《数学史》几何学的变革上名师优质课获奖市赛课一等奖课件.ppt

几何学变革几何学变革第九章第九章 第1页 第2页 几何，就是研究几何，就是研究空间空间结结构及性质一门构及性质一门学科学科。它是数。它是数学中最基本研究内容之一，学中最基本研究内容之一，与分析、与分析、代数代数等等含有一样等等含有一样主要地位，而且关系极为亲主要地位，而且关系极为亲密。密。第3页几何学发展几何学发展几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其亲密。数论等等关系极其亲密。几何思想是数学中最主要一类思想。当前数学各分支几何思想是数学中最主要一类思想。当前数学各分支发展都有几何化趋向，即用几何观点及思想方法去探发展都有几何化趋向，即用几何观点及思想方法去探讨各数学理论。讨各数学理论。第4页9.1 9.1 欧几里得平行公设欧几里得平行公设 直到直到18世纪末，几何领域依然是欧几里得一统世纪末，几何领域依然是欧几里得一统天下解析几何改变了几何研究方法，但没有从实天下解析几何改变了几何研究方法，但没有从实质上改变欧氏几何本身内容质上改变欧氏几何本身内容 解析方法利用即使在相当长时间内冲淡了人们解析方法利用即使在相当长时间内冲淡了人们对综合几何兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性对综合几何兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性典范一直保持着神圣地位典范一直保持着神圣地位 第5页 然然而而，这这个个近近乎乎科科学学“圣圣经经”欧欧几几里里得得几几何何并并非非无无懈懈可可击击实实际际上上，公公元元前前3世世纪纪到到18世世纪纪末末，数数学学家家们们即即使使一一直直坚坚信信欧欧氏氏几几何何完完美美与与正正确确，但但有有一一件件事事却却一一直直让让他他们们耿耿耿耿于于怀怀，这这就是欧几里得第五公设，也称平行公设就是欧几里得第五公设，也称平行公设 在在欧欧氏氏几几何何全全部部公公设设中中，唯唯独独这这条条公公设设显显得得比比较较特特殊殊它它叙叙述述不不像像其其它它公公设设那那样样简简练练、明明了了，当当初初就就有有些些人人怀怀疑疑它它不不像像是是一一个个公公设设而而更更像像是是一一个个定定理理，并并产产生生了了从从其其它它公公设设和和定定理理推出这条公设想法推出这条公设想法 下面回顾一下下面回顾一下“欧氏几何公理、公设欧氏几何公理、公设欧氏几何公理、公设欧氏几何公理、公设”:第6页欧氏几何公理：欧氏几何公理：（1 1）等于同量量彼此相等；）等于同量量彼此相等；（2 2）等量加等量，和相等；）等量加等量，和相等；（3 3）等量减等量，差相等；）等量减等量，差相等；（4 4）彼此重合图形是全等；）彼此重合图形是全等；（5 5）整体大于部分。）整体大于部分。第7页欧氏几何公设：欧氏几何公设：（1）假定从任意一点到任意一点可作一直线；）假定从任意一点到任意一点可作一直线；（2）一条有限直线可不停延长；）一条有限直线可不停延长；（3）以任意中心和半径能够画圆；）以任意中心和半径能够画圆；（4）凡直角部彼此相等；）凡直角部彼此相等；（5）若一直线落在两直线上所组成同旁内角和）若一直线落在两直线上所组成同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角一侧相交。将在同旁内角和小于两直角一侧相交。第8页 第9页第五公设第五公设第五公设：第五公设：若一直线落在两直线上，所组成同旁内若一直线落在两直线上，所组成同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角一侧相交。同旁内角和小于两直角一侧相交。第10页 所以，从古希腊时代开始，数学家们就一直没有放所以，从古希腊时代开始，数学家们就一直没有放弃消除对第五公设疑问努力他们或者寻求以一个比较轻易弃消除对第五公设疑问努力他们或者寻求以一个比较轻易接收、愈加自然等价公设来代替它，或者试图把它看成一条接收、愈加自然等价公设来代替它，或者试图把它看成一条定理由其它公设、公理推导出来在众多替换公设中，今天定理由其它公设、公理推导出来在众多替换公设中，今天最惯用是：最惯用是：“过过已已知知直直线线外外一一点点能能且且只只能能作作一一条条直直线线与与已已知知直线平行直线平行”般将这个替换公设归功于苏格兰数学家、物理学家般将这个替换公设归功于苏格兰数学家、物理学家普莱菲尔普莱菲尔(J.Playfair，17481819)，所以有时也叫，所以有时也叫普莱菲尔公设普莱菲尔公设 第11页 历历史史上上第第一一个个尝尝试试证证实实第第五五公公设设是是古古希希腊腊天天文文学学家家托托勒勒玫玫(Ptolemy，约约公公元元150)作作出出，以以后后普普罗罗克克鲁鲁斯斯指指出出托托勒勒玫玫“证证实实”无无意意中中假假定定了了过过直直线线外外一一点点只只能能作作一一条条直直线线平平行行于于该该直直线线，这这就就是上面提到是上面提到普莱菲尔公设普莱菲尔公设 第12页 文艺复兴时期对文艺复兴时期对希腊学术希腊学术兴趣恢复使欧洲数学家兴趣恢复使欧洲数学家重新关注起第五公设在重新关注起第五公设在17世纪研究过第五公设数学世纪研究过第五公设数学家有家有沃利斯沃利斯等但每一个等但每一个“证实证实”要么隐含了另一个要么隐含了另一个与第五公设等价假定，要么存在着其它形式推理错误与第五公设等价假定，要么存在着其它形式推理错误而且，这类工作中大多数对数学思想进展没有多大而且，这类工作中大多数对数学思想进展没有多大现实意义现实意义 所以，在所以，在18世纪中叶，世纪中叶，达朗贝尔达朗贝尔曾把平行公设证曾把平行公设证实问题称为实问题称为“几何原理中家丑几何原理中家丑”但就在这一时期前但就在这一时期前后，对第五公设研究开始出现有意义进展在这方面后，对第五公设研究开始出现有意义进展在这方面代表人物是意大利数学家代表人物是意大利数学家萨凯里萨凯里、德国数学家、德国数学家克吕格克吕格尔尔和瑞士数学家和瑞士数学家兰伯特兰伯特 第13页 萨萨凯凯里里（意意大大利利）最最先先使使用用归归谬谬法法来来证证实实平平行行公公设设他他在在一一本本名名叫叫欧欧几几里里得得无无懈懈可可击击(1733)书书中中，从从著著名名“萨萨凯凯里里四四边边形形”出出发发来来证证实平行公设实平行公设 萨凯里四边形是一个等腰双直角四边形，其中萨凯里四边形是一个等腰双直角四边形，其中 =，且为直角，且为直角。萨凯里需要证实。萨凯里需要证实C=D且为直角。且为直角。第14页萨凯里指出：不用平行公设轻易证实萨凯里指出：不用平行公设轻易证实C=D，而且顶角，而且顶角含有三种可能性并分别将它们命名为含有三种可能性并分别将它们命名为 1直角假设：C和D是直角；2钝角假设：C和D是钝角；3锐角假设：C和D是锐角 能够证实，直角假设与第五公设等价萨凯里计划是证实后能够证实，直角假设与第五公设等价萨凯里计划是证实后两个假设能够造成矛盾，依据归谬法就只剩下第一个假设成两个假设能够造成矛盾，依据归谬法就只剩下第一个假设成立，这么就证实了第五公设立，这么就证实了第五公设 第15页 萨凯里在假定直线为无限长情况下，首先由钝萨凯里在假定直线为无限长情况下，首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中他取得了一系列新奇有趣结果，如程中他取得了一系列新奇有趣结果，如三角形三内三角形三内角之和小于两个直角；过给定直线外一给定点，有角之和小于两个直角；过给定直线外一给定点，有没有穷多条直线不与该给定直线相交，等等没有穷多条直线不与该给定直线相交，等等 即使这些结果实际上并不包含任何矛盾，但萨即使这些结果实际上并不包含任何矛盾，但萨凯里认为它们太不合情理，便认为自己导出了矛盾凯里认为它们太不合情理，便认为自己导出了矛盾而判定锐角假设是不真实而判定锐角假设是不真实 第16页 萨萨凯凯里里工工作作激激发发了了数数学学家家们们深深入入思思索索1763年年，克克吕吕格格尔尔（德德国国）在在其其博博士士论论文文中中首首先先指指出出萨萨凯凯里里工工作作实实际际上上并并未未导导出出矛矛盾盾，只只是是得到了似乎与经验不符结论得到了似乎与经验不符结论 克克吕吕格格尔尔是是第第一一位位对对平平行行公公设设能能否否由由其其它它公公理理加加以以证证实实表表示示怀怀疑疑数数学学家家他他看看法法启启迪迪兰兰伯伯特特（瑞瑞士士）对对这这一一问问题题进进行行了了愈愈加加深深入入探探讨讨 第17页 1766年，年，兰伯特兰伯特写出了写出了平行线理论平行线理论一书，一书，在这本书中，他也像萨凯里那样考虑了一个四边形，在这本书中，他也像萨凯里那样考虑了一个四边形，不过他是从一个三直角四边形出发，按照第四个角是不过他是从一个三直角四边形出发，按照第四个角是直角、钝角还是锐角作出了三个假设因为钝角假设直角、钝角还是锐角作出了三个假设因为钝角假设造成矛盾，所以他很快就放弃了它造成矛盾，所以他很快就放弃了它 与与萨凯里萨凯里不一样是，不一样是，兰伯特兰伯特并不认为锐角假设导并不认为锐角假设导出结论是矛盾，而且他认识到一组假设假如不引发矛出结论是矛盾，而且他认识到一组假设假如不引发矛盾话，就提供了一个可能几何盾话，就提供了一个可能几何所以，兰伯特最先指所以，兰伯特最先指出了经过替换平行公设而展开新无矛盾几何学道路出了经过替换平行公设而展开新无矛盾几何学道路 第18页 萨萨凯凯里里、克克吕吕格格尔尔和和兰兰伯伯特特等等，都都能能够够看看成成是非欧几何先行者是非欧几何先行者 然然而而，当当他他们们走走到到了了非非欧欧几几何何门门槛槛前前，却却因因为为各各自自不不一一样样原原因因或或则则却却步步后后退退(如如萨萨凯凯里里在在证证实实了了一一系系列列非非欧欧几几何何定定理理后后却却宣宣告告“欧欧几几里里得得无无懈懈可可击击”)，或或则则徘徘徊徊不不前前(兰兰伯伯特特（瑞瑞士士）在在生生前前对对是是否否发发表表自自己己结结论论一一直直犹犹豫豫不不定定，平平行行线线理论理论一书是他死后由朋友发表一书是他死后由朋友发表)第19页 突破含有两千年根基欧氏几何传统束缚，需要更突破含有两千年根基欧氏几何传统束缚，需要更高大巨人，这么时机在高大巨人，这么时机在19世纪初逐步成熟，而且也像世纪初逐步成熟，而且也像解析几何、微积分创建一样，这么人物出现了不止一解析几何、微积分创建一样，这么人物出现了不止一位位 对非欧几何来说，他们是对非欧几何来说，他们是高斯、波约高斯、波约(J.Bolyai，18021860)和罗巴切夫斯基和罗巴切夫斯基(N.I.Lobachevsky,1793-1856)下见：希尔伯特评价。下见：希尔伯特评价。第20页 希希尔尔伯伯特特说说：“1919世世纪纪最最富富有有启发性和最值得注意成就是启发性和最值得注意成就是 非欧几里得几何发觉。非欧几里得几何发觉。”第21页9.2 9.2 非欧几何诞生非欧几何诞生 前前面面讲讲过过，在在非非欧欧几几何何正正式式建建立立之之前前，它它技技术术性性内内容容已已经经被被大大量量地地推推导导出出来来但但最最先先认认识识到到非非欧欧几几何何是是一一个个逻逻辑辑上上相相容容而而且且能能够够描描述述物物质质空空间、像欧氏几何一样正确新几何学是高斯间、像欧氏几何一样正确新几何学是高斯 第22页高斯高斯 高斯（高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）（）（1777年年1855年），生于年），生于不伦瑞克不伦瑞克，卒于，卒于哥廷根哥廷根，德国德国著著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯成就遍布数学各个领域，在高斯成就遍布数学各个领域，在数论数论、非欧几何非欧几何、微分几何微分几何、超几何级数、超几何级数、复变函数论复变函数论以及以及椭圆函数椭圆函数论论等方面都有开创性贡献。他十分重视数学应用，而且等方面都有开创性贡献。他十分重视数学应用，而且在对天文学、在对天文学、大地测量学大地测量学和和磁学磁学研究中也偏重于用数研究中也偏重于用数学方法进行研究。学方法进行研究。第23页非欧几何诞生非欧几何诞生“非非欧欧几几何何”名名称称起起源源于于高高斯斯。他他从从17991799年年开开始始意意识识到到平平行行公公设设不不能能由由其其它它公公理理推推出出，并并从从18131813年年起起发发展展了了这这种种平平行行公公设设在在其其中不成立新几何。中不成立新几何。第24页 非欧几何诞生非欧几何诞生为为了了验验证证“非非欧欧几几何何”应应用用可可能能性性，他他实实际际测测量量了了由由三三座座山山峰峰组组成成三三角角形形，此此三三角角形形三三边边分分别别为为：6969，8585与与109109公公里里。他他发发觉觉其其内角和比内角和比1801800 0大了近大了近1515。第25页 从从高高斯斯遗遗稿稿中中能能够够了了解解到到，他他从从1799年年开开始始意意识识到到平平行行公公设设不不能能从从其其它它欧欧几几里里得得公公理理推推出出来来，并并从从1813年起发展了这种平行公设在其中不成立新几何年起发展了这种平行公设在其中不成立新几何 他他起起先先称称之之为为“反反欧欧几几里里得得几几何何”，最最终终改改称称为为“非非欧欧几几里里得得几几何何”，所所以以“非非欧欧几几何何”这这个个名名称称正正是来自高斯是来自高斯第26页 但但他他除除了了在在给给朋朋友友一一些些信信件件中中对对其其非非欧欧几几何何思思想想有有所所透透露露外外，高高斯斯生生前前并并没没有有发发表表过过任任何何关关于于非非欧欧几几何何论论著著这这主主要要是是因因为为他他感感到到自自己己发发觉觉与与当当初初流流行康德空间哲学相抵触，担心世俗攻击行康德空间哲学相抵触，担心世俗攻击 他他曾曾在在给给贝贝塞塞尔尔(P.W.Bessel)一一封封信信中中说说：假假如如他他公公布布自自己己这这些些发发觉觉，“黄黄蜂蜂就就会会围围着着耳耳朵朵飞飞”，并并会会“引引发发波波哀哀提提亚亚人人(特特指指有有世世俗俗偏偏见见愚愚人人)叫叫嚣嚣”第27页 当声誉甚隆高斯决定将自己发觉秘而不宣时，一位尚名不当声誉甚隆高斯决定将自己发觉秘而不宣时，一位尚名不见经传匈牙利青年见经传匈牙利青年波约波约却急迫地希望经过高斯评价而将自己关却急迫地希望经过高斯评价而将自己关于非欧几何研究公诸于世，波约父亲于非欧几何研究公诸于世，波约父亲F.波约是高斯朋友，也是波约是高斯朋友，也是一位数学家一位数学家 1832年年2月月14日日，F.波波约约将将他他儿儿子子一一篇篇题题为为绝绝对对空空间间科科学学26页页文文章章寄寄给给高高斯斯，这这篇篇文文章章也也作作为为F波波约约刚刚才才完完成成一一本本数数学学著著作作附附录录而而发发表表，其其中中叙叙述述所所谓谓“绝绝对对几几何何”就就是是非非欧欧几几何何F波波约约请请高斯对他儿子论文发表意见。高斯对他儿子论文发表意见。波约匈牙利数学家匈牙利数学家-波约波约第28页 “称赞他称赞他(即即J.J.波约波约)就等于称赞我自己整篇文就等于称赞我自己整篇文章内容，您儿子所采取思绪和取得结果，与我在章内容，您儿子所采取思绪和取得结果，与我在3030至至3535年前思索不谋而合年前思索不谋而合”J.波约对高斯回复深感失望，认为高斯想剽窃自己结果波约对高斯回复深感失望，认为高斯想剽窃自己结果 1840年年俄俄国国数数学学家家罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基关关于于非非欧欧几几何何德德文文著著作作出出版版后后，更更使使J.波波约约气气馁馁丧丧气气，从从此此便便不不再再发发表表数数学学论论文文，而而他他父亲倒很开通，抚慰他说：父亲倒很开通，抚慰他说：“春天紫罗兰在各处盛开春天紫罗兰在各处盛开”然而高斯回信说：然而高斯回信说：第29页 在非欧几何三位创造人中，只有罗巴在非欧几何三位创造人中，只有罗巴切夫斯基最早、最系统地发表了自己研究切夫斯基最早、最系统地发表了自己研究结果，而且也是最坚定地宣传和捍卫自己结果，而且也是最坚定地宣传和捍卫自己新思想一位。新思想一位。他先是于他先是于1826年在喀山大学发表了年在喀山大学发表了简明叙述平行线定理一个严格证实简明叙述平行线定理一个严格证实演演讲，汇报了自己关于非欧几何发觉，而后讲，汇报了自己关于非欧几何发觉，而后又又在在1829年发表了题为年发表了题为论几何原理论几何原理论论文，这是历史上第一篇公开发表非欧几何文，这是历史上第一篇公开发表非欧几何文件文件。罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基第30页罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基 罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基1792年生于俄国下诺伏哥罗德年生于俄国下诺伏哥罗德（今高尔基城），（今高尔基城），1807年进入喀山大学，年进入喀山大学，1811年毕年毕业并获硕士学位。业并获硕士学位。罗巴切夫斯基毕业后留校任职，历任教授助理、罗巴切夫斯基毕业后留校任职，历任教授助理、非常任教授、常任教授、物理数学系主任，非常任教授、常任教授、物理数学系主任，35岁被岁被任命为校长。任命为校长。1846年以后任喀山学区副督学，直至年以后任喀山学区副督学，直至逝世。逝世。假如没有罗氏几何学，罗巴切夫斯基只能算假如没有罗氏几何学，罗巴切夫斯基只能算一个优异科学与教育管理者。一个优异科学与教育管理者。第31页 罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基以以后后为为发发展展、阐阐释释这这种种新新几几何何学而付出了一生心血学而付出了一生心血 他他生生前前发发表表了了许许多多论论著著，其其中中1835-1838年年间间系系列列论论文文含含有有完完备备平平行行线线理理论论新新几几何何学学原原理理很很好好地地表表述述了了他他思思想想，而而1840年年用用德德文文出出版版平平行行理理论论几几何何研研究究则则引引发发高高斯斯关关注注，这这使使他他在在1842年成为年成为德国哥廷根科学协会德国哥廷根科学协会会员会员 第32页 罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基非非欧欧几几何何基基本本思思想想与与高高斯斯、波波约约是是一一致致，即即用用与与欧欧几几里里得得第第五五公公设设相相反反断断言言：经经过过直直线线外外一一点点，能能够够引引不不止止一一条条而而最最少少是是两两条条直直线线平平行行于于已已知知直直线线，作作为为替替换换公公设设，由由此此出出发发进进行行逻逻辑辑推推导导而而得得出出一一连连串串新新几几何何学学定理定理 罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基明明确确指指出出，这这些些定定理理并并不不包包含含矛矛盾盾，因因而而它它总总体体就就形形成成了了一一个个逻逻辑辑上上可可能能、无无矛矛盾盾理理论论，这这个个理理论论就就是是一一个个新新几几何何学学非欧几里得几何学非欧几里得几何学 第33页 设设给给定定了了直直线线 和和直直线线外外一一点点 ，从从 引引 垂垂直直线线 按按照照罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基基基本本假假设设，最最少少存存在在两两条条直直线线 ，经经过过点点 且且不不与与直直线线 相相交交(注注意意图图形形在在这这里里只只起起辅辅助助了了解解作作用用，罗罗氏氏论论证证并并不不是是我我们们普普通通平平面面上上所所作图作图 第34页 罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基考考虑虑全全部部过过 不不与与 相相交交直直线线极极限限情情形形，指指出出这这么么极极限限直直线线有有两两条条(与与 )，并并证证实实了了它它们们也也不不与与 相相交交所所以以，与与 ，便便组组成成了了全全部部不不与与 相相交交直直线线边边界界，在在这这两两条条边边界界直直线线所成夹角所成夹角 内全部直线都不与内全部直线都不与 相交相交 第35页罗罗巴巴切切基基称称 与与 为为 “平平行行线线”，而而落落在在角角口口内内全全部部直直线线叫叫不不相相交交直直线线假假如如按按不不相相交交即即平平行行意意义义了了解解，那那么么罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基几几何何里里，过过直直线线外外一点就能够引无穷多条直线与给定直线平行一点就能够引无穷多条直线与给定直线平行 第36页 若把平行角记作 ，则 时，就得到欧氏平行公设若 ，则 单调增加且趋于 ；而 时，单调降低且趋于0换句话说，假如在离直线 很远处作与此直线垂线很小夹角直线，那么我我们们能能够够沿沿着着这这条条“倾倾斜斜”直直线线前前进进而而永永远远不不与与直直线线 相遇相遇!罗巴切夫斯基还将夹角 二分之一称为“平平行行角角”，因 小于两直角，故平行角小于直角罗巴切夫斯基发觉，平平行行角角是点 到直线 距离 函数 第37页 用欧氏几何眼光来看，罗巴切夫斯基几何用欧氏几何眼光来看，罗巴切夫斯基几何还有许多令人惊奇结果，我们只能举一些例子，还有许多令人惊奇结果，我们只能举一些例子，如：如：1 1三角形三内角之和小于两直角，假如三角形变大，三角形三内角之和小于两直角，假如三角形变大，使它全部三条高都无限增加，则它三个内角全部趋向于零；使它全部三条高都无限增加，则它三个内角全部趋向于零；2 2不存在面积任意大三角形；不存在面积任意大三角形；3 3假如两个三角形三个角相等，它们就全等；假如两个三角形三个角相等，它们就全等；4 4圆周长圆周长 不与半径不与半径 成正比，而是更快速地增加，并成正比，而是更快速地增加，并符合下面公式符合下面公式 第38页其中其中 是依赖于长度单位常数利用是依赖于长度单位常数利用 级数展级数展开又能够得到开又能够得到 所所以以，常常数数 越越大大，就就越越小小，上上述述公公式式就就越越靠靠近近于于普普通通欧欧氏氏几几何何中中圆圆周周长长公公式式 这这只只是是一一个个例例子子，说说明明罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基几几何何在在极极限限情情形形下下就就变成欧几里得几何变成欧几里得几何 第39页 罗巴切夫斯基还发展了非欧三角学，得出一罗巴切夫斯基还发展了非欧三角学，得出一系列三角公式，主要有系列三角公式，主要有 第40页9.3 9.3 非欧几何发展与确认非欧几何发展与确认 德德国国数数学学家家黎黎曼曼(B.Riemann，18261866)在在1854年年发发展展了了罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基等等人人思思想想而而建建立立了了一一个个更更广广泛泛几几何何，即即现现在在所所称称黎黎曼曼几几何何罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基几何以及欧氏几何都只不过是这种几何特例几何以及欧氏几何都只不过是这种几何特例 第41页黎曼非欧几何黎曼黎曼(1826-1866(1826-1866）德国）德国著名数学家。著名数学家。18461846年，年，进入哥廷根大学学神学，进入哥廷根大学学神学，后在数学家影响下，放后在数学家影响下，放弃神学改学数学，有幸弃神学改学数学，有幸成为高斯晚年学生。获成为高斯晚年学生。获博士后留校。博士后留校。黎曼（黎曼（黎曼（黎曼（1826-18661826-18661826-18661826-1866）第42页 黎黎曼曼研研究究是是以以高高斯斯关关于于曲曲面面内内蕴蕴微微分分几几何何为为基基础础内蕴微分几何也是内蕴微分几何也是19世纪几何学重大发展之一世纪几何学重大发展之一 我我们们知知道道，在在蒙蒙日日等等人人开开创创微微分分几几何何中中，曲曲面面是是在在欧欧氏氏空空间间内内考考查查，但但高高斯斯1828年年发发表表论论文文关关于于曲曲面面普普通通研研究究则则提提出出了了一一个个全全新新观观念念，即即一一张张曲曲面面本身就组成一个空间本身就组成一个空间 它它许许多多性性质质(如如曲曲面面上上距距离离、角角度度、总总曲曲率率是是等等)并并不不依依赖赖于于背背景景空空间间，这这种种以以研研究究曲曲面面内内在在性性质质为为主主微分几何称为微分几何称为“内蕴微分几何内蕴微分几何”第43页黎曼非欧几何黎曼非欧几何18541854年发表就职演说年发表就职演说关于几何基础假设关于几何基础假设（18681868年发年发表），其中建立了表），其中建立了黎曼空间黎曼空间概念，创建了概念，创建了黎曼几何学黎曼几何学基基础。主要思想：础。主要思想：（1 1）区分了无界域无限概念；）区分了无界域无限概念；（2 2）对欧几里得公设）对欧几里得公设1)1)、2)2)、5)5)作了以下修改：作了以下修改：1 1）两个不一样点最少确定一条直线；）两个不一样点最少确定一条直线；2 2）直线是无界；）直线是无界；3 3）平面上任何两条直线都相交。）平面上任何两条直线都相交。第44页 在在他他1854年年发发表表题题为为关关于于几几何何基基础础假假设设演演讲讲中中，黎黎曼曼将将高高斯斯关关于于欧欧氏氏空空间间中中曲曲面面内内蕴蕴几几何何推推广广为为任任意意空空间间内内蕴蕴几几何何他他把把 维维空空间间称称作作一一个个流流形形，维维流流形形中中一一个个点点，能能够够用用 个个参参数数 一一组组特特定定值值 来来表表示示，这这些些参参数就叫作流形坐标数就叫作流形坐标 黎曼几何，为爱因斯坦广义相对论提供了数学基黎曼几何，为爱因斯坦广义相对论提供了数学基础。础。第45页 黎曼从定义两个邻近点距离出发，假定这个微小黎曼从定义两个邻近点距离出发，假定这个微小距离平方是一个二次微分齐式距离平方是一个二次微分齐式 其中其中 是坐标是坐标 函数，函数，而且上，而且上式右边总取正值这个表示式以后以式右边总取正值这个表示式以后以“黎曼度量黎曼度量”著著称称 在在此此基基础础上上，黎黎曼曼又又定定义义了了曲曲线线长长度度，两两曲曲线线在在一一点点交交角角等等，全全部部这这些些度度量量性性质质都都是是仅仅由由 表表示示式式中系数中系数 确定确定第46页 黎曼还引进了流形曲率概念在黎曼几何中，最主要一黎曼还引进了流形曲率概念在黎曼几何中，最主要一个对象就是所谓常曲率空间个对象就是所谓常曲率空间(即在每一点上曲率都相等流形即在每一点上曲率都相等流形)，对于三维空间，有以下三种情形：，对于三维空间，有以下三种情形：1 1曲率为正常数；曲率为正常数；2 2曲率为负常数；曲率为负常数；3 3曲率恒等于零曲率恒等于零 黎曼指出后两种情形分别对应于罗巴切夫斯基非欧几何黎曼指出后两种情形分别对应于罗巴切夫斯基非欧几何学和通常欧氏几何学，学和通常欧氏几何学，而第一个情形则是黎曼本人创造，它而第一个情形则是黎曼本人创造，它对应于另一个非欧几何学在这种几何中，过已知直线外一对应于另一个非欧几何学在这种几何中，过已知直线外一点，不能作任何平行于该给定直线直线点，不能作任何平行于该给定直线直线这实际上是以前面这实际上是以前面提到萨凯里等人钝角假设为基础而展开非欧几何学提到萨凯里等人钝角假设为基础而展开非欧几何学 第47页 在黎曼之前，从萨凯里到罗巴切夫斯基，都在黎曼之前，从萨凯里到罗巴切夫斯基，都认为钝角假设与直线能够无限延长假定矛盾，因而认为钝角假设与直线能够无限延长假定矛盾，因而取消了这个假设取消了这个假设 但黎曼区分了但黎曼区分了“无限无限”与与“无界无界”这两个概念，这两个概念，认为认为直线能够无限延长并不意味着就其长短而言是直线能够无限延长并不意味着就其长短而言是无限，只不过是说，它是无故或无界无限，只不过是说，它是无故或无界能够证实，能够证实，在对无限与无界概念作了区分以后，人们在钝角假在对无限与无界概念作了区分以后，人们在钝角假设下也可像在锐角假设下一样，无矛盾地展开一个设下也可像在锐角假设下一样，无矛盾地展开一个几何几何这第二种非欧几何，也叫这第二种非欧几何，也叫(正常曲率曲面上正常曲率曲面上)黎黎曼几何。曼几何。第48页 作作为为区区分分，数数学学史史文文件件上上就就把把罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基发发觉觉非非欧欧几几何何叫叫作作罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基几几何何普普通通球球面面上上几几何何就就是是黎黎曼曼非非欧欧几几何何，其其上上每每个个大大圆圆能能够够看看成成是是一一条条“直直线线”轻轻易易看看出出，任任意意球球面面“直直线线”都都不不可可能永不相交能永不相交。黎曼能够说是最先了解非欧黎曼能够说是最先了解非欧几何全部意义数学家他创建黎几何全部意义数学家他创建黎曼几何不但是对已经出现非欧几曼几何不但是对已经出现非欧几何何(罗巴切夫斯基几何罗巴切夫斯基几何)认可，而认可，而且显示了创造其它非欧几何可能且显示了创造其它非欧几何可能性。性。第49页 黎黎曼曼也也是是当当代代数数学学史史上上最最具具创创造造性性数数学学家家之之一一他他1826年年出出生生在在德德国国一一个个牧牧师师家家庭庭，因因为为家家庭庭环环境境影影响响，黎黎曼曼最最初初进进人人哥哥廷廷根根大大课课时时学学是是神神学学和和哲哲学学，但但很很快快他他就就喜喜欢欢上了数学。上了数学。在在征征得得父父亲亲同同意意后后，黎黎曼曼将将数数学学选选定定为为自自己己专专业业然然而而经经过过一一年年后后，他他发发觉觉哥哥廷廷根根大大学学开开设设数数学学课课程程过过于于陈陈旧旧，甚甚至至连连高高斯斯也也在在讲讲初初等课程，等课程，黎曼（德国）黎曼黎曼 第50页 于于是是他他决决定定去去柏柏林林随随雅雅可可比比、狄狄利利克克雷雷(Dirichlet)等等数数学学家家学学习习1849年年，黎黎曼曼重重返返哥哥廷廷根根在在高高斯斯指指导导下下做做博博士士论论文文，题题目目为为单复变函数普通理论基础单复变函数普通理论基础 黎曼（德国）结果，这篇论文得到了高斯赞结果，这篇论文得到了高斯赞赏，他以少有激情给作者写了以下赏，他以少有激情给作者写了以下评语：评语：“黎曼先生提交博士论文提供了可信证据，表明作者黎曼先生提交博士论文提供了可信证据，表明作者对他论文所包括主题进行了全方面、深入研究，显示了一对他论文所包括主题进行了全方面、深入研究，显示了一个含有创造力、活跃、真正数学头脑以及了不起富有结果个含有创造力、活跃、真正数学头脑以及了不起富有结果独创性独创性”第51页 不幸是，黎曼正值他创造高峰时因感染上肺结不幸是，黎曼正值他创造高峰时因感染上肺结核而逝世，死时还不到核而逝世，死时还不到40岁黎曼在他短暂一生岁黎曼在他短暂一生中，对于几何、分析和物理学众多领域都作了开中，对于几何、分析和物理学众多领域都作了开创性贡献创性贡献 有数学家评论说有数学家评论说：“黎曼是一个富有想象天才，黎曼是一个富有想象天才，他想法即使没有证实，也鼓舞了整整一个世纪数他想法即使没有证实，也鼓舞了整整一个世纪数学家学家”第52页黎曼黎曼 1826年年9月月17日，黎曼生于德国北部日，黎曼生于德国北部汉诺威汉诺威布雷布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村穷苦牧师。他六岁开始上塞伦茨村，父亲是一个乡村穷苦牧师。他六岁开始上学，学，14岁进入大学预科学习，岁进入大学预科学习，19岁按其父亲意愿进入岁按其父亲意愿进入哥廷根大学哥廷根大学攻读哲学和神学，方便未来继承父志也当攻读哲学和神学，方便未来继承父志也当一名牧师。一名牧师。因为从小酷爱数学，黎曼在学习哲学和神学同时因为从小酷爱数学，黎曼在学习哲学和神学同时也听些数学课。当初哥廷根大学是世界数学中心之一，也听些数学课。当初哥廷根大学是世界数学中心之一，黎曼被这里数学教学和数学研究气氛所感染，决定放黎曼被这里数学教学和数学研究气氛所感染，决定放弃神学，专攻数学。弃神学，专攻数学。1847年，黎曼转到年，黎曼转到柏林大学柏林大学学习，成为雅可比、学习，成为雅可比、狄利狄利克莱克莱、施泰纳施泰纳、艾森斯坦学生。、艾森斯坦学生。1849年重回哥廷年重回哥廷根大学攻读博士学位，成为高斯晚年学生。根大学攻读博士学位，成为高斯晚年学生。第53页 1851年，黎曼取得数学博士学位；年，黎曼取得数学博士学位；1859年接替年接替逝世逝世狄利克雷狄利克雷被聘为教授。被聘为教授。因终年贫困和劳累，黎曼在因终年贫困和劳累，黎曼在1862年婚后不到一个年婚后不到一个月就开始患胸膜炎和肺结核，其后四年大部分时间在月就开始患胸膜炎和肺结核，其后四年大部分时间在意大利意大利治病疗养。治病疗养。1866年年7月月20日病逝于意大利，终日病逝于意大利，终年年39岁。岁。黎曼是世界数学史上最具独创精神数学家之一。黎曼是世界数学史上最具独创精神数学家之一。黎曼著作不多，但却异常深刻，极富于对概念创造与黎曼著作不多，但却异常深刻，极富于对概念创造与想象。想象。黎曼在其短暂一生中为数学众多领域作了许多黎曼在其短暂一生中为数学众多领域作了许多奠基性、创造性工作，为世界数学建立了丰功伟绩。奠基性、创造性工作，为世界数学建立了丰功伟绩。黎曼 第54页 19世世纪纪70年年代代以以后后，意意大大利利数数学学家家贝贝尔尔特特拉拉米米(E.Beltrami)、德德国国数数学学家家克克莱莱因因(F.Klein)和和法法国国数数学学家家庞庞加加莱莱(H.Poincare)等等人人先先后后在在欧欧几几里里得得空空间间中中给给出出了了非非欧欧几几何何直直观观模模型型，从从而而揭揭示示出出非非欧欧几几何何现现实实意意义义至至此此，非非欧欧几几何何才才真真正正取取得得了了广广泛泛了了解解 第55页 非欧几何模型非欧几何模型1）贝尔特拉米（E.Beltrami,1835-1899）模型；2）克莱因（F.Keller，1849-1925）模型；3）庞加莱（H.Poincare,1854-1912）模型。4）球面几何模型第56页 贝尔特拉米非欧几何模型贝尔特拉米非欧几何模型贝尔特拉米非欧几何模型贝尔特拉米非欧几何模型伪球面伪球面第57页 克克莱莱因因非非欧欧几几何何模模型型第58页 庞加莱模型庞加莱模型庞加莱，曾被认为是庞加莱，曾被认为是庞加莱，曾被认为是庞加莱，曾被认为是“数学数学数学数学领域最终一个奇才。领域最终一个奇才。领域最终一个奇才。领域最终一个奇才。第59页谢谢 谢！谢！第60页