求极限方法总结-全.doc

极限求解总结
1、极限运算法则
设,，则
(1)
(2)
(3)
2、函数极限与数列极限的关系
如果极限存在，为函数的定义域内任一收敛于的数列，且满足:,那么相应的函数值数列必收敛，且
3、定理
（1） 有限个无穷小的和也是无穷小；
（2） 有界函数与无穷小的乘积是无穷小；
4、推论
（1） 常数与无穷小的乘积是无穷小；
（2） 有限个无穷小的乘积也是无穷小;
（3） 如果存在，而c为常数，则
（4） 如果存在,而n是正整数，则
5、复合函数的极限运算法则
设函数是由函数与函数复合而成的，在点的某去心领域内有定义,若，且存在，当时，有，则
6、夹逼准则
如果
(1) 当(或〉M)时，
(2)
那么存在，且等于A
7、两个重要极限
（1）
（2）
8、求解极限的方法
（1）提取因式法
例题1、求极限
解：
例题2、求极限
解：
例题3、求极限
解：
（2）变量替换法（将不一般的变化趋势转化为普通的变化趋势）
例题1、
解：令

例题2、
解：令x=y+1
=
例题3、
解：令y=
=
(3）等价无穷小替换法

注:若原函数与x互为等价无穷小,则反函数也与x互为等价无穷小
例题1、
解：
例题2、
解:
例题3、
解：
例题4、
解：
例题5、
解：
令y=x-1
原式=
例题6、
解：令

型求极限
例题1、
解：解法一（等价无穷小)：

解法二（重要极限）：

（5)夹逼定理（主要适用于数列)
例题1、
解:
所以
推广：

例题2、
解：
1)
所以
2)
所以
例题3、
解：

所以
例题4、

所以
例题5、
解：

所以

(6）单调有界定理
例题1、
解：
单调递减
极限存在,记为A
由（*）求极限得:A=A
所以A=0
例题2、 求
解：

单调递增

所以
极限存在,记为L
时
例题3、
求极限
解：

当
当
所以 极限存在
时
注:单调性有时依赖于的选取
例题4、 求极限
解： （整体无单调性）

所以单调递减，同理，单调递增
有因为
故和均存在，分别记为A,B

即
解得 A=B=
所以
（7）泰勒公式法
例题1、设f有n阶连续导数

证明：
证明:
即

（8)洛必达法则
例题1、求
解:
例题2、求
解：
例题3、求
解：
例题4、求
解：
（9） 利用函数的图像 通过对求解极限方法的研究，我们对极限有了进一步的了解。极限方法是研究变量的一种基本方法,在以后的学习过程中，极限仍然起着重要的作用，因此学习、掌握极限是十分必要的。相信通过对极限的学习总结，我们在今后的学习中能更进一步。