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第四章 点群及其应用 4.1 点群 一、几个基本概念： 点群的任一群元（正交变换），都保持系统至少有一点是不动的。 点群的群元（正交变换）没有平移。 点群描写系统的宏观对称性； 平移对称操作与微观对称性、空间群。二、正当转动点群及其非任意性（除球之外） 群元，m度轴（对称元素）m重极点（m-1个）、极点星（）设群中共有组极点星，则除单位元外，群的极点数满足 即 ， 其中 有 即 得到 = 2 或3组。 （1）= 2 ，即 即 得到 （注意 ） 记 ，得到两个极点星 （n，1）、（n，1） 这就是正当转动点群Cn群。 （2）= 3 ， 即 令 ，得到 ；代入，得到 分为两种情况 、3： （2-1） ，即 记，得到三个极点星 （2，n）、（2，n）、（n，2） 这就是正当转动点群Dn群。 （2-2） 代入 ，得到 这时 、4、5，对应的极点星和群：g=12： （2，6）、（3，4）、（3，4） 这就是正当转动点群T群； g=24： （2，12）、（3，8）、（4，6） 这就是正当转动点群O群； g=60： （2，30）、（3，20）、（5，12） 这就是正当转动点群P群。 正当转动点群：Cn、Dn、T、O、P 三、点群的分类： 第一类点群（正当转动点群） 第二类点群（含有非正当转动操作的点群） 晶体点群： 第一类晶体点群11个，第二类晶体点群21个，晶体点群共有32个。 4.2 晶体点群的对称操作及对称元素 晶体点群的对称操作：4类8种 （1）cn， （5种）（2）镜面反射（镜面反映）（3）中心反演 I （4）旋转反射（旋转反映）sn（只有s4） 对称操作之间的关系： （1）同轴的两个转动 （2）两个镜面的连续操作转动（转角 ） （3）（镜面）（转动 ）镜面（夹角 ） （4）C2vC2u Cw（转角 ，转轴） （5）可对易的对称操作 作业：1. 习题4. 1 2. 图示上述6对可对易的对称操作。 3. 习题4. 3 对称元素在对称操作下，不动的点、线（转轴）、面。 （1）对称元素之间的关系： 两镜面（夹角 ）之间的交线，必为一转轴； （镜面）+（n度转轴）共n个镜面； 两个2度轴（ ）垂直的n度轴； 2度轴+与之垂直的n度轴共n个2度轴。 （2）某些特殊的对称元素 主轴 等价轴、等价面 双向轴（定义，两个判定）（3）图示对称元素的方法 极射投影图（有主轴）4.3 晶体点群 4.3.1 32个晶体点群 附：可能的正多面体，只有5种：面心立方晶体的布里渊区（形状为截角八面体）体心立方晶体的布里渊区体心立方晶体布里渊区的形状名称？正十二面体？不是！形状称为菱形十二面体、或菱十二面体。体心立方晶体的布里渊区，形状被称为正十二面体的有：1 黄昆.固体物理学.人教,1979. 2 黄昆,韩汝琦.固体物理学.高教,1988.3 李冠告. 晶体结构几何学基础. 南开大学出版社,2000.110.正确的有：1 方俊鑫，陆栋. 固体物理学（上册）. 上海科学技术出版社，1980. 235.2 顾秉林,王喜坤.固体物理学.清华大学出版社,1989. 6263.4.3.2 32个点群的符号及所属晶系点群的符号：熊夫利符号 国际符号晶系：七类对称性、七种单胞坐标系4.4 点群的特征标表阿贝尔群的特征标表有16个点群是阿贝尔群Cn、Cnh、S2m、C2V、D2、D2h阿贝尔群：c = g，所有g个不可约表示都是1维的。每个不可约表示是一组数；这组数也就是该表示的特征标系。其中循环群有9个：Cn、C1h、S2m不仅c = g，而且群元的阶= g，Rg = E.对于循环群群元的阶= g，第个不可约表示为即 、例如：（1）C2=c2, E群：即 、（2）C4=c4, c42, c43, E群：、满足矩阵元的正交归一、完全性关系；满足特征标的正交归一、完全性关系。对于一般的阿贝尔群各群元的阶都是一个有限的整数，记为h，即 ，（注意）利用特征标的正交归一、完全性关系，适当地排列各群元的这些h个数。例如：C2h=E, c2, h, I 各群元的阶都是2，特征标均为1或 -1。按照特征标的正交归一、完全性关系，得到点群的特征标表1、记号说明：一维：A（主轴转动的）和B二维：E三维：T下脚标g（反演对称）和u（反演反对称）.例如：C2h2、基函数的变换性质例如：C2h、C2V3、时间反演对称性及其简并例如：C4- 12 -