多元函数微积分空间解析几何省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第1页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七22/2828应用应用代数方法代数方法研究研究图形图形性质数学学科。性质数学学科。1 1 1 1、解析几何、解析几何、解析几何、解析几何变量数学开端。变量数学开端。变量数学开端。变量数学开端。恩格斯曾指出，微积分是变量数学最主要部分；他还说恩格斯曾指出，微积分是变量数学最主要部分；他还说:“:“数学中转数学中转折点是折点是笛卡尔笛卡尔变数。变数。有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了，而它而它们也就立刻产生；们也就立刻产生；”所以学习微积分，除了应该具备初等数学知识以外所以学习微积分，除了应该具备初等数学知识以外。还必须具备最初引入变数学科。还必须具备最初引入变数学科解析几何基础知识。因为平面解析几解析几何基础知识。因为平面解析几何在中学已学过，所以本章仅介绍空间解析几何及其所必须向量代数基本何在中学已学过，所以本章仅介绍空间解析几何及其所必须向量代数基本知识。知识。2 2 2 2、解析几何对象和方法。、解析几何对象和方法。、解析几何对象和方法。、解析几何对象和方法。曲线和方程统一关系。曲线和方程统一关系。3 3 3 3、笛卡尔关于解析几何基本思想。、笛卡尔关于解析几何基本思想。、笛卡尔关于解析几何基本思想。、笛卡尔关于解析几何基本思想。点和数一一对应统一关系。点和数一一对应统一关系。4 4 4 4、空间解析几何两个基本问题。、空间解析几何两个基本问题。、空间解析几何两个基本问题。、空间解析几何两个基本问题。已知含有三个未知数方程，研究这个方程表示曲面几何性质。已知含有三个未知数方程，研究这个方程表示曲面几何性质。把已知曲面看成点几何轨迹，建立这个曲面方程。把已知曲面看成点几何轨迹，建立这个曲面方程。第2页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七33/28285 5 5 5、笛卡尔介绍、笛卡尔介绍、笛卡尔介绍、笛卡尔介绍(ReneDescartes15961650)法国哲学家、数学家、物理学家，解析几何学奠基人之一。1596年3月31日生于图伦，1650年2月11日卒于斯德哥尔摩。他出生于一个贵族家庭。早年就读于拉弗莱什公学，因孱弱多病，被允许早晨在床上读书，养成了喜欢平静、善于思索习惯。16去普瓦捷大学攻读法学，四年后取得博士学位旋即去了巴黎。巴黎。1618 1618 年从军，到过荷兰、丹麦、德国。年从军，到过荷兰、丹麦、德国。1621 1621 年回国，正值法国内年回国，正值法国内乱，又去荷兰、瑞士、意大利旅行。乱，又去荷兰、瑞士、意大利旅行。1625 1625 年返回巴黎。年返回巴黎。1625 1625 年移居荷兰，年移居荷兰，从事哲从事哲事哲、数学、天文学、物理学、化学和生物学等领域研究，并经过事哲、数学、天文学、物理学、化学和生物学等领域研究，并经过数学家数学家M M.梅森神父与欧洲主要学者保持亲密联络。他著作几乎全都是在梅森神父与欧洲主要学者保持亲密联络。他著作几乎全都是在荷兰完成。荷兰完成。16281628年写出年写出 指导哲理之标准指导哲理之标准 ，16341634年完成以哥白尼学说为年完成以哥白尼学说为基础基础 论世界论世界(因伽利略受到教会迫害而未出版因伽利略受到教会迫害而未出版)，16371637年笛卡尔使用方法年笛卡尔使用方法文写成三篇论文文写成三篇论文 折光学折光学 、气象学气象学 和和 几何学几何学 并为此写了一篇序言并为此写了一篇序言 科学中正确利用理性和追求真理方法科学中正确利用理性和追求真理方法 ，哲学史上简称，哲学史上简称 方法论方法论 ，6 6月月8 8日在莱顿匿名出版。今后又出版了日在莱顿匿名出版。今后又出版了 形而上学沉思形而上学沉思 和和 哲学原理哲学原理(1644)(1644)等等主要著作。主要著作。1649 1649年冬，他应邀去为瑞典女王讲课，年冬，他应邀去为瑞典女王讲课，16501650年初患肺炎，同年初患肺炎，同年年2 2月病逝。月病逝。第3页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七44/28281 1 1 1、教学内容及课时安排、教学内容及课时安排、教学内容及课时安排、教学内容及课时安排 向量及其线性运算向量及其线性运算 3 3 课时课时数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积 2 2 课时课时 曲面及其方程曲面及其方程 3 3 课时课时 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 2 2 课时课时2 2 2 2、教学重点、教学重点、教学重点、教学重点 数量积数量积 向量积；向量积；几何图形及其方程。几何图形及其方程。平面及其方程平面及其方程 3 3 课时课时 空间直线及其方程空间直线及其方程 2 2 课时课时习题课习题课 2 2 课时课时第4页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七55/28283 3、掌握单位向量、方向余弦、向量坐标表示式。、掌握单位向量、方向余弦、向量坐标表示式。1 1、了解空间直角坐标系、向量概念及其表示。、了解空间直角坐标系、向量概念及其表示。2 2、掌握向量运算、掌握向量运算(线性、点乘、叉乘线性、点乘、叉乘)，了解两个向量垂直、平行条件。了解两个向量垂直、平行条件。4 4、掌握平面和直线方程及其求法，、掌握平面和直线方程及其求法，会利用平面和直线关系处理相关问题。会利用平面和直线关系处理相关问题。5 5、了解曲面方程概念，、了解曲面方程概念，了解惯用二次曲面方程及其图形，了解惯用二次曲面方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴旋转曲面及母线平行于坐标轴了解以坐标轴为旋转轴旋转曲面及母线平行于坐标轴 曲面方程。曲面方程。7 7、了解曲线交线在坐标平面上投影。、了解曲线交线在坐标平面上投影。6 6、了解空间曲线参数方程和普通方程。、了解空间曲线参数方程和普通方程。第5页a一、向量概念一、向量概念一、向量概念一、向量概念二、向量线性运算二、向量线性运算二、向量线性运算二、向量线性运算四、利用坐标作向量线性运算四、利用坐标作向量线性运算四、利用坐标作向量线性运算四、利用坐标作向量线性运算三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量模、方向角、投影五、向量模、方向角、投影五、向量模、方向角、投影五、向量模、方向角、投影六、小结六、小结六、小结六、小结 思索题思索题思索题思索题第6页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七77/2828向量：向量：现有大小又有方向量。现有大小又有方向量。如位移、速度、加速度、力等。如位移、速度、加速度、力等。向量表示：向量表示：模长为模长为1 1向量向量.零向量：零向量：模长为模长为0 向量向量.|向量模：向量模：向量大小向量大小.单位向量：单位向量：或或或或或或1 1、概念、概念单位单位向量：向量：零零向量向量自由向量：自由向量：不考虑起点位置向量不考虑起点位置向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同向量大小相等且方向相同向量.负向量负向量：大小相等但方向相反向量大小相等但方向相反向量.向径：向径：空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点M与原点组成向量与原点组成向量.第7页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七88/28282 2、两非零向量关系、两非零向量关系相等：相等：大小相等且方向相同向量大小相等且方向相同向量.平行或共线平行或共线：方向相同或相反两个非零向量方向相同或相反两个非零向量.垂直垂直：方向成方向成9090夹角两个非零向量夹角两个非零向量.注意注意：因为零向量方向能够看成任意，故能够认为因为零向量方向能够看成任意，故能够认为零向量与任何向量都零向量与任何向量都平行平行或或垂直垂直。共面共面：把若干个向量起点放到一起，若它们终点和公共把若干个向量起点放到一起，若它们终点和公共起点在同一平面上，则称这些向量共面起点在同一平面上，则称这些向量共面.第8页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七99/28281 1、向量加减法、向量加减法 加法：加法：（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若分为同向和反向分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）第9页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七1010/2828向量加法符合以下运算规律：向量加法符合以下运算规律：交换律：交换律：结合律：结合律：加负律：加负律：减法减法第10页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七1111/28282 2、向量与数乘法、向量与数乘法 定义：定义：数与向量乘积符合以下运算规律：数与向量乘积符合以下运算规律：结合律：结合律：分配律：分配律：线性运算线性运算：向量加法及数乘统称为向量向量加法及数乘统称为向量线性运算线性运算。第11页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七1212/2828例例1 1 化简化简解解例例2 2试用向量方法证实：对角线相互平分四边形必是平行试用向量方法证实：对角线相互平分四边形必是平行四边形四边形.证证与与 平行且相等平行且相等,结论得证结论得证.第12页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七1313/2828按照向量与数乘积要求，按照向量与数乘积要求，上式表明：上式表明：一个非零向量除以它模结果是一个与原向量一个非零向量除以它模结果是一个与原向量同方向单位向量同方向单位向量.单位向量表示单位向量表示注意：注意：与三个坐标轴同向单位向量记法与三个坐标轴同向单位向量记法.第13页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七1414/2828两个向量平行关系两个向量平行关系证证 充分性显然；充分性显然；下面证实必要性下面证实必要性两式相减，得两式相减，得第14页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七1515/2828横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系Oxyz坐标系坐标系或或 O;i,j,k 坐标系坐标系三个坐标轴正方向符合三个坐标轴正方向符合右手系右手系.1 1、坐标系组成、坐标系组成 坐标轴：坐标轴：横横轴、轴、纵纵轴、轴、竖竖轴轴 坐标面：坐标面：xOy面、面、yOz面、面、zOx面面 卦限：卦限：、第15页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七1616/2828面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限第16页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七1717/2828空间点空间点M有序数组有序数组特殊点表示特殊点表示:坐标轴上点坐标轴上点坐标面上点坐标面上点2 2、点、向量与坐标、点、向量与坐标第17页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七1818/2828加法加法1 1、向量加减法与数乘、向量加减法与数乘减法减法数乘数乘2 2、平行向量坐标表示式、平行向量坐标表示式第18页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七1919/2828解解例例3 3求解以向量为未知元线性方程组求解以向量为未知元线性方程组解二元一次方程组，易得解二元一次方程组，易得例例4 4 已知两点已知两点A(x1,y1,z1)和和B (x2,y2,z2)以及实数以及实数-1-1，在直线在直线AB上求点上求点M，使，使解解 设设为直线上点，为直线上点，第19页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七2020/2828由题意知：由题意知：第20页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七2121/2828向量模向量模:1 1、向量模与、向量模与两点间距离公式两点间距离公式:按勾股定理可得按勾股定理可得两点间距离公式两点间距离公式:第21页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七2222/2828解解原结论成立原结论成立.例例6 6 已知两点已知两点A(5,3,1)和和B (1,0,5)，求与，求与解解第22页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七2323/2828解解设设P点坐标为点坐标为所求点为所求点为第23页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七2424/28282 2、方向角与方向余弦、方向角与方向余弦空间两向量夹角概念空间两向量夹角概念:类似地类似地，可定义，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴夹角夹角.特殊地，特殊地，当两个向量中有一个零向量时，要求当两个向量中有一个零向量时，要求它们夹角可在它们夹角可在0 0与与 之间任意取值之间任意取值.第24页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七2525/2828非零向量与三条坐标轴正向夹角称为非零向量与三条坐标轴正向夹角称为方向角方向角.方向角方向角显然有显然有方向余弦方向余弦由图分析可知由图分析可知方向余弦通惯用来表示方向余弦通惯用来表示向量方向向量方向.向量向量方向余弦方向余弦方向余弦特征方向余弦特征特殊地：特殊地：单位向量方向余弦为单位向量方向余弦为第25页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七2626/2828例例8 8 已知已知A(3,3,1)和和B (1,5,1),计算计算解解解解第26页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七2727/2828第27页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七2828/28283 3、向量在轴上投影、向量在轴上投影x轴与向量轴与向量 关系关系向量在向量在u轴上投影轴上投影第28页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七2929/2828向量在三坐标轴上投影向量在三坐标轴上投影向量投影性质向量投影性质第29页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七3030/2828解解第30页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七3131/2828一、向量概念一、向量概念一、向量概念一、向量概念1 1、概念、概念2 2、两非零向量关系、两非零向量关系二、向量线性运算二、向量线性运算二、向量线性运算二、向量线性运算1 1、向量加减法、向量加减法2 2、向量与数乘法向量与数乘法三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系1 1、坐标系组成、坐标系组成2 2、点、向量与坐标、点、向量与坐标四、利用坐标作向量线性四、利用坐标作向量线性四、利用坐标作向量线性四、利用坐标作向量线性运算运算运算运算1 1、向量加减法与数乘、向量加减法与数乘2 2、平行向量坐标表示式、平行向量坐标表示式五、向量模五、向量模五、向量模五、向量模,方向角方向角方向角方向角,投影投影投影投影1 1、向量模与两点间距离公式、向量模与两点间距离公式2 2、方向角与方向余弦、方向角与方向余弦3 3、向量在轴上投影、向量在轴上投影六、小结六、小结六、小结六、小结思索题思索题思索题思索题作业：作业：第第300301300301页页 3 3；5 5；1313；1515；1818。在空间直角坐标系中，指在空间直角坐标系中，指出以下各点在哪个卦限？出以下各点在哪个卦限？1 1、向量加减法与数乘、向量加减法与数乘2 2、方向角与方向余弦、方向角与方向余弦第31页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七3232/2828A:;B:;C:;D:;第32页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七3333/2828 1 1、以下各点所在象限分别是：、以下各点所在象限分别是：一、填空题一、填空题第33页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七3434/2828第34页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七3535/2828第35页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七3636/2828第36页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七3737/2828一、解析几何产生一、解析几何产生十六世纪以后，因为生产和科学技术发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新需要。比如，德国天文学家开普勒发觉行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行，太阳处于这个椭圆一个焦点上；意大利科学家伽利略发觉投掷物体试验着抛物线运动。这些发觉都包括到圆锥曲线，要研究这些比较复杂曲线，原先一套方法显然已经不适应了，这就造成了解析几何出现。1637年，法国哲学家和数学家笛卡尔发表了他著作方法论，这本书后面有三篇附录，一篇叫折光学，一篇叫流星学，一篇叫几何学。当初这个“几何学”实际上指是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。笛卡尔几何学共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线性质；第三卷是立体和“超立体”作图，但他实际是代数问题，探讨方程根性质。后世数学家和数学史学家都把笛卡尔几何学作为解析几何起点。从笛卡尔几何学中能够看出，笛卡尔中心思想是建立起一个“普遍”数学，把算术、代数、几何统一起来。他构想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。为了实现上述构想，笛卡尔茨从天文和地理经纬制度出发，指出平面上点和实数对(x,y)对应关系。x,y不一样数值能够确定平面上许多不一样点，这么就能够用代数方法研究曲线性质。这就是解析几何基本思想。详细地说，平面解析几何基本思想有两个关键点：第一，在平面建立坐标系，一点坐标与一组有序实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上一条曲线就可由带两个变数一个代数方程来表示了。从这里能够看到，利用坐标法不但能够把几何问题经过代数方法处理，而且还把变量、函数以及数和形等主要概念亲密联络了起来。第37页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七3838/2828解析几何产生并不是偶然。在笛卡尔写几何学以前，就有许多学者研究过用两条相交直线作为一个坐标系；也有些人在研究天文、地理时候，提出了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来确定。这些都对解析几何创建产生了很大影响。在数学史上，普通认为和笛卡尔同时代法国业余数学家费尔马也是解析几何创建者之一，应该分享这门学科创建荣誉。费尔马是一个业余从事数学研究学者，对数论、解析几何、概率论三个方面都有主要贡献。他性情谦和，好静成癖，对自己所写“书”无意发表。但从他通信中知道，他早在笛卡尔发表几何学以前，就已写了关于解析几何小文，就已经有了解析几何思想。只是直到1679年，费尔马死后，他思想和著述才从给友人通信中公开发表。笛卡尔几何学，作为一本解析几何书来看，是不完整，但主要是引入了新思想，为开辟数学新园地做出了贡献。二、解析几何基本内容二、解析几何基本内容在解析几何中，首先是建立坐标系。如上图，取定两条相互垂直、含有一定方向和度量单位直线，叫做平面上一个直角坐标系oxy。利用坐标系能够把平面内点和一对实数(x,y)建立起一一对应关系。除了直角坐标系外，还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等。在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标。坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了亲密联络，这么就能够对空间形式研究归结成比较成熟也轻易驾驭数量关系研究了。用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。这种解析法不但对于解析几何是主要，就是对于几何学各个分支研究也是十分主要。第38页高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七高等数学七3939/2828解析几何创建，引入了一系列新数学概念，尤其是将变量引入数学，使数学进入了一个新发展时期，这就是变量数学时期。解析几何在数学发展中起了推进作用。恩格斯对此曾经作过评价“数学中转折点是笛卡尔变数，有了变书，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了，”三、解析几何应用三、解析几何应用解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。在平面解析几何中，除了研究直线相关直线性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）相关性质。在空间解析几何中，除了研究平面、直线相关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面。椭圆、双曲线、抛物线有些性质，在生产或生活中被广泛应用。比如电影放映机聚光灯泡反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星天线、射电望远镜等都是利用抛物线原理制成。总来说，解析几何利用坐标法能够处理两类基本问题：一类是满足给定条件点轨迹，经过坐标系建立它方程；另一类是经过方程讨论，研究方程所表示曲线性质。利用坐标法处理问题步骤是：首先在平面上建立坐标系，把已知点轨迹几何条件“翻译”成代数方程；然后利用代数工具对方程进行研究；最终把代数方程性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题答案。坐标法思想促使人们利用各种代数方法处理几何问题。先前被看作几何学中难题，一旦利用代数方法后就变得平淡无奇了。坐标法对近代数学机械化证实也提供了有力工具。第39页