3灰色模型GM(1-N)及其应用.doc

§3 灰色模型GM(1,N)及其应用

客观系统无论本征非灰，还是本征灰，一般都存在能量吸收、储存、释放等过程，加之生成数列一般都有较强的指数变化趋势，所以灰色系统理论指出用离散的随机数，经过生成变为随机性被显著削减的较有规律的生成数，这样便可以对变化过程做较长时间的描述，进而建立微分方程形式的模型。建模的实质是建立微分方程的系数。
设有个数列

对做累加生成，得到生成数列

我们将数列的时刻看作连续的变量，而将数列转而看成时间的函数。如果数列对的变化率产生影响，则可建立白化式微分方程
（1）
这个微分方程模型记为GM（1,N）。
方程（1）的参数列记为，再设，将方程（1）按差分法离散，可得到线性方程组，形如
（2）
按照最小二乘法，有
（3）
其中，利用两点滑动平均的思想，最终可得矩阵

求出后，微分方程（1）便确定了。
若，则方程组（2）的方程个数少于未知数的个数，此时，是奇异矩阵，我们无法利用（3）式得到，我们称这时的信息为贫信息。考虑到向量的元素实际上是各子因素对母因素影响大小的反映，因此，引入矩阵对做加权极小化。对未来发展趋势减弱的子因素加以较大的权，对有发展潜力的子因素加以较小的权，这样做可把未来的可能情形也考虑进来，使之更好地反映未来的实际情况。具体地，令

其中，若对的影响有减弱的趋势，则相应较大；反之，若对的影响有增加的趋势，则相应较小。此时，计算向量可采用下面的公式
（4）
下表为某地区1981—1985年各项指标的统计数据。
年 度
1981
1982
1983
1984
1985
工业总产值1
31013
33656
37390
51531
65231
发电量2
17128
17735
17227
18632
20343
未来受教育职工3
10748
12213
13853
15196
17979
物耗4
17865
19549
21584
29349
36117
技术水平5
0.968
0.985
0.945
1.091
1.183
滞销积累量6
20865
22834
26440
28573
33588
待业人数7
15149
16247
20226
31459
34603

由于本问题的未知数有7个，而故不能按式（3）建立GM（1,7）模型，而必须按贫信息方法（4）式估计。按这种方法最终得到GM（1,7）模型（过程略）为
从上式易知，2、4前的系数大，表明发电量和物耗对系统影响大；3、6是阻碍系统发展的因素；5、7无论是阻碍还是促进系统的发展，其作用皆不明显。