一类求解堆石混凝土结构温度场分布的解析法.pdf

第3 0 卷 第 1 2期 2 0 1 3年 1 2月 长江科学院 院报 J o u r n a l o f Ya n g t z e R i v e r S c i e n t i fi c R e s e a r c h I n s t i t u t e Vo 1 3 0 N o 1 2 De e 2 0 1 3 DO I ： 1 0 3 9 6 9 j i s s n 1 0 0 1 5 4 8 5 2 0 1 3 1 2 0 1 8 2 0 1 3 ， 3 0 ( 1 2 ) ： 9 71 0 0， 1 0 6 一 类求解堆石混凝土结构温度场分布的解析法 麦戈 ， 唐欣薇 ， 唐照平 ( 1 仲恺农业工程学院 城市建设学院， 广州5 1 0 2 2 5 ； 2 华南理工大学 亚热带建筑科学国家重点实验室， 广州5 1 0 6 4 0 ； 3 中交第三航务工程勘察设计院有限公司， 上海2 0 0 0 3 2 ) 摘要 ： 堆石混凝土作为一种新型材料已应用于水利、 港口、 采矿等诸多工程结构， 目前 ， 对于这种材料的应用仍处于 发展阶段。为深入研究堆石混凝土的热力学特性， 根据堆石混凝土结构的特性， 建立等效的计算模型， 确定堆石混 凝土温度场的数理方程， 并获得材料温度场分布的解析解。以一个堆石混凝土结构为例， 借助 Ma t l a b的编程工具， 分析了温度变化特性。计算实例表明， 该解析法可用于研究堆石混凝土材料温度场的分布规律， 为研究堆石混凝 土材料的温度场变化奠定了理论基础。 关键词 ： 堆石混凝土 ； 温 度场 ； 数理方程 ；解析解 中图分类号 ： T U 3 7 文献标志码 ： A 文章 编号 ： 1 0 0 1 5 4 8 5 ( 2 0 1 3 ) 1 2 0 0 9 7 0 4 1 研 究背景 堆石混凝土是将 大粒径 的块 石直接堆放入仓 ， 然后从堆石体 的表面浇筑无需任何振捣的专用 自密 实混凝土 ， 并利用专用 自密实混凝土高流动性 、 高穿 透性的特点 ， 依靠 自重完全填充堆石的空隙 ， 形成完 整 、 密实 、 水化热低 、 满足强度要求的大体积混凝土 。 堆石混凝土的施工技术与方法于 2 0 0 3年获得 了国家专利 J ， 安雪 晖等 针对这一新型材料 开展了基本力学试验研究 。这一新型复合材料与普 通混凝土相 比， 具有 水泥用量较 少 ， 水化 热温升较 低 ， 施工时连续抛石铺填、 连续灌注 自密实混凝土 ， 无需碾压或振捣 ， 可减少人工结构缝与施工缝 ， 因而 加快了施工建设进程 ， 降低造价。 根据堆石混凝土 的特性 ， 不仅可将其推广应用 在堆石混凝土拱坝 、 重力坝、 心墙堆石坝和堆石混合 坝等大坝结构形式 中， 也可将其应用在围堰 、 港 口、 海工 、 护坡 、 块石胶结充填采矿 等结构形式 中， 其应 用前景广阔， 目前 已在京郊西山试验坝中获得初步 成功 ， 此外 ， 还应用于河南宝泉抽水蓄能 电站副坝、 四川宜宾向家坝水电站沉井回填等工程 中 J 。 目前 ， 采用这一复合材料建坝存在 的主要 问题 是 ： 针对堆石混凝土的各种综合性能 比如弹性模量、 收缩 l生能、 绝热温升等还需要进一步研究 ； 并且针对 堆石混凝土技术的施工工艺同样需要作进一步研究 ， 以便对其进行优化 ， 建立更加完备的堆石混凝土施工 方法。因此， 这一新型材料应用仍处于发展阶段。 本文立足于堆石混凝土的结构特征 ， 建立合理 的数理方程 ， 对堆石混凝土结构温度场 的解析解进 行求解 ， 为研究堆石混凝土 的温度场变化规律奠定 理论 基础 。 2 问题描述 为了定性地研究堆石 自密实混凝土结构的温度 场分布规律， 可以将其近似简化成 图 1的形式求解 热传导问题， 其中区域 1 代表堆石体， 可视为散热材 料 ； 区域 2代表 自密实混凝土 ， 可产生水化热 ， 引起 自密实混凝土温升 。 根据 该结构及其材料 的特点 ， 1 区 堆石体 2 区 自密实混凝土 图 1 求解示意 图 F i g 1 S k e t c h o f s i mp l i fi e d r o c k fi l l c o n c r e t e f o r s o l u t i o n 收稿 日期 ： 2 o 1 21 1 2 8 ； 修回日期 ： 2 0 1 3一O l 一2 3 基金项目： 国家 自然科学基金青年基金 ( 5 1 1 0 9 0 8 3 ) ； 中央高校基本科研业务费专项资金( 2 0 1 2 Z M0 0 9 1 ) ； 华南理工大学亚热带建筑科学国家重 点实验室开放基金 ( 2 0 1 1 K B 2 8 ) 作者简介 ： 麦戈( 1 9 7 0一) ， 女， 广东广州人 ， 高级工程师 ， 主要从事土木工程 、 环境工程 的研究， ( 电话 ) 1 3 6 6 0 2 1 5 3 8 6 ( 电子信箱 ) m , a g e 8 8 2 1 1 6 3 c o m 。 9 8 长 江科学 院院报 2 0 1 3生 可得到以下求解方程及约束条件 ： 热传导方程 ： V “ 。_0 ， r ( 0 ) ； ( 1 ) 警 V “ _ m ，r r it2 ) 。( 2 ) 连接条件( t 0 ) ： “ - ( r ， t ) l ，= 2 ( r ， t ) l ； ( 3 ) q i Ir=q ： q 2 。 一 _ 斋 一 l，= rl。 J 边界条件 ： g ：皇 兰 互 + 卢 ( “ 一u 。)r = r 2=0。 ( 5 ) 初始条件( t = 0 ) ： “ 1 ( r ， 0 )=“ ； 2 ( r , O )=U 。 ( 6 ) 其他( 一 ) ： U ( r ， )=u 0 。 ( 7 ) 式中- k为导温 系数 ； 为放热 系数 ； q为导热系数 ； u 。 为年平均气温 ； 为堆石体 的初始温度 ； 为 自 密实混凝土的初始温度； 0 。 为 自密实混凝土的初始 水化热。 3热传导偏微分方程的求解 本文采用参数的下标和区域编号一一对应 。求 解过程主要分 3步。 ( 1 )步骤 1 ： 求解使边界条件齐次化的特解 。 设 “ ( r ， t ) =V ( r ， t )+ W( r ， t ) ， 其 中 W( r ， t ) 为满 足方程和边界条件的特解。为了使边界条件 的齐次 化 ， 并考虑到 f 一， 1 ( r ， ) =u 0 ， 可令 W 1 =M 0 。则 初始条件可记为 ： 。 ( r ， 0 )： ( r ， 0 )一W ( r ， 0 ) ， 即 1( r ， 0 ) =M z o 。同理可令 ： W 2 ( r ， t )= 0 ， 则 V 2 ( r ， 0 )=“ 2 ( r ， 0 )一W 2 ( r ， 0 ) 。 即 V 2 ( r ， 0 )=“ 一 U o 。 ( 2 )步骤 2 ： 利用分离变量法， 求解齐次方程 的 本征函数 。 将 ( r ， t )=u ( r ， t )一M 。 代人式( 5 ) ， 必然得到 齐次化的边界条件 ， 即 g ： + ( r , t ) I = 0。 ( 8 ) d ， I r = 由于式 ( 2 ) 含有非齐次项 ， 因此可 以先求齐次 方程、 齐次边界条件 的一般解为 一 v。 ： ( )：0 ， r( r 2 ) 。 ( 9 ) 采用分离变量的方法 ， 即令 ( r ， t )= R( r ) T ( t ) ， 程和边界条件 ， 都可以确定出相应的 R ( r ) 及 ( t ) 。 性， 便可 以得到合 理 的一般解 ， 即 ( r ， t )= c n u n ( r , t ) 。 1 V = 麦 。( 1O ) 专 1 d ( r d R i,) = 孥 2 o ( 其中， i ：1 ， 2分别对应于区域( O ， r ) 和( r ， r ) 。 由 式 ( 1 1 ) R r) 的 线 性 无 关 解 为 sin ( r J 和 ，考虑到 啪) 在 r = 。处有边界要求 ， 啪) = ) ，r ( 0 ， ( 12 ) 式 ( 1 2 ) ， 式 ( 1 3 ) 含 A ， B ， 3个未知数 ， 结合方程 R 1 ( r )=R 2 ( r ) ； ( 1 4 ) ql = q 2 L ； ， I ； 【 l g + ( r ) -0o( 1 6 ) a21 a2 2 a23 J Lz n、j l 血 。 3 2 = l 三 J 。 l z 一 r1 ) ； 。 一一 吣 【 J ； os t 3 n r , I s i n fl r1)_ 1 L r r J 第 1 2期 麦 戈 等 一类求解堆石混凝土结构温度场分布的解析法 ： o s s i n fl r1)- 【 ， 、 一 r 2 。 j 一 s i n cos ； L r t 。 r J 鱼 一 + 卢 ； 一 堕 + + 卢 。 L ， r 2 j 011 ) 。 ( r ， t )： ( t ) n ( r ) 。 ( 1 9 ) V u = e一= n = l 。( 2 0 ) 【 r ( r ) 0 d r + r d r o 归一化系数为 = a r + r2 。 r 2 尺 d r。 ( r ， 0 ) = EL( 0 ) R ( r ) 。( 2 1 ) n = 1 利用正交函数 的性质 ， 可求得展开系数为 g = ( 0 ) n 【1 _Jq l ( 。 r, r 2n r r ) ( r ， 0 ) d r + ( r ) r ，O ) d r 】 o ( 2 2 ) 将 ( r ， ) = ( ) R ( r ) 代入式( 2 0 ) ， 并联立 式( 1 0 ) ， 可以得到时间部分对应 的常微分方程为 d ( )+ ( )=Ae 一 ， ( 0 )= 。 ( 2 3 ) 考虑到 = A e _ 3 2 t +B e 一 ( 第一项是通解 ， 第 二项是特解) ， 代人式 ( 2 3 ) 可得 gn一忐 + e 。 (2 4 ) 综上 ， 可以得到式( 1 ) ， 式 ( 2 ) 在式( 3 ) 至式 ( 7 ) 约束条件下的最终解 ， 即 u ( r ， t )= ( r ， t ) + M 0= ( t ) R ( r ) + M o 。 ( 2 5 ) 式( 2 5 ) 即为本文给 出的堆石混凝土温度场分 布的显式解析表达式 ， 在实际计算时， 在给定了材料 属性后 ， 利用 Ma t l a b软件进行编程 ， 依次对各待定 系数及温度场进行求解计算 。 4 算例分析 为分析堆石混凝 土材料温度变化的规律 ， 本文 取一组堆石混凝土为算例 ， 堆石体及 自密实混凝土 的计算参数如 表 1所示 ； 温度条件 为 ： 年平 均气温 u 。 = 2 0 o C， 堆石体初始温度 u = 4 c 【 = ， 自密实混凝土 初始温度 u =1 5 o C。自密实混凝土 的水化热温升 方程为 0= 2 4 0 ( 1一 e ) 。计算时间取 3 0 0 d ， 时 步为 1 d 。计算结果如图 2和图 3所示。 堆石体 以较低温度 ( 4 C) 投放 ， 堆石体外部被 自密实混凝土包围 ， 而 自密实混凝土产生水化热 ， 使 得堆石体温度不断升高。从图 2中可以看 出， 越靠 近外部的 自密实混凝土 ( r越大) ， 堆石体 的温度提 同理把初始条件按本征函数组展开得 高得越快 ， 最终形成稳定的温度场。 表 1 堆石体及自密实混凝土计算参数 Ta b l e 1 Ca l c u l a t i o n p a r a me t e r s f o r r o c k fi l l a n d s e l f - c o mp a c t i n g c o n c r e t e 1 0 0 长江科 学院 院报 2 0 1 3芷 时间， d 图 2 堆石体 内部温度场变化 Fi g 2 Var i a t i on o f t e mpe r a t ur e fie l d i ns i de t he r o c l dl l l 。 时 I可， d 图 3 自密实混凝土内部温度场变化 Fi g 3 Va ria t i o n o f t e mp e r a t u r e fie l d i n s i d e t h e s e l f - c o mp a c t i n g c o n c r e t e 由图 3可知， 在 自密实混凝土内部 ， 由于受外部 气温及堆石体的影响较小 ， 水化反应引起温度的升 高( 从 2 0增加到2 6 7 8) ， 随着混凝土表面的不 断散热 ， 温度场趋 于稳 定 ( r=1 1 3 m) 。而 自密实 混凝土的表面 ( r =1 2 6 m) 受外界气温 影响较 大 ， 绝热温升幅度不大 ( 从 2 0增J J I 2 1 6 3) ， 并随 着表面的不断散热 ， 温度场趋于稳定 ( 与外界多年 平均气温相近) 。 5 结 语 针对堆石混凝土材料的 自身特点 ， 本文建立 了 等效 的计算模型 ， 确定 了堆石混凝土温度场分布 的 数理方程 ， 并给出了温度场分布的显式解析表达式。 以一个堆石混凝土结构为例 ， 借助 Ma t l a b的编程工 具 ， 研究 了堆石混凝土材料温度场的分布规律 ， 并最 终形成稳定的温度场 ， 该成果为堆石混凝土材料温 度场变化的研究奠定了理论基础。 参考文献 ： 2 金峰 ， 安雪晖堆石混凝土大坝施工方法： 中国， 3 0 1 0 2 6 7 4 5 P 2 0 0 3 ( J I N F e n g ，A N X u e h u i C o n s t r u c t i o n Me t h o d f o r Ro c k F i l l Co n c r e t e Da m： C h i n a， 3 0 1 0 2 6 7 4 5 P 2 0 0 3 ( i n C h i n e s e ) ) 金峰， 安雪晖，石建军 ， 等堆石混凝土及堆石混 凝土大坝 J 水利 学报，2 0 0 5 ，3 6( 1 1 ) ：1 3 4 7 1 3 5 2 ( J I N F e n g ，A N X u e - h u i ，S H I J i a n - j u n ，e t a 1 S t u d y o n R o c k f i U C o n c r e t e Da m J J o u r n a l o f Hy d r a u 1 i c E n g i n e e ri n g ， 2 0 0 5 ， 3 6 ( 1 1 ) ：1 3 4 71 3 5 2 ( i n C h i n e s e ) ) 3 安雪晖， 金峰 ， 石建军自密实混凝土充填堆石体 的试验研究 J 混凝土，2 0 0 5 ，1 0 ( 1 ) ：36 ( A N X u e h u i ， J I N F e n g ， S H I J i a n - j u n E x p e r i me n t a l S t u d y o f S e rf - c o m p a c t i n g C o n c r e t e F i l l e d P r e p a c k e d R o c k J C o n c r e t e ， 2 0 0 5， 1 0 ( 1 ) ： 3 6 ( i n C h i n e s e ) ) f 4 石建军， 张志恒 ， 金峰，等自密实混凝土充填堆 石体的试验 J 南华大学学报 ， 2 0 0 5 ，1 9 ( 1 ) ： 3 8 4 1 ( S H I J i a n - j u n ，Z H A N G Z h i h e n g ，J I N F e n g ，e t a 1 Ex p e r i me n t o n S e lf - c o mp a c t i n g Co n c r e t e Fi l l i ng Ro c k f i U J J o u rna l o f U n i v e r s i t y o f S o u t h C h i n a ，2 0 0 5 ，1 9 ( 1 ) ： 3 8 4 1 ( i n C h i n e s e ) ) 5 周虎， 安雪晖，金峰低水泥用量自密实混凝土 配合 比设计试验研究 J 混凝 土，2 0 0 5 ，1 0( 1 ) ： 2 02 3 ( Z HO U Hu ，A N X u e h u i ，J I N F e n g E x p e ri me n t a l S t u d y o f L o w C e me n t Do s a g e S e l f - c o mp a c t i n g Co n c r e t e Mi x D e s i g n J C o n c r e t e ， 2 0 0 5 ，1 0 ( 1 ) ： 2 02 3 ( i n C h i n e s e ) ) 6 周绍青， 石建军， 杨晓峰，等神经网络在 自密实混 凝土流动性能中的应用 J 水利与建筑工程学报， 2 0 0 5 ， 3 ( 4 ) ： 4 2 4 5 ( Z H O U S h a o q i n g ，S H I J i a n - j u n ， YAN G X i a o f e n g， e t a 1 Ap p l i c a t i o n o f Ne u r a l Ne t w o r k i n P r e d i c t i o n for F l o wi n g P r o p e r t y o f S e l f - c o mp a c t i n g C o n c r e t e J J o u rna l o f Wa t e r R e s o u r c e s a n d A r c h i t e c t u r a l E n g i n e e r i n g ， 2 0 0 5 ， 3 ( 4 ) ： 4 2 4 5 ( i n C h i n e s e ) ) 7 宋殿海， 刘剑自密实堆石混凝土在宝泉抽水蓄能 电站的应用 J 水力发电，2 0 0 7 ，3 3 ( 9) ：2 62 8 ( S O N G D i a n h a i ， L I U J i a n A p p l i c a t i o n o f S e l f - c o m p a c t e d Ro c kfil l Co nc r e t e i n Ba o qu a n Pu mp e d St o r a g e Po we r S t a t i o n J Wa t e r P o w e r ， 2 0 0 7 ，3 3 ( 9 ) ： 2 62 8 ( i n C h i n e s e ) ) 8 安雪晖，黄绵松， 周虎，等堆石混凝土施工技术 综述 C 全国混凝土新技术及其工程应用技术交流 会 中国 ： 宁波 ， 2 0 0 7 ： 2 33 1 ( A N X u e h u i ， H U A N G Mi a n s o ng， ZHOU Hu，e t a1 Re v i e w o f Co ns t r uc t i o n T e c h n o l o g y f o r R o c k F i l l C o n c r e t e C N a t i o n a l S y m p o s i u m o n Ne w Co n c r e t e Te c hn i qu e a n d I t s Eng i n e e r i ng Ap p l i c a t i o n N i n g b o ， C h i n a ， 2 0 0 7 ： 2 3 3 1 ( i n C h i n e s e ) ) 9 吴崇试数学物理方法 M 北京 ： 北京大学出版社， 1 9 9 9 ( WU C h o n g s h i Me t h o d s o f Ma t h e m a t i c a l P h y s i c s M B e i j i n g ：P e k i n g U n i v e r s i t y P r e s s ，1 9 9 9 ( i n C h i n e s e ) ) 1 0 MN 奥齐西克热传导 M 俞昌铭， 译北京：高 等教育出版社，1 9 8 3 ( O Z I S I K M NT h e r m al C o n d u c t i o n M T r a n s l a t e d b y Y U C h a n g m i n g B e i j i n g ： H i g h e r Ed u c a t i o n P r e s s 1 9 8 3 ( i n Ch i n e s e ) ) ( 编辑 ： 黄玲) ( 下转第 1 0 6页) u 。 髓嘎 1 0 6 长江科 学院 院报 2 0 1 3生 f o r R o c k F r a e t u r e s J C h i n e s e J o u r n a l o f R o c k Me c h a n - i c s a n d E n g i n e e r i n g ， 2 0 0 7 ， 2 6( S u p 1 ) ： 2 6 1 3 - 2 6 1 9 ( i n C h i n e s e ) ) 1 7 Q I A N G S ， Z H A N G Y Z H U Y M。 e t a 1 R e s e a r c h o n t h e Pr e - p r o c e s s o f Thr e e Di me ns i o n 【a l Co mp o s i t e E1 e me nt Me t h o d f o r D i s c o n t i n u o u s R o c k C P r o c e e d i n g s o f t h e 6 t h Eu r o p e a n Co n f e r e n c e o n N u me ri c a l Me t h o d s i n Ge o t e c h n i c a l E n g i n e e r i n g G r a z ，Au s t ri a，S e p t e mb e r 6 8，20 0 6 Lo n do n： Ta y l o r a n d Fr a n c i s Gr o u p， 2 00 6： 2 8 3 28 8 ( 编辑 ： 黄玲 ) Re s e a r c h o n Te m p e r a t u r e F i e l d o f RCC Da m Co n t a i n i n g Li f t I n t e r f a c e s b y Co m p o s i t e El e me nt M e t h o d Z HA N G S h i h u ， F U S h a o - j u n ， C H E N S h e n g h o n g ( 1 S t a t e K e y L a b o r a t o r y o f Wa t e r R e s o u r c e s a n d H y d r o p o w e r E n g i n e e ri n g S c i e n c e ， Wu h a n U n i v e r s i t y ， Wu h a n 4 3 0 0 7 2，C h i n a ；2 S c h o o l o f C i v i l En g i n e e rin g ，Wu h a n U n i v e r s i t y ，Wu h a n 4 3 0 0 7 2 ，C h i n a ) A b s t r a c t ： A c c o r d i n g t o t h e p ri n c i p l e o f c o m p o s i t e e l e m e n t m e t h o d ( C E M)a n d t h e i m p l i c i t e x p r e s s i o n o f t r a n s i e n t t e mp e r a t u r e fie l d，t h e t h e r ma l g o v e r ni ng e q u a t i o n s o f CEM f o r ma s s c o n c r e t e c o n t a i n i n g l i ft i nt e rfa c e s a r e d e d u c e d Th e e f f e c t o f e a c h l i ft i n t e rfa c e c a n b e we l l s i mu l a t e d a n d t h e d i f f i c u l t y o f g e n e r a t i n g me s h e s a r o u n d t h e l i f t i n t e r f a c e i s o v e r c o me Th i s a l g o rit h m c a n b e i n c o r p o r a t e d i n t o t he c o n v e n t i o n a l fi n i t e e l e me n t a naly s i s p r o g r a m T h e e l e me n t c o n t a i n i n g n o l i ft i n t e rfa c e wi l l b e d e g e n e r a t e d t o t r a d i t i o n a l fin i t e e l e me n t a u t o ma t i c all y By u s i n g t h i s a l g o rit h m a t hr e e d i me n s i o n a l c o mpo s i t e e l e me n t mo d e l o f L a o s Na m Ng u m5 RCC g r a v i t y d a m i s e s t a b l i s h e d Th e t h r e e d i me n s i o n a l t r a n s i e nt t e mp e r a t u r e fie l d i s s i mu l a t e dTh e c o mp u t a t i o n a l r e s u l t s a g r e e wi t h t h e mo n i t o r e d v a l u e s v e ry we 1 l i n t e rm s o f v a ria t i o n r e g u l a rit y a n d q u a n t i t y T h e r e s e a r c h r e s u l t s i n d i c a t e t h a t t h i s a l g o rit h m i s v a l i d a n d p r a c t i c a l i n e n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n Ke y wo r ds ： c o mp o s i t e e l e me n t me t h o d；l i f t i nt e rfa c e；RCC d a m ；t r a n s i e n t t e mp e r a t u r e fie l d 【 上接第 1 0 0页) An An a l y t i c a l M e t h o d f o r Te mp e r a t u r e Fi e l d Di s t r i b u t i o n o f Ro c k fi1 1 Co n c r e t e S t r u c t u r e MAI Ge ，TANG Xi n we i 。 ，T ANG Zh a o p i n g ( 1 S c h o o l o f Ur b a n C o n s t r u c t i o n，Z h o n g k a i U n i v e r s i t y o f Ag r i c u l t u r e a n d En g i n e e r i n gGu a n g z h o u 51 0 2 2 5，Ch i n a；2 S t a t e Ke y La b o r a t o ry o f S u b t r o p i c a l Bu i l d i ng S c i e n c e ，S o u t h C h i n a Un i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y， Gu a n g z h o u 5 1 0 64 0，Chi na；3 CCCC Th i r d Ha r b o r Co n s u l t a n t s Co ，L t d ， S h a n g h a i 2 0 0 0 3 2 。 C h i n a ) A b s t r a c t ： A s a n e w t y p e m a t e ri al， R F C ( r o c k 一 6 U c o n c r e t e )h a s b e e n a p p l i e d t o s t ruc t u r e s o f h y d r a u l i c e n g i n e e ri n g ， h a r b o r e n g i n e e r i ng a nd mi n i n g e n g i n e e ring At p r e s e n t ，t h e a p p l i c a t i o n o f RFC i s s t i l l i n t he s t a g e o f d e v e l o p me n t To r e s e a r c h t h e t he r mo d y n a mi c p r o pe r t i e s ，a n e q u i v a l e n t mo d e l i s b ui l t a c c o r d i ng t o c ha r a c t e r s o f RF C s t r u c t u r e T h e ma t h e ma t i c a l e q u a t i o n for t h e t e mp e r a t u r e f i e l d o f R F C i s c o n s t r u c t e d，a n d t h e a n a l y t i c a l s o l u t i 0 n 0 f t e r nD e r a t u r e fi e l d d i s t rib u t i o n i s o b t a i n e dT a k i n g a n RFC s t ru c t u r e a s a n e x a mp l e ， Ma fla b i s u s e d a s a p r o g r a mmi n g t o o l t o a n a l y z e t h e t e mpe r a t u r e p r o p e r t i e s o f t h e s t ru c t u r e Re s u l t s s h o w t h a t t h e a n a l y t i c a l me t h o d i n t h i s r e s e a r c h c o u l d be us e d t o s t u d y t h e t e mp e r a t u r e fie l d d i s t rib u t i o n o f RFCI t l a y s a t he o r e t i c a l f o u nd a t i o n f b r t h e s t u d y o f RF C t e mDe r a t u r e fie 】 d Ke y wo r d s： r o c k一 6儿 c o nc r e t e；t e mp e r a t u r e fie l d；ma t h e ma t i c a l e q u a t i o n：a na l y t i c a l s o l u t i o n