工程数学场函数的高阶微分运算省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

CQU1 1、场函数三种基本微分运算、场函数三种基本微分运算 标量场梯度标量场梯度f，矢量场散度，矢量场散度F 和和F 旋度简称旋度简称“三度三度”运算。运算。2 2、场函数二阶运算、场函数二阶运算 （5）矢量场旋度旋度）矢量场旋度旋度 (F)（1）标量场梯度散度）标量场梯度散度 f（2）标量场梯度旋度）标量场梯度旋度 f（3）矢量场散度梯度）矢量场散度梯度 (F)（4）矢量场旋度散度）矢量场旋度散度(F)1.5 场函数高阶微分运算场函数高阶微分运算第第1页页CQU两个主要恒等式两个主要恒等式 3 3、场函数拉普拉斯运算、场函数拉普拉斯运算所以有所以有拉普拉斯算符拉普拉斯算符 在直角坐标系中在直角坐标系中 标量场标量场1.5 场函数高阶微分运算场函数高阶微分运算 第第2页页CQU因为因为 所以所以 2 2作用于矢量场将得到作用于矢量场将得到一个新矢量场一个新矢量场 算符算符 2 2 作用于矢量场结果将得到作用于矢量场结果将得到一个新矢量场一个新矢量场。在直角坐标系中在直角坐标系中 1.5 场函数高阶微分运算场函数高阶微分运算 第第3页页CQU4、两个与算符、两个与算符 2 相关恒等式相关恒等式 相对坐标标量函数相对坐标标量函数 相对位置矢量相对位置矢量 R 及其模及其模 R因为因为 1.5 场函数高阶微分运算场函数高阶微分运算 第第4页页CQU例例 3 计算计算 解解1.5 场函数高阶微分运算场函数高阶微分运算 第第5页页CQU1.5 场函数高阶微分运算场函数高阶微分运算 作业：作业：1.13（1）第第6页页CQU1 1、高斯散度定理（、高斯散度定理（GaussGauss）证实：证实：上式可写成上式可写成SV12(a)(a)(b)(b)为证实高斯定理将区域细分为证实高斯定理将区域细分12en2en11.6 矢量场积分定理矢量场积分定理在闭面在闭面S上及上及S所包围区域所包围区域V内，只要矢量场内，只要矢量场F(r)有有一一阶连续偏导数阶连续偏导数，则，则F(r)在在S上闭合面积分等于它散度上闭合面积分等于它散度在在V内体积分内体积分 第第7页页CQU 该公式表明了区域该公式表明了区域V 中场中场F与边界与边界S上场上场F 之间关系。之间关系。矢量函数面积分与体积分交换。矢量函数面积分与体积分交换。1.6 1.6 矢量场积分定理矢量场积分定理2 2、斯托克斯定理、斯托克斯定理(Stockes)(Stockes)斯托克斯定理斯托克斯定理：矢量：矢量F(r)沿任一闭合路径沿任一闭合路径l环量，等于环量，等于F(r)旋度旋度在以该闭合路径界为边界任一曲面在以该闭合路径界为边界任一曲面S上通量上通量 取取 极限，可得极限，可得第第8页页CQU证实：证实：取取 极限，可得极限，可得SlFen sili上式可写成上式可写成1.6 1.6 矢量场积分定理矢量场积分定理第第9页页CQU矢量函数线积分与面积分交换。矢量函数线积分与面积分交换。该公式表明了区域该公式表明了区域 S 中场中场F 与边界与边界 l 上场上场F 之间关系之间关系在电磁场理论中，在电磁场理论中，Gauss Gauss 定理和定理和 Stockes Stockes 定理定理是两个非常主要公式。是两个非常主要公式。1.6 1.6 矢量场积分定理矢量场积分定理第第10页页CQU3 3、格林公式、格林公式设设应用高斯定理应用高斯定理式中，式中，是是 在在S 面上外法向导数。面上外法向导数。格林第一公式格林第一公式（1）1.6 1.6 矢量场积分定理矢量场积分定理第第11页页CQU 将将 和和 位置交换，得位置交换，得（2）（1）式与（）式与（2）式相减，即得）式相减，即得格林第二公式格林第二公式1.6 1.6 矢量场积分定理矢量场积分定理第第12页页