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第二章 声子 2.5 长波方法（一）长波方法（一）声学模声学模 长波近似下的声子有着重要的作用。长波近似下的声子有着重要的作用。声频支声频支代表同一原胞中各基元（原子）的代表同一原胞中各基元（原子）的质心运动，质心运动，复式晶格的声学模也可以用简单晶格方法复式晶格的声学模也可以用简单晶格方法进行处理，只需认为进行处理，只需认为M是原胞中原子的总质量。是原胞中原子的总质量。第二章 声子 对对于于长长波波长长的的晶晶格格振振动动，其其振振幅幅在在原原胞胞间间缓缓慢慢变变化化，晶晶体体结结构构的的原原子子性性对对此此影影响响不不大。可以过渡到连续介质模型：大。可以过渡到连续介质模型：则有：则有：引入位移场：引入位移场：第二章 声子u(r)也是也是t的函数，作泰勒展开：的函数，作泰勒展开：再定义密度为：再定义密度为：第二章 声子故动能可以改写为：故动能可以改写为：注意：注意：动能动能密度密度第二章 声子晶体中的振动势能在晶体中的振动势能在简谐近似简谐近似下较复杂：下较复杂：第二章 声子 第二章 声子 第二章 声子参数参数C为为弹性系数弹性系数：势能密度势能密度：第二章 声子 第二章 声子 具体求解弹性问题时，具体求解弹性问题时，首先应该考虑首先应该考虑对称性对称性，确定弹性系数之间的关系确定弹性系数之间的关系，简化势能密度简化势能密度的表达式。的表达式。第二章 声子 晶晶体体的的弹弹性性行行为为可可以以用用应应力力T、应应变变S描述。描述。T、S均为均为二阶对称张量。二阶对称张量。应力应力张量张量T的单位为：的单位为：N/m2 第二章 声子应变张量应变张量S为无量纲参数：为无量纲参数：第二章 声子由于由于Tij=Tji;Sij=Sji 即即T23=T32、T12=T21、T13=T31 S23=S32、S12=S21、S13=S31 T、S均只有均只有6个独立分量个独立分量 第二章 声子 可以令：可以令：三个法向应力：三个法向应力：T11T1;T22T2;T33T3;三个切向应力：三个切向应力：T23T4;T13T5;T12T6;第二章 声子 可以令：可以令：三个法向应变：三个法向应变：S11S1;S22S2;S33S3;三个切向应变：三个切向应变：2S23S4;2S13S5;2S12S6;第二章 声子T、S的的关关系系在在弹弹性性限限度度范范围围内内是是线线性性的的，即满足广义虎克定律：即满足广义虎克定律：第二章 声子 sij为为弹弹性性柔柔顺顺系系数数，实实际际是是一一个个四四阶阶对对称张量称张量sikjl，单位为，单位为m2/N。sikjl应应该该有有81个个分分量量，做做了了简简化化处处理理后后，sij有有36个分量。个分量。由对称性，由对称性，sikjl独立的分量最多为独立的分量最多为21个个 第二章 声子 上式也可简化为：上式也可简化为：第二章 声子 广义虎克定律也可表示为：广义虎克定律也可表示为：第二章 声子或者：或者：cij为为弹弹性性刚刚度度系系数数，单单位位为为N/m2，分分量量形形式式与与sij是是一一样样的的，其其中中独独立立的的分分量量也也是是21个。个。第二章 声子 例：一维连续介质中的弹性波例：一维连续介质中的弹性波 a）导出弹性波的波动方程，证明波速：）导出弹性波的波动方程，证明波速：Y是杨氏模量，是杨氏模量，为质量密度为质量密度 b）证证明明对对于于一一维维单单原原子子链链。在在长长波波极极限下，限下，Y和力常数和力常数k有关系：有关系：Yka a为点阵常数为点阵常数第二章 声子解解：a)设设一一准准连连续续介介质质，x点点的的位位移移为为u(x)，x+dx的位移为的位移为u(x+dx)，应变为：，应变为：第二章 声子 因应变产生的恢复力为：因应变产生的恢复力为：第二章 声子 考虑考虑dx段，质量为段，质量为dx，运动方程为：运动方程为：第二章 声子 是一维连续介质中的弹性波的是一维连续介质中的弹性波的波动方程波动方程第二章 声子 有通解：有通解：代入波动方程，有解代入波动方程，有解:第二章 声子 第二章 声子 b)一维单原子链，长波极限下的色散关系：一维单原子链，长波极限下的色散关系：第二章 声子 波速为：波速为：第二章 声子 第二章 声子 弹性动力学方程弹性动力学方程如果体积元如果体积元xyz在在x方向受力，则有：方向受力，则有：第二章 声子 当体积元趋于一个点时，方程变为：当体积元趋于一个点时，方程变为：第二章 声子同理有：同理有：第二章 声子 弹性动力学方程为：弹性动力学方程为：第二章 声子 弹性波弹性波：张量算符表示弹性动力学方程：张量算符表示弹性动力学方程：第二章 声子由（由（2）式对时间求导：）式对时间求导：第二章 声子 第二章 声子 第二章 声子 第二章 声子 设弹性波的传播方向单位矢量为设弹性波的传播方向单位矢量为I：波矢为波矢为k的弹性波有因子：的弹性波有因子：第二章 声子 第二章 声子 第二章 声子 第二章 声子 （7）为）为克利斯托夫（克利斯托夫（Christoffel）方程）方程第二章 声子(7)式可以写成：式可以写成：第二章 声子为为克利斯托夫模量克利斯托夫模量第二章 声子例如：例如：第二章 声子 由由（8）式式可可以以求求出出三三个个ceff，对对应应于于三三个个弹弹性性波。波。波速分别为：波速分别为：第二章 声子 对于立方晶体，由对称性有：对于立方晶体，由对称性有：第二章 声子 由（由（8）式，对于立方晶体，有：）式，对于立方晶体，有：第二章 声子 如如果果沿沿晶晶轴轴传传播播，则则有有简简化化式式，如如沿沿100传播，此时传播，此时ly=lz=0;lx=1：第二章 声子 方程有三个根：方程有三个根：对应的波速：对应的波速：第二章 声子 将计算得到的将计算得到的c1代入（代入（8）式，有：）式，有：表明质点位移的方向与传播方向一致，是纵波表明质点位移的方向与传播方向一致，是纵波第二章 声子 将计算得到的将计算得到的c2或或c3代入（代入（8）式，有：）式，有：表明质点位移的方向与传播方向垂直，表明质点位移的方向与传播方向垂直，是横波是横波第二章 声子 对于：对于：由于质点位移在由于质点位移在y、z方向同时存在，故合方向同时存在，故合位移多为椭圆偏振的。位移多为椭圆偏振的。第二章 声子 对于沿对于沿110方向传播的弹性波，有：方向传播的弹性波，有：第二章 声子 第二章 声子 相应的传播速度为：相应的传播速度为：第二章 声子 将计算得到的将计算得到的c1代入（代入（8）式，有：）式，有：表明质点位移的方向与传播方向一致，表明质点位移的方向与传播方向一致，是纵波是纵波第二章 声子 将计算得到的将计算得到的c2 代入（代入（8）式，有：）式，有：表明质点位移的方向与传播方向垂直，是横表明质点位移的方向与传播方向垂直，是横波波第二章 声子 将计算得到的将计算得到的c3 代入（代入（8）式，有：）式，有：表明质点位移的方向与传播方向垂直，是横表明质点位移的方向与传播方向垂直，是横波波第二章 声子 可以看出，对于可以看出，对于立方晶体立方晶体：沿某一方向传播的弹性波，一般有三个模式。沿某一方向传播的弹性波，一般有三个模式。110方向：一个纵波；两个横波方向：一个纵波；两个横波 100方向：一个纵波；两个横波是简并的方向：一个纵波；两个横波是简并的 第二章 声子 但对于但对于对称性差的晶体对称性差的晶体：在在某某一一方方向向传传播播的的弹弹性性波波，虽虽有有三三个个模模式式；往往不是纯纵波；或纯横波。往往不是纯纵波；或纯横波。多多为为纵纵波波和和横横波波的的耦耦合合形形式式，称称为为准准纵纵波波或或准横波准横波 第二章 声子回到势能密度的表达式：回到势能密度的表达式：如果把晶体看成是弹性各向同性体（相当于如果把晶体看成是弹性各向同性体（相当于连续介质），这时弹性能与取向无关。连续介质），这时弹性能与取向无关。则上则上式绕任意轴旋转应当不变。式绕任意轴旋转应当不变。第二章 声子 故弹性各向同性体的形变能密度为：故弹性各向同性体的形变能密度为：第二章 声子 长波近似长波近似下的下的动力矩阵动力矩阵为：为：第二章 声子 由此可以得到长波近似下的波动方程：由此可以得到长波近似下的波动方程：第二章 声子 显然，当显然，当k0，0 利用弹性各向同性体的特点：利用弹性各向同性体的特点：第二章 声子 第二章 声子 由（由（2.5.16）:说明有一个纵波解、说明有一个纵波解、两个横波解：两个横波解：第二章 声子 由于假设了：由于假设了：第二章 声子 是弹性波方程是弹性波方程第二章 声子当为弹性各向同性体时，有：当为弹性各向同性体时，有：第二章 声子 变化为矢量形式：变化为矢量形式：是连续介质的弹性波的波动方程是连续介质的弹性波的波动方程第二章 声子 对弹性各向同性体，哈密顿量为：对弹性各向同性体，哈密顿量为：第二章 声子 类似引入简正坐标：类似引入简正坐标：第二章 声子 系统的哈密顿量的简正坐标表示：系统的哈密顿量的简正坐标表示：第二章 声子 利用声子产生与湮灭算符：利用声子产生与湮灭算符：有一个纵波解和两个横波解有一个纵波解和两个横波解第二章 声子考虑到变化式：考虑到变化式：第二章 声子 第二章 声子弹性体的体积的相对变化为：弹性体的体积的相对变化为：每每一一个个单单项项，并并不不对对应应于于频频率率为为（k）的的简简谐谐振振子的哈密顿量：子的哈密顿量：表明纵波导致体积变化。表明纵波导致体积变化。LA声子比声子比TA声子更声子更重要。重要。第二章 声子 2.6 长波方法（二）长波方法（二）光学模光学模 在离子晶体中在离子晶体中长波光学模长波光学模代表原胞中正代表原胞中正负离子的反方向运动，产生负离子的反方向运动，产生极化极化。这里介绍黄昆长波方法。这里介绍黄昆长波方法。第二章 声子 设设每每个个原原胞胞中中只只含含有有两两个个电电荷荷量量相相等等、方方向向相反的离子。相反的离子。在在各各向向同同性性连连续续介介质质模模型型中中，长长波波限限下下各原胞中正负离子的相对位移几乎一致，各原胞中正负离子的相对位移几乎一致，则有：则有：折合位移折合位移折合质量折合质量第二章 声子光频支的动能密度：光频支的动能密度：势能密度：势能密度：第二章 声子弹性能部分可以表示为：弹性能部分可以表示为：注意：注意：第二章 声子晶体中极化产生的势能：晶体中极化产生的势能：第二章 声子 第二章 声子由正则方程：由正则方程：右边第一项代表弹性恢复力，右边第一项代表弹性恢复力，短程作用短程作用 第二项代表极化产生的内场对离子第二项代表极化产生的内场对离子运动的作用力，运动的作用力，长程作用长程作用 第二章 声子长波法优点在于用宏观内场长波法优点在于用宏观内场E代替了对离子代替了对离子间的长程库仑力的求和。间的长程库仑力的求和。黄昆黄昆方程方程第二章 声子 1、介电函数、介电函数 待定系数与介电函数有关：待定系数与介电函数有关：考虑平面波解，当考虑平面波解，当 k=0 有：有：第二章 声子 黄昆方程为：黄昆方程为：第二章 声子消去消去 W 后有：后有：注意：注意：DE4PE第二章 声子 当当=0，即为静态介电常数，即为静态介电常数0 当当，即为高频（，即为高频（光频光频）介电常数）介电常数0 第二章 声子 第二章 声子 可以得到介电函数的一般表达式：可以得到介电函数的一般表达式：第二章 声子2、横波及纵波方程、横波及纵波方程 光学模也可又分为纵波部分和横波部分：光学模也可又分为纵波部分和横波部分：第二章 声子 当无外电磁场时：当无外电磁场时：第二章 声子 横波方程为横波方程为：第二章 声子对对于于纵纵波波，考考虑虑到到离离子子晶晶体体的的平平均均电电荷荷密密度度为零为零，第二章 声子考虑到考虑到：第二章 声子第二章 声子 第二章 声子 注意到注意到：第二章 声子 第二章 声子 第二章 声子 是是 LST(Lyddane-Sachs-Teller)关系关系 第二章 声子 第二章 声子 当：当：说明此频段的电磁波不能在晶体内部传说明此频段的电磁波不能在晶体内部传播，只能在边界被反射。播，只能在边界被反射。第二章 声子 第二章 声子第二章 声子第二章 声子L为介电函数的零点频率；为介电函数的零点频率；T为介电函数的极点。为介电函数的极点。第二章 声子 例例：金金属属钠钠的的离离子子的的振振动动，已已知知离离子子质质量量 M3.841023g;电电子子数数密密度度N2.651022,试估计金属钠中的声速试估计金属钠中的声速解：1）钠离子受到的恢复力主要为库仑力：）钠离子受到的恢复力主要为库仑力：第二章 声子 第二章 声子 离子运动方程：离子运动方程：第二章 声子 振动频率为：振动频率为：由已知条件：由已知条件：M3.841023g;电子数密度电子数密度N2.651022 第二章 声子注意：注意：第二章 声子 频率为：频率为：第二章 声子 3）估计声速：）估计声速：第二章 声子在金属中的声速为：在金属中的声速为：2.7 2.8 2.9 2.10留给同学们自习。留给同学们自习。第二章 声子作业：作业：一、一、P.561:8：P.561:9,10 二、六方晶体有二、六方晶体有5个独立的弹性劲度常数个独立的弹性劲度常数:c11=c22,c23=c13,c55=c44,c66=(c11-c22)/2;c33。其余其余为零。令为零。令a轴与轴与x轴重合；轴重合；c轴为轴为z轴，弹性波轴，弹性波在在xy平面内（任意方向）传播，试求：平面内（任意方向）传播，试求：1）三个波速）三个波速2）对应三种模式的质点位移方向）对应三种模式的质点位移方向