1、 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长1小结小结 思索题思索题 作业作业弧长概念弧长概念直角坐标情形直角坐标情形参数方程情形参数方程情形7.4 平面曲线弧长平面曲线弧长第第7 7章章 定积分应用定积分应用极坐标情形极坐标情形第第1页页 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长2设设A、B是曲线是曲线在在弧上插入分点弧上插入分点依次用弦将依次用弦将记每条弦记每条弦长度为长度为折线长度极限折线长度极限假如当分点无限增加假如当分点无限增加,弧长弧长(长度长度).).弧上两个端点弧上两个端点,光滑曲线弧是可求长光滑曲线弧是可求长.则称则称此极限此极限为曲线弧为曲线弧 AB相邻两点联结起来相邻两点联结起来,
2、得到一条内接折线得到一条内接折线.一、平面曲线弧长概念一、平面曲线弧长概念第第2页页 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长3弧长元素弧长元素弧长弧长小切线段长为小切线段长为:弧段长弧段长,设曲线弧为设曲线弧为y=f(x)其中其中f(x)在在a,b上有上有一阶连续导数一阶连续导数.取积分变量为取积分变量为x,任取小区间任取小区间在在a,b上上二、直角坐标情形二、直角坐标情形现在计算这现在计算这曲线弧长度曲线弧长度.(弧微分弧微分)以对应小以对应小切线段长代替小切线段长代替小第第3页页 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长4解解所求弧长为所求弧长为例例 悬链线方程悬链线方程计算介于计算介于 之间一
3、段弧长度之间一段弧长度.第第4页页 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长5解解例例 计算曲线计算曲线弧长弧长第第5页页 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长6曲线弧为曲线弧为弧长弧长其中其中在在a,b上上含有连续导数含有连续导数.三、参数方程情形三、参数方程情形现在计算这现在计算这曲线弧长度曲线弧长度.取参数取参数t为积分变量为积分变量,其改变区间为其改变区间为对应于对应于上任一小区间上任一小区间小弧段小弧段长度近似值长度近似值,即即弧长元素弧长元素为为第第6页页 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长7解解 星形线参数方程为星形线参数方程为对称性对称性第一象限部分弧长第一象限部分弧长第一象限部
4、分弧长第一象限部分弧长例例 求星形线求星形线全长全长.第第7页页 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长8证证 设正弦线弧长等于设正弦线弧长等于s1设椭圆周长为设椭圆周长为s2证实正弦线证实正弦线例例弧长弧长等于椭圆等于椭圆周长周长.对称性对称性第第8页页 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长9曲线弧为曲线弧为弧长弧长含有连续导数含有连续导数.四、极坐标情形四、极坐标情形现在计算这现在计算这曲线弧长度曲线弧长度.由直角坐标与极坐标关系：由直角坐标与极坐标关系：弧长元素弧长元素为为 为参数参为参数参数方程数方程第第9页页 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长10解解求极坐标系下曲线求极坐标系下曲线
5、例例长长.第第10页页 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长11解解求阿基米德螺线求阿基米德螺线例例第第11页页 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长12平面曲线弧长概念平面曲线弧长概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下求弧长公式求弧长公式四、小结四、小结第第12页页 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长13思索题思索题解答解答仅仅有曲线连续还不够仅仅有曲线连续还不够,不一定不一定.必须确保曲线光滑才可求长必须确保曲线光滑才可求长.闭区间闭区间a,b上连续曲线上连续曲线 y=f(x)是否是否一定可求长一定可求长?第第13页页 7.4 平面曲线的弧长平面曲线的弧长14作业作业习题习题7.4(2657.4(265页页)第第14页页
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