高等数学之数列极限.pptx

高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1 1、割圆术、割圆术 刘徽一、概念的引入一、概念的引入第二节第二节 数列的极限数列的极限 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系正六边形的面积正十二边形的面积形的面积.（圆的面积）正 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系2、截丈问题“一尺之棰，日截其半，万世不竭”.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系二、数列的定义二、数列的定义 xn 称为通项定义按自然数.,3,2,1编号依次排列的一列数.,21nxxx(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项，（一般项）.数列(1)记为nx例如 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系注：1。数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2。数列是整标函数 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系三、数列的极限三、数列的极限 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系问题:当 无限增大时,是否无限接近于某一确定的问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面的图象可知:=数值?如果是,如何确定?高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系定义 如果对于任意给定的正数e（不论它多么小），总存在正数 N,使得对于Nn时的一切nx,不等式e-axn都成立,那末就称常数 a 是数列nx的极限，或者称数列nx 收敛于a,记为或如果数列没有极限,就说数列是发散的.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系注 1。的无限(任意)接近与刻划了不等式axaxnne刻划接近阶段其中0,0N.eNn时当将上述定义用数学语言可表述如下：,高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系几何解释:高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例例1证证所以所以,高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例3证 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例4证在利用数列极限的定义来证明数列的极限时，重要的是要指出对于任意给定的正数，正整数N确实存在，没有必要非去求出最小的N。注：高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系数列二 1/2,2/3,3/4,n/(n+1),四、数列极限的性质四、数列极限的性质1 1、有界性有界性数列一 1,2,3,n,无界数列三 1,-1,1,-1,有界有界定义:对数列,若存在正数,使得一切自然数,高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系2 2、唯一性、唯一性定理 每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系定理 收敛的数列必定有界.证由定义,注：有界性是数列收敛的必要条件.推论 无界数列必定发散.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例：证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.这就 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系3、子数列的收敛性注：例如，knkxnxnk项，中却是第在原数列而项，是第中，一般项在子数列 kxnxnk显然，高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系定理 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同证证毕 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 反之，即使数列的两个子序列都收敛，但不收敛于同一极限，原数列仍是发散的。X2k-1=1,1,1,和X2k=-1,-1,-1,注：数列极限的-N 定义，在理论上的重要性是显而易见的，许多定理的证明都要用到。都是Xn=1,-1,1,-1,1,-1,的子序列，它们分别收敛于1和-1，但原数列Xn是发散的。例如