复平面上曲线和区域市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。一一、复平面上、复平面上曲线方程各种表示曲线方程各种表示复平面上复平面上曲线方程有两种表示方式曲线方程有两种表示方式直角坐标方程直角坐标方程参数方程参数方程1第1页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。复平面上复平面上曲线曲线 C C 直角坐标方程直角坐标方程因为因为曲线曲线C方程方程F(x,y)=0，可写成复数形式，可写成复数形式2第2页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。例例 试用复数表示圆方程试用复数表示圆方程 其中其中 A,B,C,D A,B,C,D是实常数（是实常数（A!=0A!=0）3第3页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。假如假如A=0,BA=0,B及及C C不全为不全为0 0，这是直线方程，这是直线方程即为复平面上，直线方程普通形式即为复平面上，直线方程普通形式4第4页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。(1)用复数实部或虚部不等式表示用复数实部或虚部不等式表示Re(z-z0)=a是XOY平面上直线x=a+Re(z0)Im(z-z0)=b是XOY平面上直线y=b+Im(z0)P15,6(3)Im(z-i2)=245第5页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。(2)用复数模不等式表示用复数模不等式表示|z-z0|表示动点z到定点z0距离|z-z0|a表示以z0为中心，以a为半径圆周|z-z1|z-z2|表示到定点z1和z2等距离点轨迹，即线段z1z2垂直平分线|z-z1|z-z2|2a(|z1-z2|2a|)表示以z1和z2为焦点，以a为实半轴双曲线，其中正号代表离焦点z2近分支，负号代表另一分支。P15,6(1)|z+2|+|z-2|=632-27第7页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。例例 5 5 求以下方程所表示曲线求以下方程所表示曲线:解解8第8页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。化简后得化简后得9第9页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。设复设复平面上曲线平面上曲线 C 参数方程参数方程那么，复那么，复平面上曲线平面上曲线 C上动点上动点z(t)依赖于参数依赖于参数t 10第10页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。例例 指出方程表示什么曲线指出方程表示什么曲线从点从点z z0 0出发，与实轴夹角出发，与实轴夹角0 0射线射线解：因为解：因为 等价于等价于X=t,y=t+X=t,y=t+,消去消去t t得得y=x+(x0)y=x+(x0)11第11页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。(1)用含复数辐角不等式表示用含复数辐角不等式表示从点z0出发，与实轴夹角0射线P16,10(4)P15,6(4)i12第12页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。(2)曲线参数表示法曲线参数表示法复平面上曲线 C上动点z(t)=x(t)+iy(t)参数t在a,b上P15,7(2)z=t2+it表示抛物线y2=x13第13页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。2 Jordan曲线与连通区域曲线与连通区域（1）连续曲线连续曲线平面曲线复数表示平面曲线复数表示:14第14页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。（2）光滑曲线光滑曲线 由几段依次相接光滑曲线所组成曲线称为由几段依次相接光滑曲线所组成曲线称为按按(分分)段光滑曲线段光滑曲线.15第15页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。（3）Jordan曲线曲线 除起点与终点外无重点连续曲线除起点与终点外无重点连续曲线C 称为称为简简单曲线单曲线.起点与终点重合曲线起点与终点重合曲线C 称为闭曲线称为闭曲线.简单闭曲线称为简单闭曲线称为Jordan(Jordan(若当若当)曲线曲线.16第16页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。Jordan曲线性质曲线性质 任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C C 将复平面将复平面唯一地分成三个互不相交点集唯一地分成三个互不相交点集.内部内部外部外部边界边界17第17页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。课堂练习课堂练习 判断以下曲线是否为简单曲线?答答案案简简单单闭闭简简单单不不闭闭不不简简单单闭闭不不简简单单不不闭闭18第18页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。若若 是简单曲线，是简单曲线，与与 是定义在区是定义在区间间a,b a,b 上连续而且有连续导数，而且上连续而且有连续导数，而且有有 ，则称，则称 为为光滑曲线光滑曲线，由有限，由有限条光滑曲线首尾连接而成曲线为条光滑曲线首尾连接而成曲线为逐段光滑逐段光滑曲线曲线逐段光滑曲线逐段光滑曲线19第19页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。（1）邻域邻域注意注意三、平面点集三、平面点集与区域与区域20第20页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。(2)去心邻域去心邻域注意：注意：21第21页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。(3)内点内点(4)开集开集 假如假如G 内每一点都是它内点内每一点都是它内点,那末称那末称G 为为开集开集.22第22页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。(5)区域区域 连通开集称为区域连通开集称为区域,即：假如平面点集即：假如平面点集 D D 满足以下两个条件满足以下两个条件,则称它为一个区域则称它为一个区域.D是一个是一个开集开集；D D是是连通连通,就是说就是说D D 中任何两点都能够用中任何两点都能够用完全属于完全属于D D 一条折线连结起来一条折线连结起来.(6)区域区域边界点、边界边界点、边界边界点：边界点：23第23页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。注意注意1：区域边界可能是由几条曲线和一些区域边界可能是由几条曲线和一些 孤立点所组成孤立点所组成.注意注意2：区域区域D与它边界一起组成与它边界一起组成闭区域闭区域 D全部边界点组成全部边界点组成D边界边界.深入地，设深入地，设 D是一个平面区域是一个平面区域,点点 P 不属于不属于D,但但 P P 任一邻域内总有任一邻域内总有D点点,则则称称 P为为区域区域 D 边边界点界点.24第24页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。以上基本概念图示以上基本概念图示区域区域邻域邻域边界点边界点边界边界(7)有界区域和无界区域有界区域和无界区域25第25页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。(1)圆环域圆环域:课堂练习课堂练习判断以下区域是否有界判断以下区域是否有界?(2)上半平面上半平面:(3)角形域角形域:(4)带形域带形域:答案答案(1)有界有界;(2)(3)(4)无无界界.26第26页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。例例 设点集设点集 则点则点 是是 内点；内点；是是 边界点；边界点；是是 外点；外点；是开集且为有界集；是开集且为有界集；，是闭集且为有界集是闭集且为有界集即即 常称为单位圆常称为单位圆 这里这里 27第27页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。定义定义:若点集若点集D D为区域则称为区域则称D D 连同其边界连同其边界 所组成点集称为所组成点集称为闭域闭域。假如区域假如区域 D D 是有界集合，则称它为是有界集合，则称它为有界有界域域，不然为，不然为无界域无界域。28第28页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。(8)单连通域与多连通域定义单连通域与多连通域定义 复平面上一个区域复平面上一个区域G G,假如在其中任作一假如在其中任作一条简单闭曲线条简单闭曲线,而曲线内部总属于而曲线内部总属于G G,就称为就称为单连通单连通区域区域.一个区域假如不是单连通域一个区域假如不是单连通域,就称为就称为多连通多连通区域区域.单连通域多连通域29第29页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 必将复平面唯一地分成必将复平面唯一地分成 三个三个点集，使它们满足：点集，使它们满足：（1 1）彼此不相交；）彼此不相交；（2 2）是有界区域（称为曲线是有界区域（称为曲线 内部内部）；）；（3 3）是无界区域（称为曲线是无界区域（称为曲线 外部外部）；）；（4 4）C C 既是既是 边界又是边界又是 边界；边界；3.3.单连域和多连域单连域和多连域外部外部30第30页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。例例设设 ，E表示上半平面表示上半平面由定义得知，由定义得知，是单连通区域是单连通区域D表示环表示环D D 是多连通区域是多连通区域31第31页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。3 例题例题例例 1 1 指出以下不等式所确定点集指出以下不等式所确定点集,是有界还是无是有界还是无界界,单连通还是多连通单连通还是多连通.解解无界单连通域无界单连通域(如图如图).32第32页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。是角形域是角形域,无界单连通域无界单连通域(如图如图).无界多连通域无界多连通域.33第33页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。表示到表示到1,1距离之和为距离之和为定值定值 4 点轨迹点轨迹,是椭圆是椭圆,有界单连通域有界单连通域.34第34页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。有界集有界集.但不是区域但不是区域.35第35页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。例例 2 2解解 满足以下条件点集是什么满足以下条件点集是什么,假如是区域假如是区域,指出是单连通域还是多连通域指出是单连通域还是多连通域?是一条平行于实轴直线是一条平行于实轴直线,不是区域不是区域.单连通域单连通域.36第36页