复习-非线性方程与方程组的数值解法.pptx

1 第第2章章非线性方程数值解法非线性方程数值解法1.二分法二分法2.迭代法迭代法3.Stenfensen加速法加速法4.牛顿切线法牛顿切线法5.弦截法弦截法22.1二分法求非线性方程 确定方程的有根区间(等长扫描法)计算根的近似值（二分法）误差估计|b-a|/2(n+1)的根的方法分为两步：32.2一般迭代法n2.2.1 迭代法及收敛性 对于对于 有时可以写成有时可以写成 形式形式 如如：4迭代法的收敛性n定理2.2.1（压缩映像原理压缩映像原理）设迭代函数 在闭区间 上满足（1）（2）满足Lipschitz条件即 有且 。56例题n例例2.2.2 判断函数 在区间1，2上收敛性。7例题n若取迭代函数 ，判断其在区间1，2上收敛性。8Steffensen加速收敛法 概述9Steffensen加速收敛法 概述n由上式产生的序列称为Steffensen迭代序列。102.2.2 Steffensen加速收敛法n迭代法收敛的阶迭代法收敛的阶 定义定义2.2.1 设序列 收敛到 ，若有实数 和非零常数C，使得 其中，则称该序列是p 阶收敛的，C 称为渐进误差常数。11迭代法收敛的阶迭代法收敛的阶当p=1时，称为线性收敛；当p1时，称为超线性收敛；当p=2时，称为平方收敛或二次收敛。12迭代法收敛的阶迭代法收敛的阶n定理定理2.2.2 设 是方程 的不动点，若为足够小的正数 。如果 且 ，则从任意 出发，由 产生的序列 收敛到 ，当 时敛速是线性的。13Steffensen算法的收敛速度n定理2.2.5 在定理2.2.3假设下，若 产生的序列 至少平方收敛到 。14Newton迭代法几何解释n牛顿迭代法的几何意义15Newton迭代法几何解释类似，过点x1再做切线.16n当做曲线 上的点 的引切线，该切线与x轴的交点横坐标即为牛顿迭代公式求得的xn+1，因此牛顿迭代法也称为牛顿且切线法牛顿且切线法。17Newton迭代法 以此产生的序列以此产生的序列 X Xn n 得到得到f f(x x)=0)=0的近似解，的近似解，称为称为NewtonNewton法法，又叫，又叫切线法切线法。18例题例2.3.1 用Newton法求 的近似解。解：由零点定理。19例题20n例 设a0，试用Newton法计算 ,并求 的值。n解：21Newton迭代法收敛性定理2.3.1 设函数 ，且满足 若初值 满足 时，由Newton法产生的序列收敛到方程 在a,b上的唯一根。22Newton迭代法收敛性n推论 在定理在定理2.3.1条件下，条件下，Newton迭代法迭代法具有平方收敛速度具有平方收敛速度。232.4弦截法nNewton迭代法有一个较强的要求是 且存在。因此，用弦的斜率近似的替代 。24弦截法n令y=0，解得弦与x轴的交点是坐标x225弦截法26弦截法的几何解释(a)定端点弦截法 (b)变端点弦截法 27弦截法收敛定理