翻转课堂之对变化进行建模.pptx

我们常见的模型玩具，飞机，火箭模型.实物模型地图，电路图，分子结构图.符号模型水箱中的舰艇，风洞中的飞机.物理模型模型 是为了一定的目的，对客观事物的一部分进行减缩、抽象、提炼出来的原型的替代物，而且集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。模型是对实际现象的理想化，他可以帮助我们更好更快的了解一种行为或帮助我们规划未来。因此，对变化进行建模是十分必要的。实例：航行问题 甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是什么？解：用x表示船速，y表示水速，列出方程：（xy）30=750 （xy）50=750 解得x=20 y=5答：船速每小时20千米/小时。航行问题建立数学模型的基本步骤做出简化假设（船速、水速为常数）用符号表示有关量（x、y表示船速和水速）列出数学式子（二元一次方程）求解得到数学答案（x=20，y=5）回答原问题（船速每小时20千米/小时）在我们日常生活中，各种各样的实际问题需要我们运用模型来简化，以便于我们的研究发展除了航行问题，还有汽车的刹车减速问题、微生物的繁殖问题、彩票中奖等等WHAT数学模型 对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构WHY 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述，也就是建立数学模型，然后用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验。HOW数学建模的过程 实际问题的数据 简化 模型 分析 数学结论 翻译 预测/解释 检验 实际问题的数据简化 多数模型简化了实际情形。一般说，模型只能近似的表达实际行为。一种非常有利的简化关系就是比例关系。定义 比例关系 两个变量y和x是（一个对一个）成比例的，如果一个变量总是另一个变量的常数倍；即如果对某个非零常数k，有y=kx 这个定义的含义就是y作为x的函数的图形位于一条过原点的直线上。在测试给定的数据集是否合乎比例关系时，对图形的观察常常是有帮助的。如果比例关系是合理的，那么一个变量对另一个变量的图示就应近似位于一条过原点的直线上。先联系一下我们密切相关的校园从同和楼到北苑有一个坡度很大的下坡路，如果校车司机在下坡时不控制车速，或者及时反映采取刹车等必要措施，很有可能造成不同程度的危险。那么我们该怎样简化这一过程呢？例1、（测试司机反映距离的比例关系）在惊慌之余的紧急停车过程中，汽车司机必须对紧急情况作出反应，然后刹车，并把车停下来。什么是汽车司机的安全紧随距离呢？为回答这个问题，知道在刹车前车辆以给定速度走了多远是有帮助的（司机反映距离）。美国公路局对一大批汽车司机采集了反映距离和刹车距离的数据。表中x是以每小时英里数（mph）计的汽车速度，而y是以英尺（ft）计的刹车前汽车走过的距离。x（mph）20253035404550556065707580y（ft）22283339445055616672777788司机反应距离反应距离对速度的图示 从数据采集情况来看，假定紧急情况作出反应所需要的时间近似不变，那么反应期间走过的距离和速度成比例，图中的点位于过原点的一条直线上，所以比例性假设是有依据的。我们可以通过图形估计比例常数，近似求得该直线的斜率。y=1.1x速度距离XY验证模型我们过去通过把函数图形重叠到散点图上来测试方程拟合该数据有多好，另一种方法就是考察误差和残差。残差=观察值-预测值也就是真实数据与预测数据的差值作为判断模型的合适性以及获得如何改进模型的洞察力的一种强有力的方法就是做出残差对自变量的图形，然后观察误差的相对大小。模型构建过程模型构建的步骤第一步 识别问题 为估计安全紧随距离，我们决定先估算司机的反应距离第二步 对要包括那些变量以及这些变量间的关系作出假设 反应距离依赖于包括速度、能见度、天气以及司机的年龄等许多因素。为简单起见，我们假设反映距离只依赖于速度。我们还进一步假设反映距离和速度成比例。第三步 求一个满足这些关系的函数或图形 我们通过确定反映距离对速度的散点图是否近似于沿一条过原点的直线来测试成比例关系的假设。因为确实如此，所以我们可以计算该直线的斜率，它就是比例常数。第四步 检验模型 分析残差的大小和模式经验建模：抓住所收集数据的趋势在例1中，我们假设了因变量和自变量之间的一种关系。另一种构建模型的方法是采集数据并找到能抓住数据趋势的模型。这种经验方法既有优点也有缺点例2（求预测种群水平的曲线）我们可能要预测某个种群未来数量的大小，例如渔场的鲑鱼和鲶鱼的数目。下表展示了酵母细胞在营养物中随时间增长的数据。时间时间 X01234567生物量Y9.618.32947.271.1119.1174.6257.3散点图显示了比较光滑的且有一种向上弯曲的趋势。我们可以试图利用多项式（例散点图显示了比较光滑的且有一种向上弯曲的趋势。我们可以试图利用多项式（例如，二次多项式如，二次多项式y=ax+bx+cy=ax+bx+c）或幂函数）或幂函数(y=axb)(y=axb)或指数函数或指数函数(y=aebx)(y=aebx)来拟合这个趋来拟合这个趋势势.用计算器可以拟合一个二次模型y=6.10 x-9.28x+16.43，这个模型恰当的拟合了所采集的数据，利用这个模型，我们就可以对未来的变化情况做出预测，同时用实际的观测值与模型的预测值相比较，从而计算出残差，进一步检验该数学模型的拟合程度。时间时间0123456789101112131415161718观 测值9.618.32947.271.1119.1174.6257.3350.7441513.3559.7594.8629.4640.8651.1655.9659.6661.8预 测值16.213.422.543.677.7122.3188.2255.2333.2422.4533.5655.2788.1922.41088.51255.61433.71622.81827.3 显然，上述模型预测值与实际观测值有较大的偏差，为什么二次模型不能预测更精确的值呢？问题在于预测的能力及范围超出了用来建立经验模型的数据的范围，当所选的模型不是由某种建议这种形式模型的根本性的理由所支持的时候，这种外推特别危险，在例2中，为什么我们要预测二次函数作为基本的种群增长模型呢？为什么不是指数函数？面对这些问题，我们应该怎样预测将来的值呢？这就需要用运到微积分在建模中应用微积分微积分的应用包括对变化的研究。微积分的起源就在于我们对运动的更深入的了解的好奇性，以及开展对运动的更深入的了解的研究的需要。在日后的学习中，我们要用微积分对种群增长问题建模，在酵母菌培养物增长的情形，你们将看到酵母可利用的食物资源制约了其增长。谢谢大家THE