华南农大高数多元函数微积分省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第1页l 对一元函数：对一元函数：导数导数描述了函数在描述了函数在处瞬时处瞬时改变率改变率，它几何意义就是函数曲线上点它几何意义就是函数曲线上点处处切线斜率切线斜率。l 对于多元函数，我们一样感兴趣它在某处瞬时改变率问题，对于多元函数，我们一样感兴趣它在某处瞬时改变率问题，以二元函数以二元函数 为例，我们分别讨论：为例，我们分别讨论：相对于相对于以及以及相对于相对于瞬时改变率瞬时改变率偏导数偏导数 偏导数定义偏导数定义第2页时改变率。时改变率。沿沿 轴方向改变率，即当轴方向改变率，即当沿沿 轴方向改变率，即当轴方向改变率，即当时改变率。时改变率。考查考查处处在在斜率斜率斜率斜率第3页 偏导数定义偏导数定义设函数设函数在点在点某一邻域内有定义，某一邻域内有定义，若若存在，则称此存在，则称此极限极限为为或或若若存在，则称此存在，则称此极限极限为为函数函数在点在点处处对对 偏导数偏导数，记作，记作函数函数在点在点处处对对 偏导数偏导数，记作，记作或或第4页假如函数假如函数在区域在区域 D 内每一点内每一点处对处对 和对和对 偏导数都存在，那么我们就说函数偏导数都存在，那么我们就说函数在在 D 内可导，内可导，它在它在 D 内偏导数仍是内偏导数仍是和和二元函数，称为二元函数，称为偏导函数偏导函数，简称，简称偏导数偏导数，记为，记为或或求偏导方法求偏导方法：只需将：只需将其它变量视为常数其它变量视为常数，按一元函数求导则可。，按一元函数求导则可。偏导数定义偏导数定义第5页例例1 求以下多元函数偏导数求以下多元函数偏导数解解 解解 第6页例例1 求以下多元函数偏导数求以下多元函数偏导数解解 第7页例例1 求以下多元函数偏导数求以下多元函数偏导数解解 第8页例例2 讨论讨论 在点在点处连续性和可导性。处连续性和可导性。解解 令令则则 极限与相关，故极限不存在，即函数在点极限与相关，故极限不存在，即函数在点处不连续。处不连续。但但即函数在点即函数在点处可导。处可导。由此知，偏导存在未必连续。由此知，偏导存在未必连续。第9页但：但：连续连续偏导数存在。偏导数存在。连续连续偏导数存在。偏导数存在。连续，连续，可导可导对比一元函数，我们有：可导对比一元函数，我们有：可导连续，连续，不不 同同！第10页例例3 求曲线求曲线 在点在点处切线与处切线与 轴正方向所成倾角是多少？轴正方向所成倾角是多少？解解所求倾角所求倾角 偏导数几何意义（演示）偏导数几何意义（演示）第11页 高阶偏导数高阶偏导数 因为二元函数偏导数仍是二元函数，故可据实际需要再求偏因为二元函数偏导数仍是二元函数，故可据实际需要再求偏导数，称之为二阶偏导数，同理有三阶、四阶导数，称之为二阶偏导数，同理有三阶、四阶等等高阶偏导数。高阶偏导数。例例4 求以下二元函数全部二阶偏导数求以下二元函数全部二阶偏导数解解 第12页例例4 求以下二元函数全部二阶偏导数求以下二元函数全部二阶偏导数若二元函数若二元函数两个混合偏导两个混合偏导在区域在区域 D 上连续，则它们必相等。上连续，则它们必相等。解解 第13页 全微分相关概念全微分相关概念如同一元函数，为处理函数增量近似计算问题，引入全微分。如同一元函数，为处理函数增量近似计算问题，引入全微分。设二元函数为设二元函数为 全增量全增量：称：称 为函数在点为函数在点 处全增量。处全增量。关于关于x偏增量偏增量：称：称 为函数在点为函数在点 处关于处关于x偏增量。偏增量。关于关于y偏增量偏增量：称：称 为函数在点为函数在点 处关于处关于y偏增量。偏增量。第14页 全微分全微分则称函数在则称函数在 处处可微可微，并称，并称为函数在为函数在 处处全微分全微分，记为：，记为：显然有：显然有：又又能够表示成能够表示成 若二元函数若二元函数 在点在点 处处全增量全增量只要特取只要特取 即能够推出即能够推出第15页 全微分、偏导数、连续性之间关系全微分、偏导数、连续性之间关系 连续连续可微可微偏导存在偏导存在全微分存在全微分存在第16页例例1（1）求：求：解解第17页例例2 求函数求函数 全微分全微分 解解 因为因为 所以所以 例例3 求函数求函数 全微分全微分 解解 因为因为 所以所以 第18页第19页返回返回 第20页