高等数学北大第二版方向导数与梯.pptx

6-6 方向导数与梯度方向导数与梯度1.方向导数方向导数讨论函讨论函z=f(x,y)在一点在一点P沿某一方向的变化率问题沿某一方向的变化率问题如果函数增量0,11=er依定义，函数依定义，函数),(yxf在点在点P沿着沿着x轴正向轴正向、即当 l 与 x 轴同向 即当 l 与 x 轴反向关于方向导数的存在及计算：关于方向导数的存在及计算：方向导数是偏导数的推广方向导数是偏导数的推广定理定理 若函数若函数 在点在点 处可微处可微,则则 在该点沿任一方向在该点沿任一方向 的方向导数的方向导数均存在均存在,且且其中其中 为为 的方向余弦的方向余弦.证证 例例1 求函数 在点(1,2)处从点 到点 的方向的方向导数.解解首先计算f 在点(1,2)处的偏导数：其次计算给定方向的方向余弦.故所求方向导数对于三元函数对于三元函数),(zyxfu=可以类似地定义点可以类似地定义点且的方向余弦为且的方向余弦为 ,则则沿着方向沿着方向的方向导数的方向导数.在点可微在点可微若若例例2解解根据定义先求 的方向余弦.2.梯度梯度方向导数公式方向导数取最大值：这说明方向：f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数例例 3解解例例4.已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点试证处所产生的电势为沿着与电场强度相反的方向，电势增加率最高沿着与电场强度相反的方向，电势增加率最高.解解梯度计算的运算法则：梯度计算的运算法则：其中有连续的一阶偏导数其中有连续的一阶偏导数三、小结三、小结1.方向导数的概念方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）2.梯度的概念梯度的概念（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）3.方向导数与梯度的关系方向导数与梯度的关系习题习题 6-6 1.3.5.7.8.