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一微积分创建一微积分创建 Newton Newton、leibnizleibniz功劳功劳1 1微积分产生社会背景和数学渊源微积分产生社会背景和数学渊源 微积分诞生在微积分诞生在1717世纪，主要来自政治，经济世纪，主要来自政治，经济和社会发展对数学巨大推进。和社会发展对数学巨大推进。本章小结本章小结 第1页1616世纪，欧洲出现毛瑟枪和火枪世纪，欧洲出现毛瑟枪和火枪 运动学，动力学等研究运动学，动力学等研究1515世纪，商业、航海、天文、测量等日益繁荣世纪，商业、航海、天文、测量等日益繁荣 流体力学、天文学、几何光学、流体力学、天文学、几何光学、天文仪器发展天文仪器发展 数学家面临问题：数学家面临问题：求面积，求体积，求速度，求面积，求体积，求速度，求加速度，求行程等求加速度，求行程等古时中国古时中国刘徽刘徽、祖冲之祖冲之割圆术求割圆术求 和希腊和希腊阿基米德阿基米德等等穷竭法求圆面积等，出现了穷竭法求圆面积等，出现了极限极限和和无穷小思想无穷小思想。第2页1717世纪初，微积分铺垫和前期准备世纪初，微积分铺垫和前期准备 工程师工程师S.Stevin(1548-1620)S.Stevin(1548-1620)和意大利数学家和意大利数学家Valerio(1552-1618)Valerio(1552-1618)求水闸所受压力求水闸所受压力 积分思想萌芽积分思想萌芽 KeplerKepler第二行星定律中椭圆面积计算第二行星定律中椭圆面积计算微分学起源要比积分学起源晚得多微分学起源要比积分学起源晚得多 切线问题与极值问题切线问题与极值问题第3页2 2NewtonNewton和和leibnizleibniz功劳功劳 前期工作没有经过无穷小量分析来定义导数和前期工作没有经过无穷小量分析来定义导数和经过分割求和取极限来建立积分明确概念，更未给经过分割求和取极限来建立积分明确概念，更未给出二者之间联络。出二者之间联络。17 17世纪后半叶，世纪后半叶，Newton Newton 和和 Leibniz Leibniz 独立地独立地发觉了高等数学意义上微积分。发觉了高等数学意义上微积分。第4页 Issac Newton(1642-1727)Issac Newton(1642-1727)，英国大物理学家，英国大物理学家和数学家。和数学家。16421642年，伽利略逝世，年，伽利略逝世，NewtonNewton诞生在诞生在EnglandEngland一个农民家庭。一个农民家庭。1661 1661年年 Newton Newton 入剑桥大学三一学院，拜著名数入剑桥大学三一学院，拜著名数学家巴罗（学家巴罗（BarrowBarrow）为师，）为师，16691669年，巴罗宣告年，巴罗宣告Newton Newton 学识水平已超出自己，推荐学识水平已超出自己，推荐2727岁岁NewtonNewton代替自己任代替自己任“卢卡斯数学教授卢卡斯数学教授”。这是历史上有名巴罗让贤。这是历史上有名巴罗让贤。第5页 Newton Newton受巴罗受巴罗“巴罗微分三角形巴罗微分三角形”启发创造微积启发创造微积分，所以巴罗在微积分发展史上功不可没。分，所以巴罗在微积分发展史上功不可没。Newton Newton从从16651665年到年到16951695年，对微积分创造性结年，对微积分创造性结果为：果为：16651665，“正流数术正流数术”微分学；微分学；1666 1666，“反流数术反流数术”积分学；积分学；1666 1666，“流数简论流数简论”标志微积分诞生；标志微积分诞生；1669 1669，“分析学分析学”由今后人称以微积分为由今后人称以微积分为 主要内容学科为数学分析主要内容学科为数学分析 1671 1671，“流数法流数法”1687 1687，“自然哲学数学原理自然哲学数学原理”简称简称“原理原理”1691 1691，“求积术求积术”第6页NewtonNewton求导（流数）大约思想是：求导（流数）大约思想是：增量增量 与与 之比等于之比等于 现令增量消失，它们最终比为现令增量消失，它们最终比为 求求 流数流数 第7页这段话用今天微积分可改写成：这段话用今天微积分可改写成：然后令然后令 导数（流数）为导数（流数）为 Newton Newton结果受到一片欢呼和歌颂。结果受到一片欢呼和歌颂。1727 1727年，年，NewtonNewton因肺炎与痛风逝世。他遗留手因肺炎与痛风逝世。他遗留手稿中，仅数学部分就有稿中，仅数学部分就有50005000多页。多页。第8页 Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716),Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716),德国大数学家、哲学家。生于莱比锡一个书香门德国大数学家、哲学家。生于莱比锡一个书香门第，幼年表现出超常才智。第，幼年表现出超常才智。15 15岁考入莱比锡大学，岁考入莱比锡大学，16671667年获法学博士学年获法学博士学位，第二年任驻法大使，在巴黎生活了位，第二年任驻法大使，在巴黎生活了4 4年。年。20 20岁发表论组合艺术数学论文（使其成岁发表论组合艺术数学论文（使其成为为“数理逻辑奠基人之一数理逻辑奠基人之一”）。）。Leibniz Leibniz 很多重很多重大成就包含微积分都是在巴黎大成就包含微积分都是在巴黎4 4年中完成。年中完成。第9页第10页他在他在ParisParis主要结果主要结果：1675 1675年给出积分号年给出积分号“”“”，同年引入微分号，同年引入微分号“d”“d”1676 1676年给出公式年给出公式 ，1677 1677年，表述微积分基本定理：年，表述微积分基本定理：1684 1684，“求极大与极小值和求切线新方法求极大与极小值和求切线新方法”1686 1686，“深奥几何与不可分量无限分析深奥几何与不可分量无限分析”第11页3 3第二次数学危机与微积分第二次数学危机与微积分 发展和完善发展和完善 N-L N-L微积分逻辑基础不严密，尤其是在无穷小微积分逻辑基础不严密，尤其是在无穷小概念上混乱，引发不少科学家批评。概念上混乱，引发不少科学家批评。英国哲学家、牧师英国哲学家、牧师 G.Berkeley G.Berkeley（1685-17531685-1753）：）：分析学家，或致一位不信神数学家矛头直指牛分析学家，或致一位不信神数学家矛头直指牛顿流数法。顿流数法。Berkeley悖论 这就造成了这就造成了第二次数学危机第二次数学危机第12页 因为微积分方法和结论与实际是如此吻合，所因为微积分方法和结论与实际是如此吻合，所以即使基础不牢，人们还是愿意去用它，直到以即使基础不牢，人们还是愿意去用它，直到1919世世纪，才开始真正处理问题。纪，才开始真正处理问题。第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地意第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地意见是见是达朗贝尔达朗贝尔（DAlembertDAlembert）。但他未提供理论。）。但他未提供理论。后经后经 Lagrange Lagrange，BolzanoBolzano（捷克），（捷克），CauchyCauchy（分（分析学奠基人），析学奠基人），WeirstrassWeirstrass（法）等人努力，奠定了（法）等人努力，奠定了微积分严格基础，处理了第微积分严格基础，处理了第2 2次数学危机。次数学危机。第13页 Cauchy Cauchy贡献在于将微积分基础建立在极限基础贡献在于将微积分基础建立在极限基础上，上，WeirstrassWeirstrass贡献是建立了分析基础逻辑次序：贡献是建立了分析基础逻辑次序：实数系实数系极限论极限论微积分。微积分。第14页 微积分诞生含有划时代意义，是数学史上分水微积分诞生含有划时代意义，是数学史上分水岭和转折点，这个伟大创造产生，使得数学显著地岭和转折点，这个伟大创造产生，使得数学显著地不一样于从古希腊继承下来旧数学，旧数学是关于不一样于从古希腊继承下来旧数学，旧数学是关于常量数学，而新数学是关于变量数学；旧数学是静常量数学，而新数学是关于变量数学；旧数学是静态，新数学是动态，二者关系就象解剖学与生理学，态，新数学是动态，二者关系就象解剖学与生理学，前者研究死躯体，后者研究活身体，旧数学包括只前者研究死躯体，后者研究活身体，旧数学包括只是固定和有限，新数学包含了运动、改变和无限。是固定和有限，新数学包含了运动、改变和无限。第15页BarrowBarrowLeibnizLeibnizNewtonNewtonWeierstrassWeierstrassBolzanoBolzanoCauchyCauchy第16页二本章主要内容回顾二本章主要内容回顾 1 1 概念概念：数列、函数极限；导数概念与几何数列、函数极限；导数概念与几何及物理意义；积分概念与几何意义；微分。及物理意义；积分概念与几何意义；微分。2 2简单极限求法；两个主要极限。简单极限求法；两个主要极限。3 3基本求导法则；复合函数导数；函数单调基本求导法则；复合函数导数；函数单调性与极值，凹凸性，作图。性与极值，凹凸性，作图。4 4微分公式，利用微分作近似。微分公式，利用微分作近似。5 5积分简单计算，积分简单计算，N-LN-L公式；变上限积分；定公式；变上限积分；定积分应用。积分应用。第17页三、例题与练习三、例题与练习e.g.1 求极限求极限第18页e.g.2 求导数求导数e.g.3 求微分求微分第19页e.g.4 圆柱形工件直径圆柱形工件直径 ，长，长 ，现在工件侧面涂上一层厚现在工件侧面涂上一层厚 0.001cm 铜，问需要铜，问需要多少铜（铜密度为多少铜（铜密度为 )？e.g.6作出函数作出函数 图形图形e.g.5 求极值求极值第20页e.g.7 计算积分计算积分第21页e.g.8 已知曲线在任一点已知曲线在任一点 处切线斜率为处切线斜率为 ，又曲线经过点，又曲线经过点 ，求曲线，求曲线方程。方程。e.g.9设设 在在 上连续，上连续，求求 。并证实当。并证实当 时，时，第22页
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