复习-矩阵---运算.pptx

复习复习 矩阵矩阵 运算运算 相等相等交换律、结合律、分配律交换律、结合律、分配律结合律、分配律结合律、分配律无交换律无交换律无消去律无消去律有非零零因子有非零零因子同型同型 对应元素相等对应元素相等同型同型 对应元素相加对应元素相加一、一、线性运算线性运算1 加、减运算加、减运算 A B2 数乘运算数乘运算 kA二、乘法运算二、乘法运算1 AB2 方阵的乘方方阵的乘方交换律、结合律、负阵交换律、结合律、负阵转置矩阵转置矩阵三、三、矩阵的转置矩阵的转置!证证 设设左端左端 i,j 位置：位置：右端：右端：=例例1(P.50 例例7)自读自读 两种解法两种解法.奇数阶反对称阵奇数阶反对称阵的行列式为零的行列式为零0任一方阵都可以任一方阵都可以分解成对称阵与分解成对称阵与反对称阵的和反对称阵的和.方阵方阵 对称阵与反对称阵对称阵与反对称阵是对称阵是对称阵!证证证明证明 H 是对称阵是对称阵,例例2 (P.50 例例8)这种现象奇怪吗?例例定义定义 若方阵若方阵A 的行列式不为零的行列式不为零,则称则称A为为非奇异非奇异(方方)阵阵,否则称为否则称为奇异奇异(方方)阵阵.你能举一些非奇异和奇异阵的例子吗你能举一些非奇异和奇异阵的例子吗?定义定义 由方阵由方阵A 所构成的行列式称为方阵所构成的行列式称为方阵A 的的行列式行列式,记为记为奇异阵奇异阵非奇异阵非奇异阵四、方阵的行列式四、方阵的行列式你能给出一个方阵是奇异阵的充分条件吗你能给出一个方阵是奇异阵的充分条件吗?不是同阶方阵不是同阶方阵性质不成立性质不成立!共轭阵问题自读共轭阵问题自读方阵行列式的性质方阵行列式的性质Xn方阵的行列式的性质方阵的行列式的性质定义定义2代数余子式的顺序代数余子式的顺序!例例3 求二阶矩阵的伴随矩阵求二阶矩阵的伴随矩阵.!五、伴随矩阵五、伴随矩阵称为称为A的的伴随矩阵伴随矩阵.d-ca-b例如乘积阵的第例如乘积阵的第2行元素分别为行元素分别为A 重要公式重要公式例例4(P.52 例例9)解解0A 00(i=1,2,n)唯一唯一a 的逆元的逆元按第按第 i 列展开列展开 5 逆矩阵逆矩阵一、概念与性质一、概念与性质b11b21bn1b12 b22bn2 b1nb2nbnn 伴随矩阵伴随矩阵(1)逆阵惟一逆阵惟一A 的逆阵记为：的逆阵记为：设设B,C都是都是A的逆阵，的逆阵，(2)并非每个方阵都可逆并非每个方阵都可逆定义定义1 对对n 阶方阵阶方阵A,若有若有n 阶矩阵阶矩阵B,即即BA=AB=E,CA=AC=E则则BEB(CA)BC(AB)CEC1、逆阵的概念、逆阵的概念反例：反例：例例1不可逆不可逆.反证反证:故故A不可逆不可逆要解决的问题：要解决的问题：1.1.方阵满足什么条件时可逆方阵满足什么条件时可逆?2.2.可逆时可逆时，逆阵怎样求？逆阵怎样求？使使 AB=BA=E,则称则称 B 为为 A 的的逆矩阵逆矩阵，称矩阵，称矩阵 A 为为可逆的可逆的。定理定理 n 阶方阵阶方阵A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是证证牢牢记记这这个个定定理理2、可逆的等价条件、可逆的等价条件解解!例例2练习练习:求逆阵求逆阵例例3(P.56 例例10)自读自读用伴随阵求三阶以上矩阵的逆阵计算量大用伴随阵求三阶以上矩阵的逆阵计算量大证证定义定义:3、逆阵的性质、逆阵的性质定义简化形式定义简化形式定义简化形式定义简化形式例例4(P.57例例11)求矩阵求矩阵 X 使满足使满足 AXB=C.解解伴随矩阵的性质：伴随矩阵的性质：证证1.由由伴随阵重要公式伴随阵重要公式知知,方法二：方法二：用定义用定义(简化形式简化形式)。猜：猜：例例5方法一：方法一：二、逆阵的求法二、逆阵的求法解解 证证证证例例7 1.例例6解解 解解 例例8证证例例9证证 由伴随阵重要公式知由伴随阵重要公式知,(伴随阵性质伴随阵性质3.)(伴随阵性质伴随阵性质5.)证证例例10例例11(应用应用)编码游戏编码游戏 A B C D E F G H I J K L M N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14O P Q R S T U V W X Y Z !15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28W e l c o m e!s h a n s h i d a 235 12 3 15 13 5 27 28 24 19 8 1 14 19 8 9 4 1 为增加破译难度为增加破译难度,收发双方可约定一个编码阵收发双方可约定一个编码阵A,将发送数字排成将发送数字排成 63的矩阵的矩阵:发者将发者将 CA 的的18个个字母逐行发出字母逐行发出;接收者接收者将收到的数字排成将收到的数字排成 63 矩阵矩阵CA，再右乘再右乘A-1：C A A-1 1 =C