梁弯曲时位移计算与刚设计.pptx

7-1 积分法求梁的变形积分法求梁的变形 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大,则会使则会使小车行走困难，出现爬坡现象。小车行走困难，出现爬坡现象。但在另外一些情况下，有时却要求构件具有但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。一、挠曲线近似微分方程一、挠曲线近似微分方程 1、挠曲线、挠曲线挠曲线挠曲线2、挠度和转角、挠度和转角规定：规定：向上的挠度为正向上的挠度为正向上的挠度为正向上的挠度为正 逆时针的转角为正逆时针的转角为正逆时针的转角为正逆时针的转角为正 挠曲线方程：挠曲线方程：转角方程：转角方程：挠度挠度挠度挠度 y y（f f）：横截面形心处的铅垂位移。）：横截面形心处的铅垂位移。）：横截面形心处的铅垂位移。）：横截面形心处的铅垂位移。转角转角转角转角：横截面绕中性轴转过的角度。：横截面绕中性轴转过的角度。：横截面绕中性轴转过的角度。：横截面绕中性轴转过的角度。3、梁的挠曲线近似微分方程、梁的挠曲线近似微分方程 曲线曲线 的曲率为的曲率为梁纯弯曲时中性层的曲率：梁纯弯曲时中性层的曲率：梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程:式中积分常数式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定由边界条件和连续条件确定二、积分法求弯曲变形二、积分法求弯曲变形 约束对位移的影响约束对位移的影响没有约束无法确定位移没有约束无法确定位移 约束对位移的影响约束对位移的影响连续光滑曲线，铰支座对位移的限制连续光滑曲线，铰支座对位移的限制 约束对位移的影响约束对位移的影响连续光滑曲线，固定端对位移的限制连续光滑曲线，固定端对位移的限制光滑连续条件：光滑连续条件：PC例例1：已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图。试求图示简支梁在均布载荷示简支梁在均布载荷 q 作用下的转角方作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定程、挠曲线方程，并确定max和和ymax。解解：由边界条件：由边界条件：得：得：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：AB例例2：已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示。试求图示悬臂梁在集中力悬臂梁在集中力 P 作用下的转角方程、挠作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定曲线方程，并确定max和和ymax。解：解：由边界条件：由边界条件：得：得：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：B例例3：已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示。试求图示简支梁在集中力简支梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定线方程，并确定max和和 ymax。解：解：由边界条件：由边界条件：得：得：由对称条件：由对称条件：得：得：AC段段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：例例4：图示变截面梁悬臂梁，试用积图示变截面梁悬臂梁，试用积分法求分法求A端的挠度端的挠度解：解：A AB BP2IIC CAC段段xCB段段由边界条件：由边界条件：由连续条件由连续条件：得：得：AC段挠度方程为：段挠度方程为：令令得得 （）7-2 叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形 在材料服从胡克定律、且变形很小的前在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。载荷与它所引起的变形成线性关系。当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。用下的变形，然后叠加。例例5：用叠加法求用叠加法求qPmA AB BC Cl/2l/2解：解：将梁上的各载荷分别引起的位移叠加将梁上的各载荷分别引起的位移叠加 （）（）（）mmA BA B C Cq qP Pl l/2 /2 l l/2/2A BA B C Cq ql l/2 /2 l l/2/2A BA B C CP Pl l/2 /2 l l/2/2A BA B C Cmml l/2 /2 l l/2/2逐逐 段段 刚刚 化化 法法变形后：变形后：变形后：变形后：ABAB ABAB BC BC BCBC变形后变形后AB部部分为曲线，分为曲线，但但BC部分仍部分仍为直线。为直线。C C点的位移为：点的位移为：点的位移为：点的位移为：w wc c例例6：求外伸梁求外伸梁C点的位移。点的位移。l la aC CA AB BP P解：解：将梁各部分分别将梁各部分分别将梁各部分分别将梁各部分分别引起的位移叠加引起的位移叠加引起的位移叠加引起的位移叠加A AB BC CP P刚化刚化刚化刚化EI=EI=P PC Cf fc1c11、BC部分引起的位移部分引起的位移fc1、c1c1c12、AB部分引起的位移部分引起的位移 fc2、c2C CA AB BP P刚化刚化刚化刚化EI=EI=f fc2c2B2B2P PPaPaB B2例例7：欲使欲使AD梁梁C点挠度为零，求点挠度为零，求P 与与 q 的关系。的关系。q qPA AC CB BD Da aa aa a解：解：q qP PA A C B D C B D q qA A C B D C B D P PA A C B D C B D P PP P A A C B D C B D 例例8：若图示梁若图示梁B端的转角端的转角B=0，则力偶矩则力偶矩 m 等于多少？等于多少？PmA AC CB Ba aa a解：解：P PmmA C BA C B P PA C BA C B mmA C BA C B 例例9：求图示梁求图示梁 C、D两点的挠度两点的挠度 fC、fD。q qq qA C BA C B D Da a a a 2 2a a 解：解：q qq qA C BA C B D D 2 2 q qq qA C BA C B D D 2 2 例例10：求图示梁求图示梁B、D两处的挠度两处的挠度 fB、fD2 2a a a a a aq q2q2qa aA CA C B D B D解：解：qa:B:B处约束力处约束力处约束力处约束力q qA AB Bq q 2q2q C CB BD D2 2 q q2q2q A CA C B D B D例例11：用叠加法求图示变截面梁用叠加法求图示变截面梁B、C 截面的挠度截面的挠度 fB、fC。PEIEI2EI2EIa aa aA AB BC C解：解：EIEIC C2EI2EIA AB B P PC CEIEIB BP PEIEIP P2EI2EIA AB BP PP P 例例12：用叠加法求图示梁端的转角和挠度。用叠加法求图示梁端的转角和挠度。Pa aa aa aA AB BC Cq qa a解：解：P=qaP=qam=q/2ABqCBP=qaqABCaaa例例13：用叠加法求图示梁跨中的挠度用叠加法求图示梁跨中的挠度fC和和B点的转角点的转角B（k为弹簧系数）。为弹簧系数）。q qA AB BC CEIEIk kl l /2/2l l/2/2解：解：弹簧缩短量弹簧缩短量k kq qEIEIl l/2/2l l /2/2A AB BC Cq qk kA AB BC Cq/q/2 2A AB BC Cq/q/2 2q/q/2 2A AB BC C例例14：图示梁处为弹性支座，弹簧刚图示梁处为弹性支座，弹簧刚 度度 求求C端挠度端挠度fC。q qEIEIk ka a2 2 2 2a aA AB BC C解：解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为点挠度为(2)弹簧不变形，仅梁变形引起的弹簧不变形，仅梁变形引起的C点挠度为点挠度为(3)C点总挠度为点总挠度为q qk ka a2 2a aA AB BC Cq qk ka a2 2a aA AB BC Cq qk ka a2 2a aA AB BC CEIEI例例15：图示平面折杆图示平面折杆AB与与BC垂直，垂直，在自由端在自由端C受集中力受集中力P作用。已知该杆作用。已知该杆各段的横截面面积均为各段的横截面面积均为A，抗弯刚度，抗弯刚度均为均为EI。试按叠加原理求截面。试按叠加原理求截面C的水的水平位移和铅垂位移。平位移和铅垂位移。A AC CB BPaa解：解：A AB BaPM=PM=Pa aB BC CPaA AB BaPM=PM=Pa a()()()()()()B BC CPa()()水平位移：水平位移：()()铅垂位移：铅垂位移：()()AlBq7-3 静不定梁的解法静不定梁的解法 用用“多余多余”反力反力代替代替“多余多余”约约束，就得到一个束，就得到一个形式上的静定梁，形式上的静定梁，该梁称为原静不该梁称为原静不定梁的相当系统定梁的相当系统,亦称亦称基本静定系基本静定系。基本静定系基本静定系 可不止一个可不止一个l l q qA AB Bq qA AB BR RB Bq qB BA AMMA A例例16：求图示静不定梁的支反力。求图示静不定梁的支反力。qA AB Bl l 解法一：解法一：将支座将支座B看成多余约束，变形看成多余约束，变形协调条件为：协调条件为：A AB Bq ql l A AB Bq qR RB B 解法二解法二：将支座：将支座A对对截面转动的约束看成多截面转动的约束看成多余约束，变形协调条件余约束，变形协调条件为：为：A AB Bq ql l q qB BA AMMA A例例17：为了提高悬臂梁为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，的强度和刚度，用短梁用短梁CD加固。设二梁加固。设二梁EI相同，试求相同，试求 (1)二梁接触处的压力；二梁接触处的压力；(2)加固前后加固前后AB梁最大弯矩的比值；梁最大弯矩的比值；(3)加固前后加固前后B点挠度的比值。点挠度的比值。P PA AB BC CD Da aa a解：解：(1)变形协调条件为：变形协调条件为：(2)(3)自行完成！自行完成！PBACDRDD如何得到？如何得到？例例18：图示结构图示结构AB梁的抗弯刚度为梁的抗弯刚度为EI，CD杆的抗拉刚度为杆的抗拉刚度为EA，已知，已知P、LL、a。求。求CD杆所受的拉力。杆所受的拉力。PA AB BC CD Da解：解：变形协调条件为：变形协调条件为：D DaC CPA AB BC C7-3 梁的刚度设计梁的刚度设计一、刚度条件一、刚度条件 为了保证构件的刚度，通常将变形限制为了保证构件的刚度，通常将变形限制在一定的允许范围内。在一定的允许范围内。弯曲变形：弯曲变形：限制其最大挠度和最大转角限制其最大挠度和最大转角不超过允许值不超过允许值梁的刚度设计准则：梁的刚度设计准则：例例19：某船厂用某船厂用45a45a号工字钢制成吊车大梁，号工字钢制成吊车大梁，材料的许用应力材料的许用应力 ，弹性模量，弹性模量E=200E=200GPa，跨度，跨度L=10L=10m，荷载，荷载P=50P=50kN，梁的挠，梁的挠度许用值度许用值 。考虑自重，试校核。考虑自重，试校核梁的强度和刚度。梁的强度和刚度。PC CB BA A解：解：考虑自重，相当于考虑自重，相当于考虑自重，相当于考虑自重，相当于梁上加一均布荷载梁上加一均布荷载梁上加一均布荷载梁上加一均布荷载q q查表查表查表查表q qPC CB BA A梁跨中点梁跨中点C挠度最大挠度最大()梁满足强度和刚度要求梁满足强度和刚度要求q q二、二、提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。度，就应从上述各种因素入手。1、增大梁的抗弯刚度、增大梁的抗弯刚度EI2、减小跨度或增加支承、减小跨度或增加支承3、改变加载方式和支座位置、改变加载方式和支座位置