某一轴而言而言 极惯性矩极惯性矩对对某一点某一点而言而言特别指出：特别指出：惯惯 性性 积积对对某一对正交轴某一对正交轴而言而言图形对图形对 x 轴的轴的惯性惯性半径半径 单位：单位：m四、四、惯性半径惯性半径 在力学计算中，有时把在力学计算中，有时把惯性矩惯性矩写成写成即：即：图形对图形对 y 轴的轴的惯性惯性半径半径一、定理推导一、定理推导二、应用二、应用1.3 平行移轴定理平行移轴定理一、定理推导一、定理推导即：即：显然：显然：性质性质 3：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩 中，以对形心轴的惯性矩为最小。中，以对形心轴的惯性矩为最小。同理同理惯性矩和惯性积的平行轴定理惯性矩和惯性积的平行轴定理解：解：例例 1 求求 和和例例 2 求图示工字形截面对求图示工字形截面对x、y轴的惯性矩轴的惯性矩Ix、Iyxy解：将截面分成上翼缘、下翼缘和腹板三部分。解：将截面分成上翼缘、下翼缘和腹板三部分。xIIIIIIy 三三部部分分均均为为矩矩形形截截面面，其其对对自自身身形形心心主主惯惯性性轴轴的的惯惯性性矩矩为为已已知知，上上、下下翼翼缘缘自自身身的的形形心心主主惯惯性性轴轴与与x平平行行、腹腹板板的的形形心心主主惯惯性性轴轴即即为为x轴。轴。xIIIIIIyxIIIIIIy将将截截面面看看成成宽宽为为B，高高为为H的的矩矩形形截截面面，减减去去阴阴影影部分面积。部分面积。另法另法：xy例例3：求图示截面的形心主惯性矩。求图示截面的形心主惯性矩。250125125500120580解解：截截面面显显然然为为一一对对称称截截面面，对对称称轴轴即即为为形形心心主主惯惯性性轴轴(y轴轴)，找找到形心，则过形心与到形心，则过形心与y轴垂直的轴即为另一根形心主轴。轴垂直的轴即为另一根形心主轴。250125125500120580(1)求形心位置求形心位置将将截截面面分分为为、两两部部分分，x1轴轴与与下下底底边边重重合合，根根据据形形心心与与静静矩矩的关系：的关系：125125250500120580 xIIIC1C2Cyy125125250500120580 xIIIC1C2C(2)求形心主惯性矩求形心主惯性矩y125125250500120580 xIIIC1C2C举例举例求图形对其形心轴求图形对其形心轴 yC 的惯性矩的惯性矩 （长度单位（长度单位 mm)yIIy yC C解：图形由两个矩形解：图形由两个矩形 I I 和和 II II 所组成所组成图形的形心必然在对称轴上图形的形心必然在对称轴上 yC=0取图示参考坐标系取图示参考坐标系 y zzzC利用平行移轴公式计算利用平行移轴公式计算1001402020ICzC一、公式推导一、公式推导二、主惯性矩二、主惯性矩1.4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩1.4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩一、公式推导一、公式推导规定：规定：角逆时针转向为角逆时针转向为+两组坐标系之间的关系：两组坐标系之间的关系：代入代入显然显然性质性质5：平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个惯性矩之和为常数，且等于图形对该点的极惯性矩。惯性矩之和为常数，且等于图形对该点的极惯性矩。二、主惯性矩二、主惯性矩 1.定义定义主惯性轴主惯性轴惯性积为零的一对坐标轴，惯性积为零的一对坐标轴，简称简称主轴主轴主惯性矩主惯性矩图形对主惯性轴的惯性矩图形对主惯性轴的惯性矩形心主惯性轴形心主惯性轴通过图形形心的主惯性轴通过图形形心的主惯性轴形心主惯性矩形心主惯性矩图形对形心主惯性轴的惯性矩图形对形心主惯性轴的惯性矩性质性质6：图形的对称轴是形心主惯性轴图形的对称轴是形心主惯性轴2.主惯性轴的方位主惯性轴的方位 设主惯性轴的方位为设主惯性轴的方位为 0，对应的坐标轴为，对应的坐标轴为 x0、y0令令得到得到3.主惯性矩主惯性矩因因故故有有4.主惯性矩的性质主惯性矩的性质 当当Ix1取极值时，取极值时，对应对应的方位为的方位为 1 得到得到即：即：性质性质7：主惯性矩为极值惯性矩，其中一个为极大惯性主惯性矩为极值惯性矩，其中一个为极大惯性 矩矩Imax，另一个为极小惯性矩，另一个为极小惯性矩Imin。令令 解：解：例例 2 求图示图形的形心主惯性矩。求图示图形的形心主惯性矩。1.确定确定形心位置形心位置 2.求求 、和和 3.确定形心主惯性轴方位确定形心主惯性轴方位即：即：或或 4.求形心主惯性矩求形心主惯性矩注意：注意：因为因为 ，故，故 0 0对应于主惯性矩较大值对应于主惯性矩较大值1.组合图形的静矩和形心的计算组合图形的静矩和形心的计算2.矩形、圆形和环形矩形、圆形和环形图形的惯性矩图形的惯性矩附录附录A A 平面图形的几何性质平面图形的几何性质3.平行轴定理，组合图形惯性矩的计算平行轴定理，组合图形惯性矩的计算本本 章章 重重 点点