重积分习题课高数名师超超全.pptx

习题课一、一、重积分计算的基本方法重积分计算的基本方法 二、主要内容二、主要内容 三、典型例题三、典型例题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 重积分的 计算 及应用 一、重积分计算的基本方法一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系选择合适的坐标系使积分域多为坐标面使积分域多为坐标面(线线)围成围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序选择易计算的积分序积分域分块要少积分域分块要少,累次积分易算为妙累次积分易算为妙.图示法图示法列不等式法列不等式法(从内到外从内到外:面、线、点面、线、点)3.掌握确定积分限的方法掌握确定积分限的方法 累次积分法累次积分法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用二二重重积积分分定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用三三重重积积分分二、主要内容二、主要内容1 1、二重积分的定义、二重积分的定义、二重积分的几何意义、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值性质性质当当 为常数时，为常数时，性质性质、二重积分的性质、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质若若 为为D的面积的面积性质性质若在若在D上，上，特殊地特殊地性质性质性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）、二重积分的计算、二重积分的计算X型型 X-型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（）直角坐标系下（）直角坐标系下 Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴轴的直线与区域边界相交不多于两个交点的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型型（）极坐标系下（）极坐标系下5 5、二重积分的应用、二重积分的应用(1)体积体积设设S曲面的方程为：曲面的方程为：曲面曲面S的面积为的面积为(2)曲面积曲面积当薄片是均匀的，重心称为形心当薄片是均匀的，重心称为形心.(3)重心重心薄片对于薄片对于x轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于薄片对于y轴的转动惯量轴的转动惯量(4)转动惯量转动惯量薄片对薄片对 轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力G为引力常数为引力常数(5)引力引力6 6、三重积分的定义、三重积分的定义7、三重积分的几何意义、三重积分的几何意义8 8、三重积分的性质、三重积分的性质类似于二重积分的性质类似于二重积分的性质9 9、三重积分的计算、三重积分的计算()直角坐标直角坐标()柱面坐标柱面坐标()球面坐标球面坐标1010、三重积分的应用、三重积分的应用()重心重心()转动惯量转动惯量例例1.计算二重积分计算二重积分在第一象限部分在第一象限部分.解解:(1)两部分两部分,则则其中其中D 为圆域为圆域把与把与D 分成分成作辅助线作辅助线机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、典型例题三、典型例题(2)提示提示:两部分两部分 说明说明:若不用对称性若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线作辅助线将将D 分成分成机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2.计算二重积分计算二重积分其中其中:(1)D为圆域为圆域(2)D由直线由直线解解:(1)利用对称性利用对称性.围成围成.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (2)积分域如图积分域如图:将将D 分为分为添加辅助线添加辅助线利用对称性利用对称性,得得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3.计算二重积分计算二重积分其中其中D 是由曲是由曲所围成的平面域所围成的平面域.解解:其形心坐标为其形心坐标为:面积为面积为:积分区域积分区域线线形心坐标形心坐标机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例：例：计算积分计算积分其中其中D 由由所围成所围成.提示提示:如图所示如图所示连续连续,所以所以机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例解解例例6 6 证证例例 解解利用球面坐标利用球面坐标例例 解解例：例：计算三重积分计算三重积分其中其中 是由是由 xoy平面上曲线平面上曲线所围成的闭区域所围成的闭区域.提示提示:利用柱坐标利用柱坐标原式原式绕绕 x 轴旋转而成的曲面与平面轴旋转而成的曲面与平面机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例10：计算积分计算积分其中其中 是是两个球两个球(R 0)的公共部分的公共部分.提示提示:由于被积函数缺由于被积函数缺 x,y,原式原式=利用利用“先二后一先二后一”计算方便计算方便.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十章第十章 测测 验验 题题测验题答案测验题答案第十章第十章 测测 验验 题题测验题答案测验题答案典型例题典型例题例例1 1解解X-型型例例2 2解解例例3 3 证证例例4：计算积分计算积分其中其中D 由由所围成所围成.提示提示:如图所示如图所示连续连续,所以所以机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例5.计算二重积分计算二重积分其中其中:(1)D为圆域为圆域(2)D由直线由直线解解:(1)利用对称性利用对称性.围成围成.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (2)积分域如图积分域如图:将将D 分为分为添加辅助线添加辅助线利用对称性利用对称性,得得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例6.计算二重积分计算二重积分在第一象限部分在第一象限部分.解解:(1)两部分两部分,则则其中其中D 为圆域为圆域把与把与D 分成分成作辅助线作辅助线机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (2)提示提示:两部分两部分 说明说明:若不用对称性若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线作辅助线将将D 分成分成机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例7.计算二重积分计算二重积分其中其中D 是由曲是由曲所围成的平面域所围成的平面域.解解:其形心坐标为其形心坐标为:面积为面积为:积分区域积分区域线线形心坐标形心坐标机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例8 8 解解利用球面坐标利用球面坐标例例 解解7(3).计算三重积分计算三重积分其中其中 是由是由 xoy平面上曲线平面上曲线所围成的闭区域所围成的闭区域.提示提示:利用柱坐标利用柱坐标原式原式绕绕 x 轴旋转而成的曲面与平面轴旋转而成的曲面与平面机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1010：证明：证明：证证:左端左端=右端右端机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束