华南农大高数积分4省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

定积分之换元法定积分之换元法与分部积分法与分部积分法广义积分广义积分第1页例例1 定积分换元法定积分换元法换元必须换限换元必须换限 不换元则不变限不换元则不变限不换元则不变限不换元则不变限 凑微分凑微分凑微分凑微分 另解另解另解另解 原式原式原式原式 解解解解 原式原式原式原式 第2页例例1 定积分换元法定积分换元法换元必须换限换元必须换限 解解解解 令令令令 原式原式原式原式 换元换元换元换元 换限换限换限换限 第3页例例1 定积分换元法定积分换元法换元必须换限换元必须换限 解解解解 原式原式原式原式 第4页 定积分换元法定积分换元法例例1换元必须换限换元必须换限 对称区间上对称区间上对称区间上对称区间上偶函数积分性质偶函数积分性质偶函数积分性质偶函数积分性质解解解解 原式原式原式原式 偶次方化倍角偶次方化倍角偶次方化倍角偶次方化倍角 第5页例例1 定积分换元法定积分换元法换元必须换限换元必须换限 解解解解 原式原式原式原式 换元必须换限换元必须换限 另解另解另解另解 原式原式原式原式 不换元则不变限不换元则不变限不换元则不变限不换元则不变限 第6页例例例例2 2 证实证实证实证实 分析分析分析分析：（1 1）积分区间一样；（）积分区间一样；（）积分区间一样；（）积分区间一样；（2 2）被积函数不一样。）被积函数不一样。）被积函数不一样。）被积函数不一样。处理：处理：处理：处理：采取适当换元，使采取适当换元，使采取适当换元，使采取适当换元，使 a+b-x a+b-x 化为化为化为化为 x.x.证实证实证实证实 令令令令 则则则则 所以所以所以所以 所以，原命题成立。所以，原命题成立。所以，原命题成立。所以，原命题成立。换元换元换元换元 换限换限换限换限 课堂思索题：课堂思索题：课堂思索题：课堂思索题：P148 26P148 26 第7页定积分换元积分法小结定积分换元积分法小结定积分换元积分法小结定积分换元积分法小结 1 1、基本换元规律，与不定积分相同；、基本换元规律，与不定积分相同；、基本换元规律，与不定积分相同；、基本换元规律，与不定积分相同；2 2、定积分换元法，得到新元原函数后，无须回代，、定积分换元法，得到新元原函数后，无须回代，、定积分换元法，得到新元原函数后，无须回代，、定积分换元法，得到新元原函数后，无须回代，但必须做到但必须做到但必须做到但必须做到换元同时换限换元同时换限。第8页例例2定积分分部积分法定积分分部积分法解解解解 原式原式原式原式 已积出部分已积出部分 要求值要求值 第9页例例3 定积分分部积分法定积分分部积分法已积出部分要求值已积出部分要求值 解解解解 原式原式原式原式 第10页例例3 定积分分部积分法定积分分部积分法已积出部分要求值已积出部分要求值 解解解解 原式原式原式原式 第11页例例3解解解解 原式原式原式原式 所以所以所以所以 第12页定积分分部积分法小结定积分分部积分法小结 1 1、u u与与与与dvdv选择规律选择规律选择规律选择规律，与不定积分规律，与不定积分规律，与不定积分规律，与不定积分规律完全相同完全相同完全相同完全相同；2 2、不一样之处，仅在于：定积分计算需要计算原函、不一样之处，仅在于：定积分计算需要计算原函、不一样之处，仅在于：定积分计算需要计算原函、不一样之处，仅在于：定积分计算需要计算原函 数函数值之差。数函数值之差。数函数值之差。数函数值之差。第13页 定积分讨论对象是有限区间上有界函数，但在一些实际问题中还常会遇到积分区间为无穷区间，或被积函数在积分区间上有没有穷间断点，即函数是无界函数问题。所以需要对定积分概念加以推广，从而形成了“广义积分”概念。本课程只介绍本课程只介绍本课程只介绍本课程只介绍无穷区间上广义积分无穷区间上广义积分无穷区间上广义积分无穷区间上广义积分 无穷区间上无穷区间上广义积分广义积分第14页无穷区间上无穷区间上广义积分广义积分假设被积函数假设被积函数假设被积函数假设被积函数f(x)f(x)是连续函数，则有以下定义：是连续函数，则有以下定义：是连续函数，则有以下定义：是连续函数，则有以下定义：注意：注意：注意：注意：和和和和 都存在时都存在时都存在时都存在时，才存在才存在。第15页简记为简记为简记为简记为例例1 解解解解 原式原式原式原式 广义积分即为广义积分即为广义积分即为广义积分即为定积分极限值定积分极限值定积分极限值定积分极限值第16页所以，此广义积分发散。所以，此广义积分发散。简记为简记为简记为简记为例例1 解解解解 原式原式原式原式 第17页所以，此广义积分发散。所以，此广义积分发散。例例1 因为因为因为因为解解解解 原式原式原式原式 解解解解 原式原式原式原式 错错 误误 另解另解另解另解 原式原式原式原式第18页发散？发散？例例1 解解解解 原式原式原式原式 第19页解解 当当 时，时，当当 时，时，若若 则广义积分发散；则广义积分发散；若若 则广义积分收敛于则广义积分收敛于敛散性。敛散性。例例2 讨论广义积分讨论广义积分 总而言之：当总而言之：当总而言之：当总而言之：当 时，广义积分发散；当时，广义积分发散；当时，广义积分发散；当时，广义积分发散；当 时，广义积分收敛。时，广义积分收敛。时，广义积分收敛。时，广义积分收敛。第20页定积分分部积分公式定积分分部积分公式 返回返回返回返回第21页定积分换元法定积分换元法 返回返回返回返回 第22页再见！再见！第23页