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第九章第九章 直线、平面、简单几何体直线、平面、简单几何体第 讲（第一课时）（第一课时）1第1页考考点点搜搜索索线面垂直与面面垂直概念线面垂直与面面垂直概念线面垂直与面面垂直判定定理线面垂直与面面垂直判定定理线面垂直与面面垂直性质定理线面垂直与面面垂直性质定理三垂线定理及其逆定理高考三垂线定理及其逆定理高考高高考考猜猜测测1.判断或证实线面垂直和面面垂直判断或证实线面垂直和面面垂直是考查重点内容是考查重点内容.2.线面垂直与线面平行相互转化线面垂直与线面平行相互转化.3.在线面垂直背景下求相关量值在线面垂直背景下求相关量值.2第2页1.假假如如一一条条直直线线和和一一个个平平面面相相交交，而而且且和和这这个个平平面面内内_都都垂垂直直，那那么么就就称称这这条条直直线线和和这这个个平平面面垂垂直直.其其中中直直线线叫叫做做平平面面_;平平面面叫叫做做直直线线_；交交点点叫叫做做_.2.假假 如如 一一 条条 直直 线线 和和 一一 个个 平平 面面 内内_都都垂垂直直，那那么么这这条条直直线线垂垂直直于这个平面于这个平面.任意一条直线任意一条直线垂线垂线垂面垂面垂足垂足两条相交直线两条相交直线3第3页3.设设l，m为直线，为直线，为平面，若为平面，若l m，且且l，则，则_；若；若l，且，且m，则，则_.4.设设l为直线，为直线，、为平面，若为平面，若l ，且且，则，则_;若若l，且，且l，则，则_.5.假如两个相交平面所成二面角为假如两个相交平面所成二面角为_，则称这两个平面相互垂直，则称这两个平面相互垂直.m l ml 直二面角直二面角4第4页6.假如一个平面经过另一个平面假如一个平面经过另一个平面 ，那么这两个平面相互垂直，那么这两个平面相互垂直.7.假如两个平面相互垂直，那么在一个平面假如两个平面相互垂直，那么在一个平面内内_直线垂直于另一个平面直线垂直于另一个平面.8.自平面自平面外一点外一点P向平面向平面引垂线，垂足引垂线，垂足P叫做点叫做点P在平面在平面内内 _.一条垂线一条垂线垂直于交线垂直于交线正射线正射线5第5页9.假如一条直线和一个平面相交，但不和假如一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面 _;直线和平面交点叫做直线和平面交点叫做 _.10.在平面内一条直线，假如它和这个平在平面内一条直线，假如它和这个平面一条斜线面一条斜线_，那么它也和这条斜线，那么它也和这条斜线垂直垂直;假如它和这个平面一条斜线垂直假如它和这个平面一条斜线垂直,那么它那么它也和这条斜线在也和这条斜线在 _垂直垂直.斜线斜线斜足斜足射线垂直射线垂直平面内射线平面内射线6第6页11.过一点且垂直于一个已知平面直线过一点且垂直于一个已知平面直线条数为条数为 _；过一点且垂直；过一点且垂直于一条已知直线平面个数为于一条已知直线平面个数为 _.12.从平面外一点向这个平面所引斜线从平面外一点向这个平面所引斜线段中，相等斜线段其射影长段中，相等斜线段其射影长 _;较长较长斜线段其射影斜线段其射影 _，反之亦然，反之亦然.有且只有一条有且只有一条有且只有一个有且只有一个相等相等较长较长7第7页 1.给出以下命题，其中正确两个命题是给出以下命题，其中正确两个命题是()若直线上有两点到平面距离相等，若直线上有两点到平面距离相等，则此直线与平面平行则此直线与平面平行;夹在两个平行平面间两条异面线段夹在两个平行平面间两条异面线段中点连线平行于这两个平面中点连线平行于这两个平面;直线直线m平面平面，直线，直线nm，则，则n;8第8页若若a、b是异面直线，则存在唯一平面是异面直线，则存在唯一平面，使它与使它与a、b都平行且与都平行且与a、b距离相等距离相等.A.B.C.D.解：解：错误错误.假如这两点在该平面异假如这两点在该平面异侧，则直线与平面相交侧，则直线与平面相交.正确正确.如右图，平面如右图，平面，A，C，D，B且且E、F分别分别为为AB、CD中点，中点，9第9页设设H是是CG中点，中点，则则EHBG，HFGD.所以所以EH平面平面，HF平面平面.所以平面所以平面EHF平面平面平面平面.所以所以EF，EF.10第10页错误错误.直线直线n可能在平面可能在平面内内.正正确确.如如右右图图，设设AB是是异异面面直直线线a、b公公垂垂线线段段，E为为AB中中点点，过过E作作aa，bb，则则a、b确确定定平平面面即即为为与与a、b都都平平行行且且与与a、b距距离离相相等等平平面面，而而且且它它是是唯唯一一确定确定.故选故选D.11第11页2.在在正正方方形形SG1G2G3中中，E、F分分别别是是G1G2、G2G3中中点点，D是是EF中中点点，沿沿SE、SF及及EF把把这这个个正正方方形形折折成成一一个个四四面面体体，使使G1、G2、G3三三点点重重合合，重重合合后后点点记记为为G，那那么么，在在四四面面体体S-EFG中必有中必有()A.SG平面平面EFG B.SD平面平面EFGC.FG平面平面SEF D.GD平面平面SEFA 解解：注注意意折折叠叠过过程程中中，一一直直有有SG1 G1 E，SG3G3F，即即SGGE，SGGF，所所以以SG平面平面EFG.故选故选A.12第12页3.在三棱锥在三棱锥A-BCD中，若中，若ADBC，BD AD，BCD是锐角三角形，那么必有是锐角三角形，那么必有()A.平面平面ABD平面平面ADCB.平面平面ABD平面平面ABCC.平面平面ADC平面平面BCDD.平面平面ABC平面平面BCD解解:由由ADBC,BDAD,所以所以AD平面平面BCD，又又AD平面平面A D C，所以平面所以平面ADC平面平面BCD.C13第13页1.在直三棱柱在直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，ACB=90，BAC=30，BC=1，AA1=6，M为为CC1中点，中点，求证：求证：AB1A1M.证法证法1：分别取分别取AA1、A1B1中点中点D、E，连结连结CD、DE，题型题型1 线线垂直判定与证实线线垂直判定与证实14第14页则则 所以所以CDE为异面直线为异面直线AB1和和A1M所成角所成角.连结连结CE，由已知可得，由已知可得AC=，AB=2，AD=，所以所以 .连结连结C1E，则，则C1E=A1B1=1，15第15页所以所以CE2=CC21+C1E2=7.于是，有于是，有CD2+DE2=CE2，所以所以 C D E=9 0 ，即即AB1A1M.证法证法2：由题设知由题设知B1C1A1C1，B1C1CC1，所以，所以B1C1平面平面ACC1A1.连结连结AC1，则，则AC1是是AB1在平面在平面ACC1A1内射影内射影.16第16页由已知可得由已知可得AC=A1C1=，C1M=，所以所以tanAC1C=，tanMA1C1=，所以所以AC1C=MA1C1.所以所以AC1A1+MA1C1=AC1A1+AC1C=90,所以所以A1MAC1.据三垂线定理，据三垂线定理，A1MAB1.17第17页点点评评：证证两两异异面面直直线线垂垂直直方方法法主主要要有有：所所成成角角是是直直角角；平平移移后后转转化化到到同同一一平平面面内内两两直直线线垂垂直直；利利用用三三垂垂线线定定理理，证证一一线线射射影影与与直直线线垂垂直直；利利用用线线面面垂垂直直性性质质.18第18页 在直三棱柱在直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，B1C1=A1C1，A1BAC1，求证：求证：A1BB1C.证实：证实：取取A1B1中点中点D1，连结连结C1D1.因为因为B1C1=A1C1，所以，所以C1D1A1B1，所以所以C1D1平面平面ABB1A1.19第19页连结连结AD1，则，则AD1是是AC1在平面在平面ABB1A1内射影，内射影，因为因为A1BAC1，所以所以A1BAD1.取取AB中点中点D，连结连结CD、B1D，则则B1DAD1，且且B1D是是B1C在平面在平面ABB1A1内射影内射影.因为因为B1DA1B，所以，所以A1BB1C.20第20页2.在三棱锥在三棱锥P-ABC中，中，PA=PB=PC，ABBC，D为为AC中点，中点，求证：求证：PD平面平面ABC.证法证法1：因为因为PA=PC，D为为AC中点，中点，所以所以PDAC.取取BC中点中点E，连结，连结PE、DE.题型题型2 线面垂直判定与证实线面垂直判定与证实21第21页因为因为PB=PC，所以所以PEBC，又又DEAB，ABBC，所以所以DEBC，于是于是BC平面平面PDE，所以所以BCPD.结合结合知，知，PD平面平面ABC.22第22页证证法法2：过过点点P作作PO平平面面ABC，垂垂足足为为O.因因为为PA=PB=PC，所所以以AO=OB=OC，即即O为为ABC外外心心.因因为为ABBC，即即ABC为为直直角角三三角角形形，所所以以O为为斜斜边边AC中中点点，从从而而D与与O重重合合，故故PD平面平面ABC.点点评评：证证线线面面垂垂直直普普通通是是转转化化为为证证直直线线与与平平面面内内两两条条相相交交直直线线垂垂直直，即即由由“线线线线垂垂直直”得出得出“线面垂直线面垂直”.23第23页 如图，正三棱柱如图，正三棱柱ABC-A1B1C1全全部棱长都为部棱长都为2，D为为CC1中点中点.求证：求证：AB1平平面面A1BD.证实：证实：取取BC中点中点O，连结连结AO.因为因为ABC为为正三角形，所以正三角形，所以AOBC.棱柱棱柱ABC-A1B1C1中，平面中，平面ABC平面平面BCC1B1，所以，所以AO平面平面BCC1B1.连结连结B1O.24第24页在正方形在正方形BB1C1C中，中，O、D分别为分别为BC、CC1中点，中点，所以所以B1OBD，所以所以AB1BD.在正方形在正方形ABB1A1中，中，AB1A1B，所以所以AB1平面平面A1BD.25第25页3.在四棱锥在四棱锥P-ABCD中，中，PA底面底面A B CD，底面，底面ABCD为矩形，为矩形，PA=AD，M为为AB中中点点.求证：平面求证：平面PMC平面平面PCD.证实：证实：分别取分别取PC、PD中点中点N、E，连结，连结MN、AE、EN，则则 .题型题型3 面面垂直判定与证实面面垂直判定与证实26第26页又又 ，所以所以 .所以四边形所以四边形AMNE为为平行四边形，平行四边形，所以所以MNAE.因为因为PA=AD，所以所以AEPD.又又CDAD，CDPA，所以所以CD平面平面PAD，所以，所以CDAE.27第27页于是于是AE平面平面PCD，所以所以MN平面平面PCD.因为因为MN平面平面PMC，所以平面所以平面PMC平面平面PCD.点点评评：利利用用面面面面垂垂直直判判定定定定理理证证两两平平面面垂垂直直，关关键键是是在在其其中中一一个个平平面面内内找找一一条条直直线线垂垂直直另另一一个个平平面面，即即将将证证面面面面垂垂直直问问题转化为证线面垂直问题题转化为证线面垂直问题.28第28页29第29页30第30页31第31页32第32页1.判判断断或或证证实实两两条条直直线线垂垂直直主主要要方方法法有有：(1)利利用用两两直直线线垂垂直直定定义义，判判断断两两直直线线所所成成角角为为90;(2)利利用用三三垂垂线线定定理理或或其其逆逆定定理理；(3)利利用用线线面面垂垂直直概概念念，证证实实一一条条直直线线垂垂直直于于经经过过另另一一条条直直线线一一个个平平面面;(4)利利用用相相关关两两直直线线垂垂直直平平面面几几何何性性质质(如如菱菱形形对对角角线线相相互互垂垂直直，等等腰三角形底边上中线垂直于底边等腰三角形底边上中线垂直于底边等).33第33页2.判判断断或或证证实实直直线线和和平平面面垂垂直直主主要要方方法法有有：(1)利利用用直直线线和和平平面面垂垂直直定定义义；(2)利利用用直直线线和和平平面面垂垂直直判判定定定定理理；(3)转转化化为为另另一一条条平平行行线线和和这这个个平平面面垂垂直直；(4)利利用用同同一一法法，即即过过直线上一点作平面垂线，再证两直线重合直线上一点作平面垂线，再证两直线重合.34第34页3.判判定定或或证证实实两两平平面面垂垂直直有有两两种种方方法法：一一是是依依据据定定义义判判断断；二二是是由由判判定定定定理理确确定定.面面面面垂垂直直与与线线面面垂垂直直、线线线线垂垂直直是是亲亲密密相相关，解题时要注意三者相互转化关，解题时要注意三者相互转化.4.平平行行与与垂垂直直是是对对立立统统一一辩辩证证关关系系.经经过过平平移移转转化化一一些些垂垂直直关关系系，是是一一个个主主要要解解题技巧题技巧.35第35页