数学建模的概念和方法市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

教教 师师：冯冯 弢弢办公室办公室：机械机械楼楼 N202办公室电话办公室电话：51684410-202 Email:第1页参参考考教教材材第2页参参考考教教材材第3页1.数学建模概念和步骤数学建模概念和步骤 1.1.数学建模概念数学建模概念 1.2.数学建模步骤数学建模步骤 1.3.一个数学建模实例一个数学建模实例 1.4.数学模型分类数学模型分类 1.5.数学数学建模竞赛介绍建模竞赛介绍 第4页数学建模数学建模，简单简单地地讲就是用数学知识和方法去处讲就是用数学知识和方法去处理实际问题理实际问题.一个简单例一个简单例：甲乙两地相距甲乙两地相距750公里，船从甲到乙公里，船从甲到乙顺水航行要顺水航行要30 小时，从乙到甲逆水航行要小时，从乙到甲逆水航行要50 小时，小时，问船速、水速是多少？问船速、水速是多少？解解：设设 x 为为船速，船速，y 为为水速，有水速，有 (x+y)30=750 (x-y)50=750 解之解之 x=20，y=5.1.1 数学建模概念数学建模概念第5页原型原型:人们在现实世界中关心、研究、或从事生人们在现实世界中关心、研究、或从事生产、管理实际对象产、管理实际对象.模型模型:为了某个特定目标，将原型某一部分信息为了某个特定目标，将原型某一部分信息进行简缩、提炼而组成原型替换物进行简缩、提炼而组成原型替换物.模型能够有很多类型：模型能够有很多类型：直观模型、物理模型直观模型、物理模型、思、思维模型、符号模型、数学模型等维模型、符号模型、数学模型等.数学模型数学模型：由数字、字母或其它数学符号组成，由数字、字母或其它数学符号组成，描述实际对象数量规律数学公式、图形或算法描述实际对象数量规律数学公式、图形或算法计算机模拟计算机模拟，一个与数学模型有亲密关系数学模，一个与数学模型有亲密关系数学模拟拟.几个相关概念几个相关概念第6页现实对象信息现实对象信息数学模型数学模型数学模型解答数学模型解答现实对象解答现实对象解答求求解解解释解释验验证证基于合理假设基于合理假设经过数学语言来经过数学语言来“描述实际现象描述实际现象”“近似实际问题近似实际问题”建模目标是建模目标是处理实际问处理实际问题题,实践是实践是检验模型好检验模型好坏唯一标准坏唯一标准1.2 数学建模步骤数学建模步骤第7页另一个简单例另一个简单例：一个笼子装有鸡和兔若干只，已一个笼子装有鸡和兔若干只，已知它们共有知它们共有8个头和个头和22只脚，问该笼子中有多少只只脚，问该笼子中有多少只鸡和多少只兔？鸡和多少只兔？解解：设笼中有鸡：设笼中有鸡 x只，有兔只，有兔 y 只，有只，有 x+y=8 2x+4y=22 解之解之 x=5，y=3.第8页依据问题背景和建模目标做出假设依据问题背景和建模目标做出假设用字母表示要求未知量用字母表示要求未知量依据已知常识列出数学式或图形等依据已知常识列出数学式或图形等求出数学式子解答求出数学式子解答验证所得结果正确性验证所得结果正确性数学建模步骤：数学建模步骤：第9页模型准备模型准备 模型假设模型假设 模型组成模型组成 模型验证模型验证 模型分析模型分析 模型求解模型求解 模型应用模型应用数学建模步骤：数学建模步骤：第10页椅子能在不平地面上放稳吗椅子能在不平地面上放稳吗？把椅子往不平地面上一放，通常只把椅子往不平地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就稍挪动几次，就 能够使能够使四只脚同时四只脚同时着地着地，放稳了，放稳了.使用数学语言，解释这种现象！使用数学语言，解释这种现象！1.3 一个数学建模实例一个数学建模实例第11页模型假设模型假设:1、椅子有四条腿且四条腿一样长，椅子脚与、椅子有四条腿且四条腿一样长，椅子脚与地面接触能够视为一个点，四脚连线是正方地面接触能够视为一个点，四脚连线是正方形形(对椅子假设对椅子假设)2、地面高度是连续改变，沿任何方向都不出、地面高度是连续改变，沿任何方向都不出现间断，没有像台阶那样情况，即地面可视现间断，没有像台阶那样情况，即地面可视为数学上连续曲面为数学上连续曲面(对地面假设对地面假设)3、地面相对平坦，椅子放在地面上总最少能、地面相对平坦，椅子放在地面上总最少能够有三只脚同时着地（对椅子和地面之间关够有三只脚同时着地（对椅子和地面之间关系假设）系假设）第12页模型组成模型组成:首先首先 用变量表示用变量表示“椅子位置椅子位置”.正方形绕中心旋转恰好代表了椅子位置改变，正方形绕中心旋转恰好代表了椅子位置改变，于是能够用于是能够用旋转角度旋转角度这一变量表示这一变量表示“椅子位置椅子位置”.ABCD图中图中A、B、C、D为椅子四为椅子四只脚，坐标系原点选为椅子只脚，坐标系原点选为椅子中心，坐标轴选为其对角线中心，坐标轴选为其对角线.第13页模型组成模型组成:其次其次 用数学符号表示用数学符号表示“椅脚着地椅脚着地”.椅子在不一样位置时椅脚着地与地面距离不一样，椅子在不一样位置时椅脚着地与地面距离不一样，所以这个距离是椅子位置变量所以这个距离是椅子位置变量 函数函数.即使椅子有四只脚，因而有即使椅子有四只脚，因而有四个不一样距离，但因为正四个不一样距离，但因为正方形对称性，只要设两个距方形对称性，只要设两个距离就行了离就行了.记记 f()为为 A、C 两脚两脚与地面与地面距离之和；距离之和；g()为为 B、D 两脚两脚与地面距与地面距离之和离之和.ABCD第14页模型组成模型组成:f()：A、C两脚与地面距离之和；两脚与地面距离之和；g()：B、D两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和.f()0、g()0，都是，都是 连续函数连续函数(由假设由假设2)对任意对任意，有，有f()、g()中中最少有一个为最少有一个为0(由假设由假设3)不妨设当不妨设当 =0时，时，f()0、g()=0故此本问题归为证实以下数故此本问题归为证实以下数学命题：学命题：ABCD第15页数学命题数学命题(本问题数学模型本问题数学模型):已知已知 f()、g()都是关于都是关于 非非负负连续函数，假连续函数，假如如对任意对任意 ，都有，都有 f()g()=0，且且 f(0)0、g(0)=0，则，则存在存在 0，使使 f(0)=g(0)=0.模型求解模型求解:证实：证实：令令h()=f()-g(),由由 f(0)0，g(0)=0，有，有h(0)0.ABCD第16页因为因为h()是闭区间是闭区间0,/2上连续函数，必存在上连续函数，必存在 0 (0,/2),使使 h(0)=0，即存在即存在 0,使使 f(0)=g(0)=0.证实：证实：令令h()=f()-g(),由由 f(0)0，g(0)=0，有，有h(0)0.将椅子旋转将椅子旋转90，使得，使得对角线对角线AC与与BD交换交换,有有 f(/2)=0，g(/2)0,所以所以，h(/2)0.ABCD第17页思索题思索题长方形椅子结果还成立吗？长方形椅子结果还成立吗？第18页某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时抵达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路径下山，下午5时回到旅店.某乙说，甲必在两天中同一时刻经过路径中同一地点.为何？思索题思索题第19页1）按按模型模型表现特征分表现特征分：离散模型离散模型确定性模型确定性模型 线性模型线性模型单变量模型单变量模型连续模型连续模型随机性模型随机性模型 非线性模型非线性模型 多变量模型多变量模型2）按时间改变对模型影响分：）按时间改变对模型影响分：静态模型静态模型参数定常模型参数定常模型动态模型动态模型参数时变模型参数时变模型1.4 数学模型分类数学模型分类第20页3）按模型应用领域（或所属学科）分）按模型应用领域（或所属学科）分:人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等模型等.4）按建立模型数学方法（或所属数学分支）分）按建立模型数学方法（或所属数学分支）分:初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型图论模型、统计回归模型、数学规划模型、统计回归模型、数学规划模型等等.第21页5）按建模目分:描述模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等.6）按对模型结构了解程度分）按对模型结构了解程度分:白箱模型白箱模型：其内在机理相当清楚学科问题，包含力学、热学、电学等.灰箱模型灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚现象和问题，包含生态、气象、经济、交通等.黑箱模型黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚现象，如生命科学、社会科学等.第22页1983年，美国一些有识之士探讨组织一项应用数学年，美国一些有识之士探讨组织一项应用数学方面竞赛可能性方面竞赛可能性.经过论证、争论、争取资金等过经过论证、争论、争取资金等过程，程，1985年举行了美国第一届大学生数学建模竞赛年举行了美国第一届大学生数学建模竞赛,它由美国工业与应用数学学会和美国运筹学学会联它由美国工业与应用数学学会和美国运筹学学会联合主办合主办.从从1985年起，每年举行一届，时间定为每年二月某年起，每年举行一届，时间定为每年二月某个星期五到星期一举行个星期五到星期一举行.美国大学生数学建模竞赛欢迎其它国家大学组队参美国大学生数学建模竞赛欢迎其它国家大学组队参加，所以，某种意义上它已经是国际赛事了加，所以，某种意义上它已经是国际赛事了.http:/ 数学建模竞赛介绍数学建模竞赛介绍第23页中国大学生数学建模竞赛中国大学生数学建模竞赛 1992年中国工业与应用数学学会年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织开始组织 1994年起教育部高教司和年起教育部高教司和CSIAM共同举行共同举行(每年每年9月月)网址：网址：http:/ 奖励：全国一等奖奖励：全国一等奖(约约2%)、全国二等奖、全国二等奖(约约7%)，教育部高教司教育部高教司和和CSIAM共同签章共同签章 1999年起竞赛分为甲组年起竞赛分为甲组(本科本科)、乙组、乙组(高职高专组高职高专组)优异论文登载于第二年工程数学学报(前为数学实践与认识)第24页经过数学建模竞赛活动，提升学生利用数学经过数学建模竞赛活动，提升学生利用数学理论和方法、利用文件、计算机等工具分析理论和方法、利用文件、计算机等工具分析和处理实际问题能力，勉励学生踊跃参加课和处理实际问题能力，勉励学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，丰富校园学术气外科技活动，开拓知识面，丰富校园学术气氛，培养学生创新思维，合作精神氛，培养学生创新思维，合作精神.促进促进学学科交叉科交叉.数学建模竞赛宗旨数学建模竞赛宗旨第25页内容内容 赛题：工程、管理中经过简化实际问题赛题：工程、管理中经过简化实际问题 答卷：一篇包含问题分析、模型假设、建立、求答卷：一篇包含问题分析、模型假设、建立、求解解(通惯用计算机通惯用计算机)、结果分析和检验等论文、结果分析和检验等论文形式形式 3名大学生组队，在名大学生组队，在3天内完成通讯比赛天内完成通讯比赛 可使用任何材料可使用任何材料(图书图书/互联网互联网/软件等软件等)，但不，但不得与队外任何人讨论得与队外任何人讨论(包含上网讨论包含上网讨论)宗旨宗旨创新意识创新意识 团体精神团体精神 重在参加重在参加 公平竞争公平竞争标准标准假设合理性，建模创造性，结果假设合理性，建模创造性，结果正确性，表述清楚性。正确性，表述清楚性。数学建模竞赛内容与形式数学建模竞赛内容与形式第26页年份年份A题题B题题C题题D题题SARS传输露天矿生产车辆安排SARS传输抢渡长江抢渡长江奥运会暂时超市网点设计电力市场输电阻塞管理饮酒驾车饮酒驾车公务员招聘公务员招聘长江水质评价和预测DVD在线租赁在线租赁雨量预报方法评价DVD在线租在线租赁赁出版社资源配置艾滋病疗法评价和疗效预测易拉罐形状和尺寸最优设计煤矿瓦斯和煤尘监测与控制中国人口增加预测 乘公交，看奥乘公交，看奥运运手机手机“套餐套餐”优惠几何优惠几何 体能测试时体能测试时间安排间安排 数码相机定位数码相机定位高等教育收费高等教育收费标准探讨标准探讨地面搜索地面搜索NBA赛程分析与评价-数学建模竞赛题目第27页北京交通大学数学建模竞赛：北京交通大学数学建模竞赛：一年有一年有 4 次：次：校校内竞赛：每年内竞赛：每年5月下旬进行月下旬进行全国全国大学生建模竞赛：每年大学生建模竞赛：每年9月下月下 旬进行旬进行电工电工数学建模竞赛：每年数学建模竞赛：每年11月底进行月底进行美国大学生数学建模竞赛：每年美国大学生数学建模竞赛：每年2月进行月进行报名参赛时间：报名参赛时间：每年4月20日至5月27日，在学校数学建模网站上报名第28页思索题思索题 安全安全渡河问题渡河问题三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行二人，由他们自己划行.随从们密约，在河任一岸，一旦随从们密约，在河任一岸，一旦随从人数比商人多，就杀人越货随从人数比商人多，就杀人越货.不过怎样乘船渡河大不过怎样乘船渡河大权掌握在商人们手中权掌握在商人们手中.商人们怎样才能安全渡河呢？商人们怎样才能安全渡河呢？河河小船小船(至多至多2人人)第29页 模型假设：模型假设：问题已经理想化了！问题已经理想化了！模型组成：模型组成：xk:第第k次渡河前此岸商人数次渡河前此岸商人数yk:第第k次渡河前此岸随从数次渡河前此岸随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk):状态状态S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2S:允许状态集合允许状态集合第30页求求 dk D(k=1,2,n),使使 sk S,并并按按转移律转移律由由 s1=(3,3)抵达抵达 sn+1=(0,0).(当然当然 n 越小越好越小越好)故本问题归为求解以下数学问题故本问题归为求解以下数学问题：uk:第第k次渡船上商人数次渡船上商人数vk:第第k次渡船上随从数次渡船上随从数dk=(uk,vk):决议决议 D=(u,v)u+v=1,2:允许允许决议决议集集合合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk+(-1)k:状态转移律状态转移律第31页模型求解模型求解:第32页第33页第34页第35页第36页第37页第38页1234567891011结论结论：共有四种最正确方案，经过11次可安全过河.此作法可进行推广，有多名商人和随从时，利用计算机编程来实现.这是一个多步决议问题！这是一个多步决议问题！第39页思索题思索题 安全安全渡河渡河问题问题人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，每次只能人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，每次只能运载其中一物和人本身，而当人不在时，狗要吃鸡，运载其中一物和人本身，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃鸡要吃米米.问问人、狗、鸡、米怎样过河人、狗、鸡、米怎样过河？河河小船小船(至多至多1人人1物物)第40页