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第四章第四章 振动振动第第1页页振动是一个普遍运动形式。如：振动是一个普遍运动形式。如：机械振动机械振动 电磁振动电磁振动 广义振动：任一物理量广义振动：任一物理量(如位移、电如位移、电 流等流等)振动分类振动分类受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动(简谐振动简谐振动)无阻尼自由无阻尼自由谐振动谐振动在某一数值附近重复改变。在某一数值附近重复改变。其特点是：其特点是：(1)有平衡点；有平衡点；(2)含有重复性含有重复性(周期性周期性)第第2页页 简谐振动是最简单、最基本简谐振动是最简单、最基本振动形式，一切复杂振动都可振动形式，一切复杂振动都可由简谐振动合成。由简谐振动合成。第第3页页4.14.1 简谐振动简谐振动一.一.简谐振动简谐振动 表示式表示式 x(t)=Acos(t+)特点特点(1)等幅振动等幅振动 (2)周期振动周期振动 x(t)=x(t+T)一物理量随时间改变一物理量随时间改变规律遵从余弦函数关规律遵从余弦函数关系，则称该物理量作系，则称该物理量作简谐振动。简谐振动。XAA0第第4页页 表示式表示式 x(t)=Acos(t+)二二.描述描述简谐振动简谐振动特征量特征量 1.振幅振幅 A：即最大位移：即最大位移：xA3.周期周期T 和频率和频率 v2.角频率角频率（圆频率）（圆频率）（弧度（弧度/秒：秒：rad/s）而而 v=1/T/2（Hz）T2 T2/（s）（完成一次全振动所需时间）（完成一次全振动所需时间）（单位时间内完成全振动次数）（单位时间内完成全振动次数）第第5页页4.相位相位(1)(t+0 0 )是是 t 时刻时刻相位相位(2)0 0 是是t=0时刻相位时刻相位 初相初相第第6页页三三.简谐振动简谐振动描述方法描述方法1.解析法解析法由由 x=Acos(t+0)已知表示式已知表示式 A、T、0 已知已知A、T、0 表示式表示式2.曲线法曲线法0 xmx0=00A-Atx 0=/2T 已知曲线已知曲线 A、T、0 已知已知 A、T、0 曲线曲线第第7页页3.3.旋转矢量法旋转矢量法 0 t+00 xxt=tt=0 x=A cos(t+0)四四.相位差相位差 =(2 t+2)-(1 t+1)对两对两同频率同频率谐振动谐振动 =2-1初相差初相差 同相和反相：同相和反相：当当 =2k ,(k=0,1,2,),两振动步调相同两振动步调相同,称称同相同相第第8页页当当 =(2k+1),(k=0,1,2,),两振动步调相反两振动步调相反,称称反相反相 。x2Tx0A1-A1A2-A2x1t反相反相tx0A1-A1A2-A2x1x2T同相同相 超超 前前 和和 落落后后若若 =2-10,则则 x2比比x1较早到达正最大较早到达正最大,称称 x2 比比 x1 超前超前 (或或 x1 比比 x2 落后落后)。第第9页页超前、落后以超前、落后以 0 0 0a 0 0 0减速减速加速加速减速减速加速加速 AA-A-A-2A va第第11页页解题方法解题方法由由初始条件初始条件求解振幅和初位相求解振幅和初位相：设设 t=0 时，振动位移：时，振动位移：x=x0 振动速度：振动速度：v=v0第第12页页第第13页页例题例题例题例题1 1 1 1 一质点沿一质点沿X轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为1212cmcm，周期，周期为为2s2s。当。当t t=0=0时时,位移为位移为6 6cmcm，且向，且向X X轴正方向运动。求轴正方向运动。求1 1、振动方程；振动方程；2 2、t t=0.5s=0.5s 时，质点位置、速度和加速度时，质点位置、速度和加速度；3 3、假如在某时刻质点位于、假如在某时刻质点位于x=-0.6=-0.6cmcm，且向，且向X 轴负方向轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需时间。运动，求从该位置回到平衡位置所需时间。解：解：设简谐振动表示式为设简谐振动表示式为已知已知：A=12cm,T=2s，x=A cos(t+)x=0.12 cos(t+)初始条件：初始条件：t=0 时，x0=0.06m,v0 0第第14页页0.06=0.12 cos振动方程：振动方程：YX当当t=0时时,位移为位移为6cm，且向且向X轴正方向运动。轴正方向运动。第第15页页2、t=0.5s时，质点位置、速度和加速度时，质点位置、速度和加速度振动方程：振动方程：第第16页页设在某一时刻设在某一时刻 t1，x=0.06 m代入振动方程：代入振动方程：yx3、假如在某时刻质点位于、假如在某时刻质点位于x=0.6cm，且向，且向X 轴负方轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需时间。向运动，求从该位置回到平衡位置所需时间。振动方程：振动方程：第第17页页YX3/2 t23、假如在某时刻质点位于、假如在某时刻质点位于x=0.6cm，且向，且向X 轴负轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需时间。方向运动，求从该位置回到平衡位置所需时间。第第18页页例题例题例题例题2 2 2 2 两质点作同方向、同频率简谐振动，振幅相两质点作同方向、同频率简谐振动，振幅相等。当质点等。当质点1 1在在 x1 1=A/2=A/2 处，处，且向左运动时，另一个质且向左运动时，另一个质点点2 2在在 x2 2=-A/2=-A/2 处，且向右运动。求这两个质点位相处，且向右运动。求这两个质点位相差。差。解：解：解：解：A A-A-Ao oA/2A/2-A/2-A/2YX第第19页页YXA A-A-Ao oA/2A/2-A/2-A/2第第20页页例题例题3 3 一轻弹簧，一端固定，另一端连一定质量物体。一轻弹簧，一端固定，另一端连一定质量物体。整个系统位于水平面内。今将物体沿平面向右拉长到整个系统位于水平面内。今将物体沿平面向右拉长到x0=0.04m处释放，已知处释放，已知6.0 rad/s。试求：。试求：1、简谐简谐振动方程；振动方程；2、物体从初始位置运动到第一次经过物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时速度。处时速度。解：解：解：解：000=-=xvarctan第第21页页所以：所以：0 rad/s A0.04 mt0 时：时：xAcos（t）v A sin（t）把初始条件代入方程组：把初始条件代入方程组：0.04 Acos 0 6 A sin得：得：第第22页页yx2、物体从初始位置运动到第一次经过物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时速度。处时速度。第第23页页4.2 谐振子振动系统振动系统：参加振动一个或几参加振动一个或几物物 体所组成一个系体所组成一个系统。统。谐振系统谐振系统：作简谐振动振动系统作简谐振动振动系统谐振子谐振子：作简谐振动系统作简谐振动系统第第24页页一、弹簧振子一、弹簧振子弹簧振子：弹簧振子：一根轻弹簧和一个刚体组成一个一根轻弹簧和一个刚体组成一个 振动系统振动系统F依据胡克定律：依据胡克定律：（k为劲度系数或倔强系数）（1）在弹性程度内，弹性力在弹性程度内，弹性力 F 和位移和位移 x成正比。成正比。（2）弹性力弹性力F和位移和位移x 恒反向，一直指向平衡位置。恒反向，一直指向平衡位置。回复力：回复力：一直指向平衡位置作用力一直指向平衡位置作用力xXo第第25页页振动条件振动条件:（1 1）存在回复力；（）存在回复力；（2 2）物体含有惯性）物体含有惯性振动过程：振动过程：X0A A-A-AF F由牛顿第一定律得：由牛顿第一定律得：得得:第第26页页比较比较结论：结论：结论：结论：（1）弹簧振子振动为弹簧振子振动为简谐振动简谐振动。（2）周期：周期：角频率：角频率：周期周期T与振子本身性质（与振子本身性质（k和和m）相关，而与其它）相关，而与其它原因无关。原因无关。例：例：T在地球和月球上一样。在地球和月球上一样。第第27页页二、简谐振动能量二、简谐振动能量 平均值平均值1 1、振动系统能量、振动系统能量振子动能：振子动能：振子势能：振子势能：xX0v第第28页页XXEpEk221kAE=第第29页页谐振系统总机械能：谐振系统总机械能：第第30页页（1 1）振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变）振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变 化，但任一时刻总机械能保持不变。化，但任一时刻总机械能保持不变。（2 2）动能和势能改变频率是弹簧振子振动频率两倍。）动能和势能改变频率是弹簧振子振动频率两倍。（3 3）频率一定时，谐振动总能量与振幅平方成正比。）频率一定时，谐振动总能量与振幅平方成正比。（适合于任何谐振系统）（适合于任何谐振系统）结论结论：XEpEk221kAE=X第第31页页2 2、平均值、平均值（1 1）振动位移平均值：振动位移平均值：振动位移平均值：振动位移平均值：（2 2）谐振动势能平均值：）谐振动势能平均值：）谐振动势能平均值：）谐振动势能平均值：第第32页页 平均意义上说，简谐振动系统能量中二分平均意义上说，简谐振动系统能量中二分之一是动能，另二分之一是势能。之一是动能，另二分之一是势能。（3 3）谐振动动能平均值：）谐振动动能平均值：）谐振动动能平均值：）谐振动动能平均值：结论：结论：结论：结论：第第33页页Ol mgT三、单摆三、单摆 第第34页页结论：结论：结论：结论：单摆振动是单摆振动是简谐振动简谐振动。设振子最大摆角为设振子最大摆角为m，若考虑，若考虑m影响：影响：64第第35页页m真周期真周期/01.00005 1.000510 1.001920 1.007730 1.017445 1.039760 1.0719设振子最大摆角为设振子最大摆角为m，若考虑，若考虑m影响：影响：64第第36页页1、概念、概念2、运动方程、运动方程 重力矩重力矩转动定律转动定律3、周期与频率、周期与频率4、应用：、应用：1）测重力加速度；测重力加速度；2）测转动惯量）测转动惯量四、复摆四、复摆第第37页页五.电磁振荡一、振荡电路一、振荡电路 无阻尼自由电磁振荡无阻尼自由电磁振荡电磁振荡：电磁振荡：电荷和电流、电场和磁场随电荷和电流、电场和磁场随时间作周期性改变现象。时间作周期性改变现象。LCLC振荡回路：振荡回路：K K CL第第38页页CL+Q-Q(1)CLi(2)CL+Q-Q(3)CLi(4)LC回路振荡过程回路振荡过程第第39页页1.1.LCLC 振荡方程振荡方程CLi自感电动势自感电动势：(书书P208:9.15式式)电容器电压：电容器电压：(书书P153：7.43式式)回路方程：回路方程：第第40页页电流：电流：第第41页页电压：电压：在在LC电路中，电流、电压、电荷都电路中，电流、电压、电荷都随时间作简谐振动。随时间作简谐振动。结论：结论：结论：结论：2.2.LC 振荡能量振荡能量电场能量：电场能量：磁场能量：磁场能量：第第42页页总能量：总能量：在在LC电路中，电能和磁能交替转换，电路中，电能和磁能交替转换，但总能量保持不变。但总能量保持不变。结论：结论：结论：结论：第第43页页例例4.2 弹簧下悬一质量为弹簧下悬一质量为0.1kg小球时，其伸长量是小球时，其伸长量是8cm。现在弹簧下端挂一个现在弹簧下端挂一个M0.25kg物体组成弹簧振子。将物体组成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉物体从平衡位置向下拉4cm后，再给它向上初速度后，再给它向上初速度0.21m/s。取竖直向下为。取竖直向下为X轴正方向。求：轴正方向。求：1.物体振动周物体振动周期期;2.任意时刻振动函数和速度。任意时刻振动函数和速度。解：解：1.求周期求周期 T：由已知：由已知：kx0mgkmg/x0=0.19.8/0.08 12.25（N/m）角频率角频率T2/0.90（s）第第44页页如图建立坐标系，要求静止时小球位置为坐标原点。如图建立坐标系，要求静止时小球位置为坐标原点。0X/m则振动函数：则振动函数：x(t)=Acos(7t+）v(t)=7Asin(7t+）x(0)=0.04m已知：已知：v(0)=0.21m/s2.求任意时刻振动函数和速度：求任意时刻振动函数和速度：第第45页页x(0)=0.04m已知：已知：v(0)=0.21m/s1）直接把初始条件带入以下公式，求）直接把初始条件带入以下公式，求A，：第第46页页解得：解得：tan(0.21)/(70.04)0.750.64 rad A 0.05 m所以：所以：v(t)=0.35 sin（7t 0.64）x(t)=0.05 cos（7t0.64）Acos=0.04m7Asin=0.21 m/s2）依据初始条件列方程组：）依据初始条件列方程组：x(0)=0.04m已知：已知：v(0)=0.21m/s第第47页页例题例题4.6 在平板上放一质量为在平板上放一质量为1kg物体，平板沿铅直方向物体，平板沿铅直方向作简谐振动，振幅为作简谐振动，振幅为2cm，周期为，周期为0.5s。求：。求：1.平板位于平板位于最高点时最高点时,物体对平板压力是多大？物体对平板压力是多大？2.平板应以多大振幅平板应以多大振幅运动时，才能使重物跳离平板？运动时，才能使重物跳离平板？0X/mNmg解：解：如图建立坐标系，选向上为正方向。如图建立坐标系，选向上为正方向。当平板位于最高处时计时开始。当平板位于最高处时计时开始。则振动函数为：则振动函数为：x(t)Acost0.02 cos 4t2/T第第48页页0X/mNmgx(t)0.02 cos 4t加速度为：加速度为：a(t)2Acost 0.322 cos4t1.物体受力如图所表示，依据牛物体受力如图所表示，依据牛顿定律：顿定律：Nmg ma在最高处：在最高处：a0.322则：则：Nmamg 6.64（牛顿）（牛顿）2.由：由：Nmg m2 A cos 4t得：得：N m（g 2 Acos 4t）第第49页页N m（g 2 A cos 4t）0X/mNmg物体不脱离平板，即物体不脱离平板，即 N 0。所以：。所以：当当 g 2 Acos4t 0时，时，N0，物体脱离平板。物体脱离平板。即：即：A g/2 g/162 0.062m第第50页页4.3 4.3 阻尼振动阻尼振动一、阻尼振动微分方程一、阻尼振动微分方程0Xxr：阻力系数：阻力系数0：固有频率：固有频率 ：阻尼系数：阻尼系数 （阻尼因子）（阻尼因子）mmkor =2,:2令令22dtxdmvkx=-r动力学方程：动力学方程：第第51页页动力学方程：动力学方程：方程解：方程解：周期周期:阻尼振动周期阻尼振动周期 T 大于自由振动周期大于自由振动周期T0 第第52页页讨论：讨论：3、当（）时，为“临界阻尼临界阻尼”情况。是质点不作往复运动一个极限1、阻尼较小时（），振动为减幅振动，振幅 随时间按指数规律快速降低。阻尼越大，减幅越快速。阻尼振动周期大于自由振动周期。2、阻尼较大时（），振动从最大位移迟缓回到平衡位置，不作往复运动。第第53页页第第54页页4.4 4.4 受迫振动受迫振动0Xx系统在周期性外力连续作用下所发生振动。系统在周期性外力连续作用下所发生振动。受迫振动：受迫振动：驱动力：驱动力：周期性外力周期性外力设：设：一、受迫振动一、受迫振动第第55页页0Xx令：令：tf0 xdtdxdtxdobcos2222=+tcosFdtdxkxdtxdmo22r+-=第第56页页稳定振动状态：稳定振动状态：在稳定振动状态下，受迫振动频率等在稳定振动状态下，受迫振动频率等于驱动力频率。于驱动力频率。结论：结论：结论：结论：222b-=oarctan第第57页页二、共振二、共振1.位移共振：位移共振：当驱动力频率当驱动力频率 时，受时，受迫振动位移振幅到达最大值现象。迫振动位移振幅到达最大值现象。第第58页页A大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼零阻尼零阻尼共振频率：共振频率：共振振幅：共振振幅：阻尼系数阻尼系数 越小，共越小，共振角频率振角频率 r r 越靠近于系越靠近于系统固有频率统固有频率 O O ，同时共，同时共振振幅振振幅A Amax max 也越大。也越大。结论：结论：结论：结论：222bb-=omaxf0A相位：相位：/2振动相位落后外力振动相位落后外力/2,外力与速度同相位。外力与速度同相位。第第59页页2.速度共振：速度共振：当驱动力频率等于系统固有频率时，当驱动力频率等于系统固有频率时，受迫振动速度振幅到达极大值。受迫振动速度振幅到达极大值。当当0时，速度有极大值：时，速度有极大值：当当0时，位移共振频率时，位移共振频率0，与速度共振同时发生。与速度共振同时发生。22第第60页页应用应用:电磁共振选台电磁共振选台(收音机收音机)乐器利用共振提升音响效果乐器利用共振提升音响效果研究防止共振破坏办法：研究防止共振破坏办法：v破坏外力破坏外力(强迫力强迫力)周期性周期性;v改变系统固有频率改变系统固有频率;v改变外力频率改变外力频率;v增大系统阻尼力增大系统阻尼力.第第61页页例题（作业十例题（作业十.5）：一阻尼系统某一时刻振幅为）：一阻尼系统某一时刻振幅为A010cm；10s后，其振幅变为后，其振幅变为A11cm；求振幅变为；求振幅变为A20.3cm还需多少时间？还需多少时间？解：解：第第62页页例题（作业十例题（作业十.6）：阻尼振动时（）：阻尼振动时（0），位移两），位移两个相邻极大值之比是多少？个相邻极大值之比是多少？解：解：欠阻尼振动振动函数为：欠阻尼振动振动函数为：x(t)=Aetcos(t）所以：所以：设设t 时刻振幅极大，为：时刻振幅极大，为：XM(t)=Aet则相邻振幅极大为：则相邻振幅极大为：XM(t+T)=Ae(t+T)其中：其中：比值：比值：第第63页页例题（作业十例题（作业十.7；书中；书中4.8）：在简谐力作用下弹）：在简谐力作用下弹簧振子作受迫振动。设重物质量是簧振子作受迫振动。设重物质量是10kg，弹簧劲度，弹簧劲度系数是系数是700N/m，阻力系数是，阻力系数是40Ns/m，简谐力振幅，简谐力振幅是是100N，角频率是，角频率是10rad/s，求：，求：1.稳态时各时刻重物速度；稳态时各时刻重物速度；2.简谐力角频率为多大时才能产生共振？共振时简谐力角频率为多大时才能产生共振？共振时速度振幅是多大？速度振幅是多大？解：解：1.稳态时：稳态时：xAcos(t）v Asin(t)Acos(t/2)第第64页页v=Acos(t/2)222b-=oarctan其中：其中：f0F0/m=100/10=10;02k/m700/10=702=100;2；代入上两式得：代入上两式得：A0.2m；=0.295 v=2cos(10t0.205)第第65页页2.简谐力角频率为多大时才能产生速度共振？共简谐力角频率为多大时才能产生速度共振？共振时速度振幅是多大？振时速度振幅是多大？简谐力角频率：简谐力角频率：产生速度共振。产生速度共振。共振时，速度振幅有极大值：共振时，速度振幅有极大值：vmAf0/22.5m/s第第66页页4.5 4.5 同一条直线上两个简谐振动合成同一条直线上两个简谐振动合成一、同方向同频率简谐振动合成一、同方向同频率简谐振动合成 某一质点在直线上同时参加两个独立同频率某一质点在直线上同时参加两个独立同频率简谐振动，其振动方程分别表示为：简谐振动，其振动方程分别表示为：x第第67页页 一个质点参加两个在同一直线上频率相同一个质点参加两个在同一直线上频率相同简谐振动，其合成运动仍为简谐振动。简谐振动，其合成运动仍为简谐振动。结论：结论：为其它值时，为其它值时，A介于二者之间。介于二者之间。212122212:AAAAA2A1A-=-+=则则第第68页页例题：例题：两个同方向简谐振动曲线两个同方向简谐振动曲线(如图所表示如图所表示)1、求合振动振幅。、求合振动振幅。2、求合振动振动方程。、求合振动振动方程。解：解：xTt第第69页页第第70页页解：解：解：解：例题：例题：例题：例题：两个同方向，同频率简谐振动，其合振动振幅为两个同方向，同频率简谐振动，其合振动振幅为20cm，与第一个振动位相差为，与第一个振动位相差为 。若第一个。若第一个振动振幅为振动振幅为 。则（。则（1）第二个振动振幅为多少？）第二个振动振幅为多少？（2）两简谐振动位相差为多少？）两简谐振动位相差为多少？第第71页页h如图：如图：A sin/6 A2 sinh第第72页页二、同方向，不一样频率两谐振动合成二、同方向，不一样频率两谐振动合成 拍拍 设两同方向，角频率分别为设两同方向，角频率分别为 和和 两简谐振动（两简谐振动（）。它们所对应旋转矢量分别为）。它们所对应旋转矢量分别为 和和 相对于相对于 转动角频率转动角频率:两矢量同向重合时：两矢量同向重合时：合振动振幅合振动振幅 极大极大合振动振幅合振动振幅 极小极小两矢量反向重合时：两矢量反向重合时：拍：拍：拍：拍：合振动振幅时强时弱现象合振动振幅时强时弱现象第第73页页拍周期：拍周期：拍频率：拍频率：从解析式来分析：第第74页页振幅：振幅：随时间迟缓改变随时间迟缓改变为一谐振因子为一谐振因子第第75页页同方向同方向,不一样频率合成波形如图所表不一样频率合成波形如图所表示示:第第76页页拍现象应用：拍现象应用：v 用音叉振动校准乐器用音叉振动校准乐器v 测定超声波测定超声波v 测定无线电频率测定无线电频率v 调制高频振荡振幅和频率等调制高频振荡振幅和频率等第第77页页分振动：分振动：yx4.6 4.6 相互垂直简谐振动合成相互垂直简谐振动合成第第78页页结论：结论：结论：结论：两相互垂直同频率简谐振动合成其振动轨两相互垂直同频率简谐振动合成其振动轨迹为一椭圆迹为一椭圆(又称又称“椭圆振动椭圆振动”)。椭圆轨迹形状。椭圆轨迹形状取决于振幅和位相差。取决于振幅和位相差。第第79页页讨论：讨论：yx1.第第80页页yx结论：结论：质点振动轨迹为正椭圆质点振动轨迹为正椭圆 2.第第81页页xy结论：结论：结论：结论：质点作线振动质点作线振动3.第第82页页 =5/4 =3/2 =7/4 =0 =/2 =3/4Q =/4P .第第83页页四四.垂直方向不一样频率简谐振动合成垂直方向不一样频率简谐振动合成 两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小 =(2-1)t+(2-1)可看作两频率相等而可看作两频率相等而 2-1随随迟缓改变迟缓改变 合运动轨迹将按上页图合运动轨迹将按上页图依次迟缓改变依次迟缓改变 轨迹称为李萨如图形轨迹称为李萨如图形 x y=3 2 （Tx:Ty=2:3）2=0,1=/4yxA1A2o-A2-A1 两振动频率成两振动频率成整数比整数比第第84页页相互垂直简谐振动合成相互垂直简谐振动合成相互垂直简谐振动合成相互垂直简谐振动合成Tx:Ty第第85页页4.7 谐振分析谐振分析一一.一个周期性振动可分解为一系列频率分立简谐振动一个周期性振动可分解为一系列频率分立简谐振动-谐振分析谐振分析求解一个周期性函数所包含各种简谐振动频求解一个周期性函数所包含各种简谐振动频率及振幅数学方法称率及振幅数学方法称傅立叶分析傅立叶分析复杂振动可分解为一系列不一样频率谐振动之和。复杂振动可分解为一系列不一样频率谐振动之和。若若F(t)是周期性振动函数，即：是周期性振动函数，即：F(tT)F(t)则则F(t)可展开成以下傅立叶级数：可展开成以下傅立叶级数：第第86页页 基频：基频：2/T 是各分振动最低频，也是周期函数是各分振动最低频，也是周期函数F(t)频率频率k 称称 k 次谐频次谐频若周期振动频率为若周期振动频率为:0则各分振动频率为则各分振动频率为:0,2 0,3 0,(基频基频,二次谐频二次谐频,三次谐频三次谐频,)基频：决定音高（音调）基频：决定音高（音调）谐频：决定音色（音质）谐频：决定音色（音质）第第87页页ak、bk是常数：是常数：第第88页页对于每一个对于每一个k，可把，可把换写成换写成其中：其中：且令且令 A0 a0，则有：则有：第第89页页A0/2 表示表示 F(t)在一个周期内平均值；在一个周期内平均值；Ak 和和k 分别是第分别是第 k 个谐振动振幅和初相位。个谐振动振幅和初相位。第第90页页方波分解方波分解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x00tx0第第91页页xot锯齿波锯齿波A 03 05 0锯齿波频谱图锯齿波频谱图以各谐振动频率为横轴，以对应各振动振幅为纵轴所作以各谐振动频率为横轴，以对应各振动振幅为纵轴所作图解图解-一个实际振动频谱一个实际振动频谱将任一振动分解为许多简谐振动方法称为将任一振动分解为许多简谐振动方法称为频谱分析频谱分析周期性函数（振动）分解为若干倍频率谐振动，周期性函数（振动）分解为若干倍频率谐振动，其频谱是分立线状谱其频谱是分立线状谱第第92页页二二.一个非周期性振动一个非周期性振动xot阻尼振动曲线阻尼振动曲线阻尼振动频谱图阻尼振动频谱图o A可分解为可分解为无限多个频率连续改变简谐振动无限多个频率连续改变简谐振动频谱是连续谱频谱是连续谱第第93页页4.8 相空间中振动轨道相空间中振动轨道位形空间：位形空间：由位置坐标（由位置坐标（x，y，z）组成空间。）组成空间。相空间：相空间：由质点位置由质点位置 x 和动量和动量 P 组成空间。组成空间。相空间是法国数学家庞加莱（相空间是法国数学家庞加莱（Poincare）19世世纪末提出。纪末提出。相图上每一点表示了系统在某一时刻状态。相图上每一点表示了系统在某一时刻状态。第第94页页一、简谐振动相图一、简谐振动相图以作简谐振动弹簧振子为例。以作简谐振动弹簧振子为例。由机械能守恒定律得：由机械能守恒定律得：（总机械能，常量）（总机械能，常量）EEpEk其中：其中：第第95页页其相图是一个椭圆：其相图是一个椭圆：vXo等能轨道等能轨道椭圆点椭圆点图：简谐振动相空间曲线图：简谐振动相空间曲线在在O点点:E0第第96页页二、阻尼振动相图二、阻尼振动相图对于小阻尼振动，其方程为：对于小阻尼振动，其方程为：xAetcos(t+）质点动量：质点动量：P mv mdx/dt mAetcos(t+)mAetsin(t+)第第97页页P mAetcos(t+)mAetsin(t+)小阻尼振动相图是螺旋线簇：小阻尼振动相图是螺旋线簇：图：阻尼振动相空间曲线图：阻尼振动相空间曲线坐标原点坐标原点O称为：称为：“吸引子吸引子”或或“不动点不动点”第第98页页