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第第14章章 超静定系统超静定系统 14.1 14.1 概述概述概述概述 14.2 14.2 用力法求解静不定结构用力法求解静不定结构用力法求解静不定结构用力法求解静不定结构 14.3 14.3 对称及对称性质利用对称及对称性质利用对称及对称性质利用对称及对称性质利用 14.3.1 14.3.1 对称问题对称问题对称问题对称问题 14.3.2 14.3.2 反对称问题反对称问题 14.3.3 14.3.3 既非对称也非反对称问题既非对称也非反对称问题 14.4 14.4 连续梁及三弯矩方程连续梁及三弯矩方程连续梁及三弯矩方程连续梁及三弯矩方程 本章习题本章习题本章习题本章习题第1页 12.1 12.1 概述概述概述概述 静不定结构也称为超静定结构，和对应静定结构相比，静不定结构也称为超静定结构，和对应静定结构相比，含有强度高、刚度大优点，所以工程实际中结构大多是静不含有强度高、刚度大优点，所以工程实际中结构大多是静不定结构。本章主要介绍静不定结构定义、静不定次数判断以定结构。本章主要介绍静不定结构定义、静不定次数判断以及静不定结构求解方法，重点介绍用力法求解静不定结构。及静不定结构求解方法，重点介绍用力法求解静不定结构。首先对超静定结构作全方面讨论。首先对超静定结构作全方面讨论。第2页1.平面杆系 由直杆以铰结点相连接组成杆系，若载荷只作用于由直杆以铰结点相连接组成杆系，若载荷只作用于结点上，则每一杆件只承受拉伸或压缩，这种杆系称为结点上，则每一杆件只承受拉伸或压缩，这种杆系称为桁架桁架见图见图14.1(a)。图14.1第3页 若直杆以刚结点相连接组成杆系在载荷作用下，各若直杆以刚结点相连接组成杆系在载荷作用下，各杆能够承受拉、压、弯曲和扭转，这么杆系称为刚架杆能够承受拉、压、弯曲和扭转，这么杆系称为刚架见见图图14.1(b)。至于如图。至于如图14.1(d)所表示杆系是连续跨过若干所表示杆系是连续跨过若干支座梁通常称为连续梁。图支座梁通常称为连续梁。图14.1杆系各杆轴线在同一平杆系各杆轴线在同一平面内，且它就是各杆形心主惯性平面；同时，外力也都面内，且它就是各杆形心主惯性平面；同时，外力也都作用于这一平面内。这种杆系称为平面杆系。后面讨论作用于这一平面内。这种杆系称为平面杆系。后面讨论以平面杆系为主。以平面杆系为主。2.外超静定和内超静定外超静定和内超静定 以往讨论超静定结构，多数是支座反力不能全由平衡以往讨论超静定结构，多数是支座反力不能全由平衡方程求出情况，这种超静定结构称为外静不定，如图方程求出情况，这种超静定结构称为外静不定，如图14.1(b)和图和图14.1(d)所表示就是这种超静定结构。至于如图所表示就是这种超静定结构。至于如图14.1(a)和图和图14.1(c)所表示结构虽支座反力可由静力平衡方所表示结构虽支座反力可由静力平衡方程确定，但杆件内力却不能全部由平衡方程求出，依然是程确定，但杆件内力却不能全部由平衡方程求出，依然是超静定结构，这种超静定结构称为外静不定。与此相反，超静定结构，这种超静定结构称为外静不定。与此相反，静定结构支座反力和内力由平衡方程，并利用截面法，便静定结构支座反力和内力由平衡方程，并利用截面法，便可全部确定。可全部确定。第4页3超静定结构多出约束超静定结构多出约束 图14.2 如图如图14.2(a)和图和图14.2(b)所表示静定梁各有三个反力，使所表示静定梁各有三个反力，使梁只可能有变形引发位移，在梁只可能有变形引发位移，在xy平面内任何刚性位移或转动平面内任何刚性位移或转动都是不可能。这么结构称为几何不变或运动学不变结构。上都是不可能。这么结构称为几何不变或运动学不变结构。上述三个反力所代表约束都是保持结构几何不变所必需。比如述三个反力所代表约束都是保持结构几何不变所必需。比如解除简支梁右端铰支座；或解除悬臂梁固定端对转动约束使解除简支梁右端铰支座；或解除悬臂梁固定端对转动约束使之变为铰支座，这两种情况都将使梁变成如图之变为铰支座，这两种情况都将使梁变成如图14.2(c)所表示所表示机构，它可绕左端铰链机构，它可绕左端铰链A转动，是几何可变。转动，是几何可变。第5页 与静定结构不一样，超静定结构一些支座往往并不是与静定结构不一样，超静定结构一些支座往往并不是维持几何不变所必需。比如解除如图维持几何不变所必需。比如解除如图14.1(b)所表示刚架支所表示刚架支座座B，它依然是几何不变结构。所以把这类约束称为多出，它依然是几何不变结构。所以把这类约束称为多出约束。与多出约束对应约束力就称为多出约束力。约束。与多出约束对应约束力就称为多出约束力。结构支座或支座反力是结构外部约束。现在从静定与结构支座或支座反力是结构外部约束。现在从静定与超静定结构比较来讨论内部约束。如图超静定结构比较来讨论内部约束。如图14.3(a)所表示是一所表示是一个静定刚架，切口两侧个静定刚架，切口两侧A、B两截面能够有相正确位移和转两截面能够有相正确位移和转动。如用铰链将动。如用铰链将A、B连接连接见图见图14.3(b)，这就限制了，这就限制了A、B两截面沿垂直和水平两个方向相对位移，组成结构内部约两截面沿垂直和水平两个方向相对位移，组成结构内部约束，相当于增加了两对内部约束力，如图束，相当于增加了两对内部约束力，如图14.3(c)所表示。所表示。推广开来，如把刚架上面两根杆件改成连为一体一根杆件推广开来，如把刚架上面两根杆件改成连为一体一根杆件见图见图14.3(d)，这就约束了，这就约束了A、B两截面相对转动和位移，两截面相对转动和位移，等于增加了三对内部约束力等于增加了三对内部约束力见图见图14.3(e)。第6页图14.3第7页4基本静定结构 其次在解题时需将超静定系统变化为静定系统。解除超静定结构某些约束后，可以把它变为静定结构。如解除如图14.4(a)所示超静定结构支座C，并将截面D切开，便成为如图14.4(b)所示静定结构。解除支座C相当于解除了一个外部约束，切开截面D又等于解除了三个内部约束。可见相当于解除了四个约束。或者说，与相应静定结构相比，如图11.4(a)所示超静定结构多出四个约束，称为四次超静定结构。又如在图14.l(a)中，把桁架任一根杆件切开，就成为静定结构。桁架各杆只承受拉伸或压缩，切开一根杆件只相当于解除一个内部约束，所以它是一次超静定结构。第8页图14.4解除超静定结构一些约束后得到静定结构，称为原超定解除超静定结构一些约束后得到静定结构，称为原超定结构基本静定系或静定基。图结构基本静定系或静定基。图14.4(b)所表示静定结构就所表示静定结构就是图是图14.4(a)所表示超静定结构基本静定系。基本静定系能所表示超静定结构基本静定系。基本静定系能够有不一样选择，不是唯一。够有不一样选择，不是唯一。第9页图图14.5(a)所表示刚架有两个多出约束，是二次超静定梁。所表示刚架有两个多出约束，是二次超静定梁。能够解除固定铰支座得到由图能够解除固定铰支座得到由图14.5(b)所表示基本静定系。所表示基本静定系。也可将刚架固定端除去，并装上移动铰链就得到如图也可将刚架固定端除去，并装上移动铰链就得到如图14.5(c)所表示基本静定系。在基本静定系上，除原有载所表示基本静定系。在基本静定系上，除原有载荷外，还应该用对应多出约束力代替被解除多出约束，荷外，还应该用对应多出约束力代替被解除多出约束，这就得到图这就得到图14.5(b)或图或图14.5(c)所表示基本静定系。有时所表示基本静定系。有时把载荷和多出约束力作用下基本静定系称为相当系统。把载荷和多出约束力作用下基本静定系称为相当系统。图14.5第10页基本静定系统基选取可遵照标准：基本静定系统基选取可遵照标准：(1)基本静定系统基必须能维持静力平衡，且为几何不基本静定系统基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统。变系统。(2)基本静定系统要便于计算，即要有利于建立变形协基本静定系统要便于计算，即要有利于建立变形协调条件。普通来说，求解变形时，悬臂梁最为简单，调条件。普通来说，求解变形时，悬臂梁最为简单，其次是简支梁，最终为外伸梁。其次是简支梁，最终为外伸梁。第11页5超静定次数确实定(1)依据结构约束性质可确定内、外约束力总数。内、外依据结构约束性质可确定内、外约束力总数。内、外约束力总数与独立静力平衡方程总数之差即为超静定结约束力总数与独立静力平衡方程总数之差即为超静定结构超静定次数。构超静定次数。(2)外超静定次数判断：依据结构与受力性质，确定其是外超静定次数判断：依据结构与受力性质，确定其是空间或是平面承载结构，即可确定全部约束个数。依据空间或是平面承载结构，即可确定全部约束个数。依据作用力类型，可确定独立平衡方程数，二者之差为作用力类型，可确定独立平衡方程数，二者之差为超静超静定次数定次数。如图。如图14.7(b)所表示，外载荷为平面力系，则为所表示，外载荷为平面力系，则为三次外超静定系，而图三次外超静定系，而图14.7(c)为空间力系，则为六次外为空间力系，则为六次外超静定。超静定。(3)内超静定次数确实定。内超静定次数确实定。桁架：直杆用铰链相连接，载荷只作用于结点，杆只受桁架：直杆用铰链相连接，载荷只作用于结点，杆只受拉压力杆系，其基本几何不变系由三杆组成拉压力杆系，其基本几何不变系由三杆组成见图见图14.6(a)。而图。而图14.6(b)仍由基本不变系扩展而成，仍是静仍由基本不变系扩展而成，仍是静定系，而图定系，而图14.6(c)因为在基本系中增加了一约束杆，因因为在基本系中增加了一约束杆，因而为一次超静定。而为一次超静定。第12页图14.6图14.7第13页 刚架：杆以刚结点相连接，各杆能够承受拉、压、弯曲刚架：杆以刚结点相连接，各杆能够承受拉、压、弯曲和扭转，这么杆系为平面刚架和扭转，这么杆系为平面刚架(图图14.7)。对于闭口框架，则需。对于闭口框架，则需用截面法切开一个切口使其变为静定结构用截面法切开一个切口使其变为静定结构(几何不变可承载结几何不变可承载结构构)，其截面上作为平面受力结构，其截面上作为平面受力结构见图见图14.7(b)，出现三个内，出现三个内力力(轴向力轴向力,弯矩，剪切力弯矩，剪切力)，为三次超静定，而对于空间受力，为三次超静定，而对于空间受力结构结构见图见图14.7(c)则为六次超静定。对于大型结构，若为平面则为六次超静定。对于大型结构，若为平面问题，则每增加一个闭合框架，结构超静定次数便增加三次，问题，则每增加一个闭合框架，结构超静定次数便增加三次，而一个平面受力闭合圆环与之类似，也是三次超静定。而一个平面受力闭合圆环与之类似，也是三次超静定。(4)混合超静定次数确实定。混合超静定次数确实定。先判断外超静定次数，后判断内超静定次数，二者之和为结先判断外超静定次数，后判断内超静定次数，二者之和为结构超静定次数。构超静定次数。图14.8第14页 12.212.2用力法求解静不定结构用力法求解静不定结构用力法求解静不定结构用力法求解静不定结构 求解静不定结构方法普通有两种方法：力法和位移法。求解静不定结构方法普通有两种方法：力法和位移法。力法力法：以多出约束力为基本未知量，将变形或位移表示为：以多出约束力为基本未知量，将变形或位移表示为未知力函数，经过变形协调条件作为补充方程来求解未知约未知力函数，经过变形协调条件作为补充方程来求解未知约束力，这种方法称为力法，又叫柔度法。束力，这种方法称为力法，又叫柔度法。位移法位移法：以结点位移作为基本未知量，将力经过结构关系：以结点位移作为基本未知量，将力经过结构关系表示成位移函数。经过结点平衡条件，解出未知量，这种方表示成位移函数。经过结点平衡条件，解出未知量，这种方法称为位移法，又叫刚度法。法称为位移法，又叫刚度法。本文使用力法，不包括位移法。本文使用力法，不包括位移法。第15页【例【例14.1】如图如图14.9(a)所表示是车削工件安有尾顶针简化模型。这是所表示是车削工件安有尾顶针简化模型。这是一次静不定，解除一次静不定，解除B端约束成悬臂梁端约束成悬臂梁(静定基，亦可解除左静定基，亦可解除左端转动约束，简化为简支梁端转动约束，简化为简支梁)，B端加上多出约束支座反力端加上多出约束支座反力 为为 及外载荷及外载荷F成相当系统成相当系统见图见图14.9(b)。现求解相当系统。现求解相当系统中未知多出约束反力中未知多出约束反力 。图14.9第16页解：在解：在 ，作用下，悬臂梁作用下，悬臂梁B端位移为端位移为 其中，其中，是因为是因为C处作用有外载引发处作用有外载引发B点在点在 方向位移方向位移见图见图14.9(c)，而，而 是支反力是支反力 引发引发B点在点在 方向位移方向位移见见图图14.9(d)。因原系统。因原系统B端是铰支座，在端是铰支座，在 方向上不应有位方向上不应有位移，与原系统比较知相当系统移，与原系统比较知相当系统B点位移应为零，故点位移应为零，故 (14-1)这就是变形几何方程或协调方程，为了得到一个补充方程这就是变形几何方程或协调方程，为了得到一个补充方程(补充独立平衡方程不足补充独立平衡方程不足)，在计算，在计算 时，可在静定基上时，可在静定基上 沿沿 方向作用单位力方向作用单位力见图见图14.9(e)，B点沿点沿 方向单位力方向单位力引发位移为引发位移为 ，对线弹性结构应有，对线弹性结构应有 第17页代入式代入式(14-1)有有 (14-2)表示式表示式(14-2)就称为正则方程，其中就称为正则方程，其中 ，与可用莫尔积与可用莫尔积分或其它方法求得。分或其它方法求得。,代入协调方程式代入协调方程式(14-2)可解得可解得 求得求得 后，则可解出相当系统全部内力、位移。此相当系后，则可解出相当系统全部内力、位移。此相当系统解即原系统解。统解即原系统解。第18页现在来总结一下解题步骤：现在来总结一下解题步骤：(1)分析超静定结构，画出基本静定系图，如图分析超静定结构，画出基本静定系图，如图14.9(b)所表示。所表示。(2)在静定基上分别画出已知力受力图，如图在静定基上分别画出已知力受力图，如图14.9(c)所所表示；与未知力方向对应单位力图，如图表示；与未知力方向对应单位力图，如图14.9(e)所表示。所表示。(3)计算计算 、。(4)求解求解 得未知约束反力得未知约束反力 。第19页【例【例14.2】刚架尺寸及受力如图刚架尺寸及受力如图14.10(a)所表示，若所表示，若F、EI均为已知，均为已知，试画刚架弯矩图。试画刚架弯矩图。图14.1第20页解：解：(1)基本静定系如图基本静定系如图14.10(b)所表示。所表示。(2)正则方程：正则方程：(3)计算计算 和和 BC段：段：AC段：段：第21页(4)画弯矩图。画弯矩图。画弯矩图以下所表示。画弯矩图以下所表示。第22页【例【例14.3】桁架尺寸、受力如图桁架尺寸、受力如图14.11(a)所表示，若所表示，若F、EA均为已知，均为已知，试求各杆内力。试求各杆内力。图14.11第23页解：解：(1)基本静定系如图基本静定系如图14.11(b)所表示。所表示。(2)正则方程：正则方程：。(3)计算计算 和和 。第24页【例【例14.4】梁抗弯度梁抗弯度EI，杆拉压刚度，杆拉压刚度EA为已知，为已知，计算截面，计算截面C挠度挠度 。图14.12第25页解：这里为了说明方便，将图解：这里为了说明方便，将图14.12中杆件编号为中杆件编号为，AB为梁。为梁。(1)基本静定系如图基本静定系如图14.12(b)所表示。所表示。(2)正则方程：正则方程：。(3)计算计算 和和 。因为因为所以所以第26页(4)计算截面计算截面C挠度。挠度。在静定基上在静定基上C点加一单位力，则点加一单位力，则 因为杆因为杆1已断开已断开 ；第27页若不停开杆若不停开杆1 ；梁中点受力梁中点受力 直接用简支梁公式直接用简支梁公式 第28页 可将上述思想推广到可将上述思想推广到n次静不定系统，如解除次静不定系统，如解除n个多出个多出约束后未知多出约束力为约束后未知多出约束力为 ，它们将引发，它们将引发 作用作用点对应位移为点对应位移为 ，而原系统因为，而原系统因为 与外载荷共同与外载荷共同作用对此位移限制为零作用对此位移限制为零(或已知或已知)，故有，故有(14-3)依据位移互等定理有依据位移互等定理有 (14-4)称为柔度因数，是称为柔度因数，是 引发引发 作用点作用点 方向上位移；方向上位移；是外载荷引发是外载荷引发 处对应位移。式处对应位移。式(14-3)称为静不定力法正则称为静不定力法正则方程，它们是对应于方程，它们是对应于n个多出未知力个多出未知力 变形协调条件，是求变形协调条件，是求解静不定问题补充方程。解静不定问题补充方程。第29页下面以图下面以图14.13为例说明各因数物理意义。为例说明各因数物理意义。图14.13第30页【例【例14.5】如图如图14.14(a)所表示为一静不定刚架，设刚架相同，求支所表示为一静不定刚架，设刚架相同，求支座反力。座反力。图14.14第31页解：如图解：如图14.14(a)所表示为三次静不定结构，解除所表示为三次静不定结构，解除B端约束，端约束，代之以多出约束反力代之以多出约束反力 ，图，图14.14(b)为相当系统，为相当系统，按式按式(12-3)，、均可用莫尔定理计算，即有均可用莫尔定理计算，即有 第32页将以上值代入式将以上值代入式(14-3)，整理后得，整理后得解此联立方程，求出解此联立方程，求出其中，负号表示其中，负号表示 与所设方向相反，应向下。求出多出约与所设方向相反，应向下。求出多出约束力，即求出了支座束力，即求出了支座B支座反力，深入即可作出内力图。支座反力，深入即可作出内力图。第33页 14.3 14.3 对称及对称性质利用对称及对称性质利用对称及对称性质利用对称及对称性质利用 利用结构上载荷对称或反对称性可使正则方程得到一些利用结构上载荷对称或反对称性可使正则方程得到一些简化。简化。结构几何尺寸、形状、构件材料及约束条件均对称于某结构几何尺寸、形状、构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构一轴，则称此结构为对称结构见图见图14.15(a)。当在对称结构上受力也对称于结构对称轴，则此结构将当在对称结构上受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形产生对称变形见图见图14.15(b)。如外力反对称于结构对称轴，。如外力反对称于结构对称轴，则结构将产生反对称变形则结构将产生反对称变形见图见图14.15(c)。与此相同，杆件内。与此相同，杆件内力也可分成对称和反对称。比如平面结构杆件横截面上普通力也可分成对称和反对称。比如平面结构杆件横截面上普通有剪切力、弯矩和轴向力即三个内力有剪切力、弯矩和轴向力即三个内力(见图见图14.16)。对所考查。对所考查截面来说弯矩截面来说弯矩M和轴向力和轴向力 是对称内力，剪切力是对称内力，剪切力 则是反对则是反对称内力。称内力。第34页图14.16图14.15 正确利用对称、反对称性质，则可推知一些未知量，可正确利用对称、反对称性质，则可推知一些未知量，可大大简化计算过程。如对称变形对称截面上大大简化计算过程。如对称变形对称截面上见图见图14.15(b)，反对称内力反对称内力 等于零或已知；反对称变形等于零或已知；反对称变形见图见图14.15(c)反对反对称截面上，对称内力称截面上，对称内力M为零或已知。为零或已知。第35页 14.3.1 14.3.1 对称问题对称问题对称问题对称问题 以图以图14.17(a)对称变形为例，切开结构对称截面，此为三对称变形为例，切开结构对称截面，此为三次超静定，应有三个多出未知力，即轴向力次超静定，应有三个多出未知力，即轴向力 ，剪切力，剪切力 与与弯矩弯矩 ，则可证实其反对称内力，则可证实其反对称内力 应为零，正则方程为应为零，正则方程为 图14.17第36页 用积分法计算用积分法计算 及及 时，所要用载荷弯矩图时，所要用载荷弯矩图 以以及及 =1，=1，=1时弯矩图分别见图时弯矩图分别见图14.17(b)、(c)、(d)、(e)，其中，其中 ，均对称于对称轴，而均对称于对称轴，而 反对称于对称反对称于对称轴。由莫尔积分知，对称函数与反对称函数相乘在区间积轴。由莫尔积分知，对称函数与反对称函数相乘在区间积分应为零，即有分应为零，即有 将此结果代入将此结果代入、，此时图，此时图14.17正则方程为正则方程为(14-5a)(14-5b)(14-5c)从式从式(14-5b)可知，可知，=0，在对称结构上受对称载荷作用时，在对称结构上受对称载荷作用时，在对称截面上，反对称内力等于零。以后在解题时可作在对称截面上，反对称内力等于零。以后在解题时可作为已知条件用。这就是说利用对称性可降低求解方程个为已知条件用。这就是说利用对称性可降低求解方程个数，这是讲解本节目标。数，这是讲解本节目标。第37页 14.3.2 14.3.2 反对称问题反对称问题 以图以图14.18(c)为例，在对称面切开后，其多出未知力也为例，在对称面切开后，其多出未知力也是是 ，与与 ，同上类似证实，其对称内力同上类似证实，其对称内力 与与 应等于应等于零，只需一个协调方程，即可解出零，只需一个协调方程，即可解出 ，即有，即有 图14.18第38页将此结果代入式将此结果代入式、，此时图，此时图14.18正则方程为正则方程为 由式由式(14-6b)得得 ，由式，由式(14-6a)、式、式(14-6c)得得 。在对称结构上受反对称载荷作用时，在对称截面上，对。在对称结构上受反对称载荷作用时，在对称截面上，对称内力等于零。同理以后在解题时可作为已知条件用。称内力等于零。同理以后在解题时可作为已知条件用。(14-6a)(14-6b)(14-6c)第39页 14.3.3 14.3.3 既非对称也非反对称问题既非对称也非反对称问题 对于一些载荷既非对称，也非反对称，可将它们化为对于一些载荷既非对称，也非反对称，可将它们化为对称和反对称两种情况叠加，如图对称和反对称两种情况叠加，如图14.19所表示。所表示。载荷作用在对称轴上情形以下。载荷作用在对称轴上情形以下。图14.19第40页【例【例14.6】如图如图14.20(a)所表示，所表示，AB为刚性杆受力为刚性杆受力F，求各杆内力。，求各杆内力。图14.20解：首先将图解：首先将图14.20(a)简化到图简化到图14.20(b)，这么就可将问题，这么就可将问题简化成对称和反对称问题。单独有力简化成对称和反对称问题。单独有力F作用时为对称问题，作用时为对称问题，单独有力偶单独有力偶M作用时为反对称问题。作用时为反对称问题。对称问题：对称问题：反对称问题：反对称问题：第41页【例【例14.7】已知抗弯刚度为已知抗弯刚度为EI，半径为，半径为R圆环，直径圆环，直径CD方向受一对方向受一对力力 F 见图见图14.21(a),求圆环内弯矩求圆环内弯矩 M。图14.21第42页解：解：(1)超静定次数：封闭圆环为三次超静定。在超静定次数：封闭圆环为三次超静定。在C处截开，处截开，则有三个多出未知力：弯矩，轴向力，剪切力。则有三个多出未知力：弯矩，轴向力，剪切力。(2)对称性：直径对称性：直径CD为一对称轴，对称截面为一对称轴，对称截面C上剪切力上剪切力为零，对称截面为零，对称截面D上弯矩和轴力与截面上弯矩和轴力与截面C上相等。由竖直方上相等。由竖直方向力平衡可得向力平衡可得 。故只有弯矩。故只有弯矩 未知未知见图见图14.21(c)。(3)依据对称性，选依据对称性，选1/4半圆环为静定基，作用于半圆环为静定基，作用于1/4圆圆环力如图环力如图14.21(c)所表示，则协调条件应是所表示，则协调条件应是D截面在截面在F及弯及弯矩矩 作用下转角作用下转角 应为零应为零(由对称性可知由对称性可知)，所以有，所以有 (4),计算。计算。静定基上施加外力静定基上施加外力F如图如图14.21(d)所表示，单位力偶如所表示，单位力偶如图图14.21(e)所表示，用莫尔定理求所表示，用莫尔定理求 与与 。由单位力偶引发弯矩由单位力偶引发弯矩 由外力引发弯矩由外力引发弯矩 第43页 故有故有 (5)求未知力求未知力 。由式由式 得得(6)圆环内弯矩圆环内弯矩M为为 第44页 12.4 12.4 连续梁及三弯矩方程连续梁及三弯矩方程连续梁及三弯矩方程连续梁及三弯矩方程 为减小跨度很大直梁弯曲变形和应力，常在其中间安置为减小跨度很大直梁弯曲变形和应力，常在其中间安置若干中间支座若干中间支座见图见图14.22(a)，在建筑、桥梁以及机械中常见，在建筑、桥梁以及机械中常见这类结构称为连续梁。撤去中间支座，该梁是两端铰支静定这类结构称为连续梁。撤去中间支座，该梁是两端铰支静定梁，所以中间支座就是其多出约束，有多少个中间支座，就梁，所以中间支座就是其多出约束，有多少个中间支座，就有多少个多出约束。中间支座数就是连续梁超静定次数。有多少个多出约束。中间支座数就是连续梁超静定次数。图14.22第45页 对连续梁采取下述记号：从左到右把支座依次编号为对连续梁采取下述记号：从左到右把支座依次编号为0，1，2，见图见图14.22(a)，把跨度依次编号为，把跨度依次编号为 ，。设全部支座在同一水平线上，并无不一样沉陷。且设只有设全部支座在同一水平线上，并无不一样沉陷。且设只有支座支座0为固定铰支座，其余皆为可动铰支座。这么，如梁只为固定铰支座，其余皆为可动铰支座。这么，如梁只有两端铰支座，它将是两端简支静定梁。于是增加一个中有两端铰支座，它将是两端简支静定梁。于是增加一个中间支座就增加了间支座就增加了1个多出约束静不定次数就等于中间支座个多出约束静不定次数就等于中间支座数目。数目。连续梁是超静定结构，静定基可有各种选择，假如选连续梁是超静定结构，静定基可有各种选择，假如选撤去中间支座为静定基，则因每个支座反力将对静定梁每撤去中间支座为静定基，则因每个支座反力将对静定梁每个中间支座位置上位移有影响，所以正则方程中每个方程个中间支座位置上位移有影响，所以正则方程中每个方程都将包含多出约束反力，使计算非常繁琐。都将包含多出约束反力，使计算非常繁琐。第46页图14.23第47页 假如构想将每个中间支座上梁切开假如构想将每个中间支座上梁切开见图见图14.23(a)，并装，并装上铰链，将连续梁变成若干个简支梁，每个简支梁都是一个上铰链，将连续梁变成若干个简支梁，每个简支梁都是一个静定基，这相当于把每个支座上梁内约束解除，即将其内力静定基，这相当于把每个支座上梁内约束解除，即将其内力弯矩弯矩 ，作为多出约束力作为多出约束力见图见图14.23(b)，则每个支座上方铰链两侧截面上需加上大小相等、，则每个支座上方铰链两侧截面上需加上大小相等、方向相反一对力偶矩，与其对应位移是两侧截面相对转角。方向相反一对力偶矩，与其对应位移是两侧截面相对转角。于是多出约束处变形协调条件是梁中间支座处两侧截面相对于是多出约束处变形协调条件是梁中间支座处两侧截面相对转角为零。如对中间任一支座转角为零。如对中间任一支座i来说来说见图见图14.23(a)，其变形，其变形协调条件为协调条件为 (14-7)方程式方程式(14-7)中只包括三个未知量中只包括三个未知量 ，。，及及 可用莫尔积分来求。可用莫尔积分来求。第48页 (1)求求 。静定基上只作用外载荷时。静定基上只作用外载荷时见图见图14.23(b)，跨，跨度度 上弯矩图为上弯矩图为 ，跨度，跨度 上弯矩图为上弯矩图为 见图见图14.23(c)。当当 时，跨度时，跨度 和和 内弯矩分别为内弯矩分别为 ,由莫尔积分得由莫尔积分得式中，式中，是外载单独作用下，跨度是外载单独作用下，跨度 内弯矩图微面内弯矩图微面积积见图见图14.23(c)，而，而 是弯矩图面积是弯矩图面积 对对 左侧静矩，左侧静矩，如以如以 表示跨度表示跨度 内弯矩图面积形心到左端距离，则内弯矩图面积形心到左端距离，则 。同理，。同理，表示外载荷单独作用下，跨度内弯矩图面积表示外载荷单独作用下，跨度内弯矩图面积 形心到右端距离，则形心到右端距离，则 。第49页 于是有于是有 式中，第一项可看作是跨度式中，第一项可看作是跨度 右端按逆时针方向转角，右端按逆时针方向转角，第二项看作跨度第二项看作跨度 按顺时针方向转角。两项和就是铰链按顺时针方向转角。两项和就是铰链 i 两侧截面在外载荷单独作用下相对转角。两侧截面在外载荷单独作用下相对转角。(2)，计算。计算。当当 n 支座铰链处作用有支座铰链处作用有 时，用莫尔积分有时，用莫尔积分有 而而 ，也可类似求得也可类似求得 第50页(3)三弯矩方程。三弯矩方程。将将 ，代入式代入式(14-7)得三弯矩方程得三弯矩方程 (14-8)式中，式中，i 代表任一支座，如代表任一支座，如 i=1，2，n，则可得到则可得到n个联立方程，解个中间支座多出力个联立方程，解个中间支座多出力 ，此，此 n 个联立方程中每个方程只包括三个多出力，求解比较方便。个联立方程中每个方程只包括三个多出力，求解比较方便。第51页【例【例14.8】如图如图14.24所表示左端所表示左端 z 为固定端，右端为自由端连续梁受为固定端，右端为自由端连续梁受力作用，其抗弯刚度为，试用三弯矩方程求解力作用，其抗弯刚度为，试用三弯矩方程求解B、C、D处处弯矩。弯矩。图14.24第52页解：为能应用三弯矩方程，将固定端视为跨度为无限小解：为能应用三弯矩方程，将固定端视为跨度为无限小 ()简支梁简支梁AB，而外伸端载荷可向支座，而外伸端载荷可向支座D简化，得一力简化，得一力F与弯与弯矩，原结构矩，原结构见图见图14.24(a)改变为图改变为图14.24(b)。将。将A、B、C、D四处支座处罚别用四处支座处罚别用0、1、2、3表示，则对表示，则对1、2两支座应用两支座应用三弯矩方程式三弯矩方程式(14.8)，并，并 将将 ，代入得代入得 得得 ,第53页 14-1 什么叫多出约束？选定多出约束标准是什么？怎样确什么叫多出约束？选定多出约束标准是什么？怎样确定超静定结构超静定次数？定超静定结构超静定次数？14-2 什么叫基本结构？它所要求满足唯一条件是什么？什么叫基本结构？它所要求满足唯一条件是什么？14-3 什么叫相当系统？在什么条件下，相当系统同原超静什么叫相当系统？在什么条件下，相当系统同原超静定系统完全等价？相当系统主要性质是什么？定系统完全等价？相当系统主要性质是什么？14-4 力法正则方程物理意义是什么？是否能够说力法实质力法正则方程物理意义是什么？是否能够说力法实质是叠加法？为何？是叠加法？为何？14-5 试举例说明力法正则方程中自由项和系数物理意义试举例说明力法正则方程中自由项和系数物理意义。14-6 试举例说明：对同一个超静定结构，能够取得几个不试举例说明：对同一个超静定结构，能够取得几个不一样基本结构。一样基本结构。14-7 对称结构受对称载荷时，在沿其对称轴所截取截面上对称结构受对称载荷时，在沿其对称轴所截取截面上内力和位移有何特点？受反对称载荷作用时，又有何特点？内力和位移有何特点？受反对称载荷作用时，又有何特点？怎样利用这些特点使计算得以简化？怎样利用这些特点使计算得以简化？14-8 什么叫内超静定？怎样区分外超静定结构和内超静定什么叫内超静定？怎样区分外超静定结构和内超静定结构？分析这两种问题方法有何异同？结构？分析这两种问题方法有何异同？思思 考考 题题第54页习习 题题 如图如图14.25所表示结构中梁所表示结构中梁ABC两端固定，在点两端固定，在点B刚好与圆刚好与圆环接触，圆环下方为光滑刚性平面。在图示载荷作用下，多环接触，圆环下方为光滑刚性平面。在图示载荷作用下，多出约束力个数有以下四种答案，试判断哪一个是正确。出约束力个数有以下四种答案，试判断哪一个是正确。(A)5个个 (B)6个个 (C)7个个 (D)8个个 图14.2514-1第55页14-2图14.26 如图如图14.26所表示结构中，已知载荷情况。这时利用对称所表示结构中，已知载荷情况。这时利用对称性或反对称性，结构未知约束力个数有以下四种答案，试性或反对称性，结构未知约束力个数有以下四种答案，试判断哪一个是正确。判断哪一个是正确。(A)2个个 (B)3个个 (C)4个个 (D)5个个第56页14-3图14.27 关于求解图关于求解图14.27(a)所表示超静定结构，解除多出约束有所表示超静定结构，解除多出约束有图图14.27(b)、(c)、(d)、(e)所表示四种选择，试判断以下结所表示四种选择，试判断以下结论中哪一个是正确。论中哪一个是正确。(A)(b)、(c)、(d)正确；正确；(B)(b)、(d)正确；正确；(C)(b)、(c)、(e)正确；正确；(D)(e)正确。正确。第57页14-4图14.28 正方形闭合框架，受力如图正方形闭合框架，受力如图14.28所表示。各杆含有相同所表示。各杆含有相同弯曲刚度弯曲刚度EI。关于截面。关于截面A上内力量有以下四种结论，试判上内力量有以下四种结论，试判断哪一个是正确。断哪一个是正确。(A)，；(B)，；(C)，；(D)，。第58页14-5图14.29超静定平面刚架承受载荷如图超静定平面刚架承受载荷如图14.29所表示。若忽略轴向所表示。若忽略轴向力和剪切力影响，试确定其约束力。力和剪切力影响，试确定其约束力。14-6如图如图14.30所表示钢架中，各杆弯曲刚度均为所表示钢架中，各杆弯曲刚度均为EI，且，且q、l、EI等为已知，试画出它们弯矩图。等为已知，试画出它们弯矩图。(a)(b)图14.30第59页14-7图14.31双铰圆拱半径为双铰圆拱半径为R，承受载荷如图，承受载荷如图14.31所表示，所表示，FP、R、EI等为已知。试求加力点等为已知。试求加力点C铅垂位移。铅垂位移。14-8如图如图14.32所表示闭合框架中，所表示闭合框架中，F、q、l、EI等为已知。试等为已知。试作弯矩图并画出框架变形后大致形状。作弯矩图并画出框架变形后大致形状。图14.32第60页14-9图14.34链环受力如图链环受力如图14.33所表示，链环杆直径所表示，链环杆直径d、F、R、d、E等等为已知。试求为已知。试求A、B两点相对位移两点相对位移(不考虑轴力影响不考虑轴力影响)。14-10试求如图试求如图14.34所表示超静定梁支反力。设固定端沿梁轴线所表示超静定梁支反力。设固定端沿梁轴线反力能够忽略。反力能够忽略。14-11如图如图14.35所表示杆系，各杆所表示杆系，各杆EA相等。试求各杆内力。相等。试求各杆内力。图14.33图14.35第61页14-12图14.36 如图如图14.36所表示结构，所表示结构，AB梁和梁和CD梁抗弯刚度均为梁抗弯刚度均为 ，两梁用长，两梁用长 、横截面面、横截面面 积积 钢杆钢杆连接，弹性模量连接，弹性模量 。若。若 ，试求，试求AB梁梁B点点挠度。挠度。第62页14-13图14.37试画出如图试画出如图14.37所表示梁剪力图和弯矩图。设所表示梁剪力图和弯矩图。设EI为常量为常量 第63页
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