分群扩散理论.pptx

单群理论认为堆芯内所有的中子能量相等，而实际上堆芯单群理论认为堆芯内所有的中子能量相等，而实际上堆芯内的中子能量分布在很宽的范围。材料的各种截面又和中子内的中子能量分布在很宽的范围。材料的各种截面又和中子能量密切相关，实际应用中单群理论是不适用的，必须考虑能量密切相关，实际应用中单群理论是不适用的，必须考虑能量相关的中子慢化与扩散模型。能量相关的中子慢化与扩散模型。尽管单群理论给出的结果不够准确，但尽管单群理论给出的结果不够准确，但单群理论简单单群理论简单明了，在一些情况下能给出解析解，有利于初学者掌握和明了，在一些情况下能给出解析解，有利于初学者掌握和理解分群扩散理论概念和方法，并且其解带有普遍意义理解分群扩散理论概念和方法，并且其解带有普遍意义。因此因此,研究单群理论是非常有意义的研究单群理论是非常有意义的.本章主要内容本章主要内容:建立多群中子扩散方程、介绍群常数的建立多群中子扩散方程、介绍群常数的计算、以双群模型求解求解反应堆临界问题、介绍多群扩散计算、以双群模型求解求解反应堆临界问题、介绍多群扩散方程的数值解法。方程的数值解法。5.1 与能量相关的中子扩散方程和分群扩散理论与能量相关的中子扩散方程和分群扩散理论5.1.1 与能量相关的中子扩散方程与能量相关的中子扩散方程 泄漏率泄漏率：J(r,E)表示表示r处能量为处能量为E的中子净流密度，的中子净流密度，由斐可定律（由斐可定律（3-21），），则单位体积内泄漏率为：则单位体积内泄漏率为：损失率损失率：中子损失率包括吸收损失和散射引起的损失。：中子损失率包括吸收损失和散射引起的损失。产生率产生率：根据相空间体积元内中子数的变化率等于中子产生率与消失根据相空间体积元内中子数的变化率等于中子产生率与消失率之差，可以建立与能量相关的中子扩散方程率之差，可以建立与能量相关的中子扩散方程在稳态和无源情况下在稳态和无源情况下，方程变为：，方程变为：上式只是对于临界系统才成立。上式只是对于临界系统才成立。任意系统稳态中子扩散方程任意系统稳态中子扩散方程有效增殖因子有效增殖因子keff也称为方程的特征值。也称为方程的特征值。5.1.2 分群扩散理论及多群中子扩散方程分群扩散理论及多群中子扩散方程中子能量区域按能量大小中子能量区域按能量大小划分为划分为G个能区，最高能量个能区，最高能量记为记为E0，最低能量记为，最低能量记为EG，每一个能量区间称为一个每一个能量区间称为一个能群能群。能群编号能群编号g=1,，G随中子能量降低而增加。随中子能量降低而增加。这样：这样：能量连续变化的扩散方程变成能量连续变化的扩散方程变成G G个与能量无关的扩散方程个与能量无关的扩散方程。中子能群的划分在每一个能群区间对稳态中子扩散方程进行积分，消去方在每一个能群区间对稳态中子扩散方程进行积分，消去方程中能量，可得程中能量，可得G个不含能量变量个不含能量变量E的扩散方程，其中的扩散方程，其中第第g群扩散方程为群扩散方程为为了简化以上方程以方便求解，引入一些主要物理量：为了简化以上方程以方便求解，引入一些主要物理量：g群中子通量密度群中子通量密度 g(r)就是空间就是空间r处处g群内各种能量中子的总中子通量密度。群内各种能量中子的总中子通量密度。g群总截面群总截面g群扩散系数群扩散系数g群中子产生截面群中子产生截面g群中子裂变谱群中子裂变谱群转移截面群转移截面 g g能量分成能量分成G群后，中子扩散方程中的散射源可以写为：群后，中子扩散方程中的散射源可以写为：因而，因而，便表示每秒单位体积内便表示每秒单位体积内g群中子经受散射碰撞群中子经受散射碰撞后，能量落到后，能量落到g群内的中子数。群内的中子数。利用以上定义的群常数，对于利用以上定义的群常数，对于g群中子的扩散方程为：群中子的扩散方程为：这就是这就是多群扩散方程。多群扩散方程。方程中参数方程中参数Dg,t,g,g g,f,g等等称为称为群常数群常数。群常数计算是反应堆物理分析中一个非常重群常数计算是反应堆物理分析中一个非常重要的内容，分群扩散理论的结果依赖于所使用群常数的精度。要的内容，分群扩散理论的结果依赖于所使用群常数的精度。5.1.3 群常数的计算群常数的计算要计算群常数要计算群常数,就必须知道中子通量密度就必须知道中子通量密度(r,E)，而这正是我，而这正是我求解扩散方程所要计算的函数。求解扩散方程所要计算的函数。这是一个非线性问题，可以用一个近似这是一个非线性问题，可以用一个近似(r,E)分布来代替。分布来代替。高能区高能区 裂变谱裂变谱 中能区中能区 1/E 分布分布 热中子能区热中子能区 麦克斯韦分布麦克斯韦分布群常数计算通常采用群常数计算通常采用“两步近似法两步近似法”：n先制作与具体反应堆能谱无关的多群微观常数库。先制作与具体反应堆能谱无关的多群微观常数库。n根据具体反应堆栅格的几何和材料组成，在多群库的根据具体反应堆栅格的几何和材料组成，在多群库的基础上，计算具体的中子能谱和少群常数。基础上，计算具体的中子能谱和少群常数。多群常数多群常数u 所谓多群就是将能量区间划分成很多细窄的能群，一般所谓多群就是将能量区间划分成很多细窄的能群，一般 能群在能群在25至至100。u 多群常数计算通常忽略中子通量密度随空间的变化，即多群常数计算通常忽略中子通量密度随空间的变化，即 采用一个近似的无限介质能谱来代替实际能谱采用一个近似的无限介质能谱来代替实际能谱，（高能区、，（高能区、中能区、热中子能区）但所得到的平均截面依然足够精确。中能区、热中子能区）但所得到的平均截面依然足够精确。u 只要能群数目足够多，多群数据库通常与具体堆型、只要能群数目足够多，多群数据库通常与具体堆型、系统成分及几何形状等无关。系统成分及几何形状等无关。u 由于所需计算时间太长，多群数据库通常不适用于堆芯由于所需计算时间太长，多群数据库通常不适用于堆芯 计算。计算。少群常数少群常数u所谓少群，一般能群在所谓少群，一般能群在24。由于所需计算时间太长，多群。由于所需计算时间太长，多群 数据库通常不适用于堆芯计算数据库通常不适用于堆芯计算,实际堆芯物理计算通常采实际堆芯物理计算通常采 用少群常数作扩散计算，用少群常数作扩散计算，压水堆一般是双群模型压水堆一般是双群模型。u由于能群间隔比较大，用少群常数作扩散计算会带来很大由于能群间隔比较大，用少群常数作扩散计算会带来很大 误差，因此必须根据实际堆芯或栅元结构，利用多群微观误差，因此必须根据实际堆芯或栅元结构，利用多群微观 常数库进行输运计算，求中子通量密度分布常数库进行输运计算，求中子通量密度分布n(r)。根据群。根据群 常数定义按以下公式归并，并产生出所需要的少群常数。常数定义按以下公式归并，并产生出所需要的少群常数。少群常数计算的精度决定着分群扩散近似的精度，少群常数的少群常数计算的精度决定着分群扩散近似的精度，少群常数的计算是反应堆研究的主要内容。计算是反应堆研究的主要内容。5.2 双群扩散理论双群扩散理论所谓双群就是把堆内中子按能量分成两群：所谓双群就是把堆内中子按能量分成两群：热群、快群热群、快群分界能分界能Ec：0.61eV(水堆水堆)、2.5eV(高温气冷堆高温气冷堆)。Ec以下是以下是热群，热群，Ec以上是快群。以上是快群。大量实践证明，对热中子反应堆，双群理论就可以得到大量实践证明，对热中子反应堆，双群理论就可以得到满意的计算结果满意的计算结果。双群理论一般需要数值方法求解，但一些简单的问题，如双群理论一般需要数值方法求解，但一些简单的问题，如裸堆和只在一个方向有反射层的反应堆，双群理论也可以得裸堆和只在一个方向有反射层的反应堆，双群理论也可以得到解析解。到解析解。先利用双群理论解析求解一侧有反射层的反应堆并讨论其先利用双群理论解析求解一侧有反射层的反应堆并讨论其应用。然后，再介绍多群扩散方程数值求解方法。应用。然后，再介绍多群扩散方程数值求解方法。5.2.1 双群方程双群方程快群中子通量密度快群中子通量密度热群中子通量密度热群中子通量密度Ec，E0分别为裂变中子的最高能量和分界能，分别为裂变中子的最高能量和分界能，1 2的下标的下标1和和2 分别代表分别代表快群和热群。快群和热群。p芯部双群扩散方程芯部双群扩散方程 在热堆中，在热堆中，快群中子主要热中子引起的裂变产生，它又快群中子主要热中子引起的裂变产生，它又通过慢化吸收和泄漏而消失；热中子来源于快中子的慢化，通过慢化吸收和泄漏而消失；热中子来源于快中子的慢化，并通过吸收和泄漏消失并通过吸收和泄漏消失。则根据多群扩散方程（则根据多群扩散方程（5-12），堆芯稳态时，快群和），堆芯稳态时，快群和热群的扩散方程为：热群的扩散方程为：式中r,c=a1,c+12，r,c 1，c代表单位时间体积内由于吸收代表单位时间体积内由于吸收和散射作用而和散射作用而“移出移出”快群的中子数。快群的中子数。p反射层双群扩散方程反射层双群扩散方程 根据多群扩散方程（根据多群扩散方程（5-12），堆芯稳态时，热群扩散方程为：），堆芯稳态时，热群扩散方程为：这里这里r,r反射层的快中子移出截面，上面方程可改写为：反射层的快中子移出截面，上面方程可改写为：其中：其中：5.2.2 双群方程的解双群方程的解p芯部方程的解芯部方程的解 这里先讨论双群方程的解析求解，由方程（这里先讨论双群方程的解析求解，由方程（5-19）得：）得：代入（代入（5-18）便得到热群中子通量密度的四阶偏微分方程：）便得到热群中子通量密度的四阶偏微分方程：其中：其中：采用因式分解法得采用因式分解法得 (5-26)同理，若消去同理，若消去 2,c,可得可得 (5-27)式中式中对于临界反应堆，对于临界反应堆，k 大于大于1，2、2为正的实数。由为正的实数。由(5-26)及及(5-27)看出，看出，1,c及及 2,c均满足波动方程均满足波动方程其中其中B2等于等于 2、-2。下面用。下面用-B2 代替代替 2，联立解，联立解(5-18)、(5-19)可得双群扩散理论的有效增殖因子可得双群扩散理论的有效增殖因子:如果假设快群不发生裂变，则如果假设快群不发生裂变，则 f1,c=0，则上式可，则上式可简化为双群简化为双群临界方程临界方程的形式的形式:其中其中方程方程(5-26)及及(5-27)的解是下列两个波动方程组解的线性组合的解是下列两个波动方程组解的线性组合其解其解X,Y一般都是由两个独立的函数组成。利用中心处中子一般都是由两个独立的函数组成。利用中心处中子通量密度对称性和有限性，两个函数通常只有一个可用。通量密度对称性和有限性，两个函数通常只有一个可用。因而，因而，1,c,2,c的一般解可写为的一般解可写为这里这里A,C,A,C为为4个待定常数。个待定常数。X,Y的解可以参看表的解可以参看表5-1。可以证明上述可以证明上述4个个待定常数中只有两个是独立的待定常数中只有两个是独立的*下表注释：(1)和 的解的形式相同，只须将，分别用，和，代换即可。(2)A当T有限时的解；B当 时的解。芯 部反射层X(r)Y(r)Z(r)(1)球状(芯部半径R；反射层厚度T)A(2)B长方体形Z方向有反射层AB圆柱体形侧面带反射层AB圆柱体形端部带反射层AB表5-1 芯部和反射层内中子通量密度波动方程的解都是方程的允许解，因而都是方程的允许解，因而 根据方程根据方程(5-19)可得可得令令 s1=A/A，由上式可得，由上式可得同理可求得同理可求得s1、s2叫做耦合系数，其值由芯部材料性质决定叫做耦合系数，其值由芯部材料性质决定，不是任意，不是任意规定的。因此：待定常数规定的。因此：待定常数A,C,A,C中只有两个是独立的。中只有两个是独立的。芯部中子通量密度的普遍解为：芯部中子通量密度的普遍解为：式中：式中：A,C为待定常数，可以由边界条件确定为待定常数，可以由边界条件确定。对于侧面带有反射层的圆柱形反应堆，根据表对于侧面带有反射层的圆柱形反应堆，根据表5-1它的它的中子通量密度可以写为：中子通量密度可以写为：其中其中p反射层方程的解反射层方程的解齐次方程齐次方程(5-22)，解为，解为不同形状仅在一个坐标方向有反射层的堆芯不同形状仅在一个坐标方向有反射层的堆芯Z1(r)列于表列于表5-1。方程方程(5-23)为非齐次方程，解可写为为非齐次方程，解可写为 s3为反射层的耦合系数，上式代入（为反射层的耦合系数，上式代入（5-23）得）得对于侧面带无限厚度反射层的圆柱形反应堆，反射层中子对于侧面带无限厚度反射层的圆柱形反应堆，反射层中子通量密度为：通量密度为：5.2.3 双群临界方程及中子通量密度分布双群临界方程及中子通量密度分布p双群临界方程双群临界方程 前面我们求出的芯部和反射层中子通量密度的解含有四个前面我们求出的芯部和反射层中子通量密度的解含有四个待定常数待定常数A、C、F、G,它们由双群临界方程的四个边界条它们由双群临界方程的四个边界条件来确定件来确定利用利用(5-40),(5-41),(5-42),(5-43),根据边界条件得下列方程根据边界条件得下列方程其中其中 以上线性方程有非零解的条件是，其系数行列式判别式须以上线性方程有非零解的条件是，其系数行列式判别式须为零，即：为零，即：这便是双群理论解这便是双群理论解一个坐标方向一个坐标方向有反射层反应堆的双群临界有反射层反应堆的双群临界方程方程，它给出了一个临界反应堆所必须满足的条件。，它给出了一个临界反应堆所必须满足的条件。p中子通量密度分布中子通量密度分布 芯部及反射层内快中子通量密度分布已由前面给出，而芯部及反射层内快中子通量密度分布已由前面给出，而待定常数待定常数A、C、F、G之间的比例关系由线性方程（之间的比例关系由线性方程（5-40）-（5-48）给出，若要得到中子通量密度分布的具体数值还）给出，若要得到中子通量密度分布的具体数值还需要反应堆的运行功率。中子通量密度分布如图所示。需要反应堆的运行功率。中子通量密度分布如图所示。热中子堆内的双群通量密度分布5.3 多群扩散方程的数值解法多群扩散方程的数值解法 以前所使用的解析方法仅适用于几种简化模型的求解以前所使用的解析方法仅适用于几种简化模型的求解,实实际工程中的多群扩散方程是无法解析求解的。数值方法是际工程中的多群扩散方程是无法解析求解的。数值方法是实际工程中唯一有效的求解扩散方程的方法。实际工程中唯一有效的求解扩散方程的方法。多群扩散方程是一个齐次特征值问题，通常采用多群扩散方程是一个齐次特征值问题，通常采用“外外-内内迭代过程方法迭代过程方法”求解。求解。u 外迭代或源迭代：通过源迭代求特征值的过程外迭代或源迭代：通过源迭代求特征值的过程u 内迭代：对源迭代过程中出现的扩散方程进行具体数内迭代：对源迭代过程中出现的扩散方程进行具体数 值求解的过程值求解的过程5.3.1源迭代法源迭代法 无外源情况下，堆芯多群扩散方程可写为无外源情况下，堆芯多群扩散方程可写为 （5-52）（5-53）源迭代方法过程如下：源迭代方法过程如下：u任意假定一个初始裂变源分布及初始特征值，任意假定一个初始裂变源分布及初始特征值，Q(0)(r)=1，keff(0)=1u初始裂变源分布及初始特征值代入初始裂变源分布及初始特征值代入(5-52)，逐群求解中子扩散方程，逐群求解中子扩散方程，得中子通量密度分布得中子通量密度分布 g(1)。u将将 g(1)代入方程代入方程(5-53)，得第二代裂变中子源分布，得第二代裂变中子源分布Q(1)(r)。u根据根据Q(1)(r)求得第二代特征值求得第二代特征值keff(1)，得第二代迭代源项。，得第二代迭代源项。u将第二代源项代入将第二代源项代入(5-52)求解，得下一代中子通量密度分布。求解，得下一代中子通量密度分布。对于第对于第n次迭代计算有次迭代计算有根据根据keff的定义的定义：数学上已证明了上述迭代计算的收敛性，理论上已证明：数学上已证明了上述迭代计算的收敛性，理论上已证明：在实际计算中，满足下列收敛准则时，迭代过程既为收敛：在实际计算中，满足下列收敛准则时，迭代过程既为收敛：u特征值收敛准则特征值收敛准则u中子通量密度分布收敛准则中子通量密度分布收敛准则5.3.2 二维扩散方程的数值解法二维扩散方程的数值解法计算中若不考虑自低能群的向上散射，方程计算中若不考虑自低能群的向上散射，方程(5-52)可写成可写成可以看出，当按次序可以看出，当按次序g=1,2,3 ,G次序对次序对以上方程求解时，以上方程求解时，方程右边源项便已知。略去上下标以上方程可以写为：方程右边源项便已知。略去上下标以上方程可以写为：以二维问题为例讨论以上方程的数值解：以二维问题为例讨论以上方程的数值解：对所取计算平面使用以下对所取计算平面使用以下直线分成矩形网格直线分成矩形网格:共有共有(N+1)(M+1)个节点，个节点，xi=xi+1-xi，yi=yi+1-yi将方程将方程(5-64)在在(i,j)节点附近节点附近积分，方程第一项为积分，方程第一项为:二维网格（i，j）网格示意图上式导数中应用下面近似公式上式导数中应用下面近似公式并考虑到并考虑到D有可能不连续得有可能不连续得同理可以得到第二、三、四项积分等于同理可以得到第二、三、四项积分等于综合以上各项，综合以上各项，方程方程(5-64)在在(i,j)节点附近差分方程为节点附近差分方程为:对于边界上的点则和前面一样，需要根据边界条件来确定。对于边界上的点则和前面一样，需要根据边界条件来确定。对于四周外推边界上，所有网点有：对于四周外推边界上，所有网点有：方程（方程（5-70）便是我们所需要的差分方程组，对于每次源）便是我们所需要的差分方程组，对于每次源迭代，方程迭代，方程(5-70)的系数及源项已知。通常采用迭代方法的系数及源项已知。通常采用迭代方法对该方程组进行求解。这种在源迭代的过程中，对方程对该方程组进行求解。这种在源迭代的过程中，对方程(5-70)求解的过程，为求解的过程，为内迭代或通量密度迭代内迭代或通量密度迭代。求解顺序通常为：求解顺序通常为：自第一行自第一行j开始逐行向上至开始逐行向上至j=M；在每一行，从在每一行，从i=0开始，自左向右到开始，自左向右到i=N。迭代的方法可以根据具体情况选取。每种迭代方法都有局迭代的方法可以根据具体情况选取。每种迭代方法都有局限性，有些方法收敛快，而有些方法收敛慢。限性，有些方法收敛快，而有些方法收敛慢。从前面的讨论可知，多群扩散方程的数值求解步骤可以从前面的讨论可知，多群扩散方程的数值求解步骤可以总结为两大步：总结为两大步：u源迭代或外迭代源迭代或外迭代 通过源迭代法将多群联立方程组的求解变换为解通过源迭代法将多群联立方程组的求解变换为解G个个 单群扩散方程，每个单群扩散方程应用差分法通过内迭单群扩散方程，每个单群扩散方程应用差分法通过内迭代方法求解。代方法求解。u中子通量密度迭代或内迭代中子通量密度迭代或内迭代 由于总群数为由于总群数为G，因而每一次外迭代中都需要对，因而每一次外迭代中都需要对G个方程个方程作内迭代运算。没有向上散射时，求解的次序可以从高能群作内迭代运算。没有向上散射时，求解的次序可以从高能群顺序向下运算顺序向下运算