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唯一性定理
蒋文佼（080320124）宋宝璋（080320125）夏世宇 (080320126)
李宝平 (080320127) 章文显 (080320129) 常 悦 (080320130)
1、试用唯一性定理证明：封闭导体壳内部的电场不受壳外电荷（包括壳外表面）的影响。
证：导体壳无论是用电势还是用总电量给定，壳的内外一般存在着四部分电荷。

如图所示，壳内外的电荷分布分别为 和 ，壳内、外表面 、 上各自的面电荷分布为 和 。壳内外的场是这四部分电荷共同激发的。
根据定理，首先写出壳内空间电势应满足的条件：
（一） ， 为壳内电荷分布。
（二）壳内表面上的边界条件是：上的总电量 （1）
其中 是壳内的总电量，是壳内区域的体积。在壳层内作一高斯面 后（如图中虚线所示），用高斯定理很容易证明（1）成立。
因此在给定 布后， 上边界条件也已经给定为 ，和导体壳本身是有电势还是用总电量给定无关。
根据唯一性定理，满足（一）、（二）的 就是解。由于（一）和（二）与壳外的 和 的电势并不唯一，可以差一个常数。当然当壳用电势 给定时， 上的边界条件就是 。所以壳内不但电场唯一，而且电势也是唯一。

2．如图，有一电势为的导体球壳，球心有一点电荷q，球壳内外半径分别为和。试用唯一性定理：
（一）判断是否球壳外空间的电势分布。
（二）求球壳内空间的电势分布
解：（一）首先必须找出球内外电势应满足的条件，他们是：
（a）
（b）球壳外表面上的边界条件，
（c）无穷远边界条件
若是解，根据唯一性定理，它必须满足以上三个条件。下面来检验：
方程已满足。
满足（c）。
S1的半径是R1代入 后， 所以它不满足上的边界条件，它不是球壳外空间的界，下面求正确的解。由上述可知，函数 同时满足方程和无穷远边界条件。A为待定常数，可由（b）定出。在面上
所以 。球壳外电势是
它和一半径为、电势为的导体球在球外所激发的势完全一样。
（二）先写出球壳内电势满足的条件
（a） （除球心外，没有点电荷）
（b）球壳内表面S2上的边界条件，
我们来凑一个同时满足（a）和（b）的解。先从满足方程出发，考虑对称性，它可以是 ，代入方程检验， 方程满足。
然后令（1）满足条件（b），，求出A，所以
可见，解题的第一步是弄清电势应满足的具体条件，第二步则是凑满足这些条件的解。 。
3、如图，有一气隙，它的长度是a。气隙两边是铁磁质（，且）。在y=a的面上，有自由面电流，（为一常量），y=0的面上，，求气隙中的磁标势。
解：本题可用磁标势。由题设有 （1）
由“静磁场的唯一性定理”知，需求出边界面y=0和y=a
上的的切向分量。

y
x

y=0处，令有 （2）
因为，有限，所以，
代入（2）后，有：
（3）

同理可得： （4）

设，代入（1）后得：
令 ，于是
有 （5）

为满足（3），必须有
为满足（4），取。有
比较上式两边，有，
所以
由（5）知，
所以
并且 y＝0面是一等磁势面。

镜象法 080320214~080320218
1、设在无限导体平面上，放一根均匀分布的无限长线电荷，密度为,并与导体平面平行，如下图所示，求空间各处电势。
[解：]若将该线电荷 分成无限个电荷元，每个线电荷元看成一个点电荷，则它们的象电荷也是是无限长电荷元，构成一个无限长线电荷，密度为，位于原电荷的镜象位置上，如图所示。因此观察点P的电势为

（）
在的区域，。
2、用镜象法求均匀电场中放一导体球的场分布，设球半径为。
[解：]均匀电场可用两个点电荷近似产生，不妨设有两个点电荷，
位于 处。
如左图，则在坐标原点附近的小区域内（其线度远小于），有一平行于的轴的近似均匀电场

（其中为方向的单位矢量）
现将一导体球置于此均匀电场中，球心在坐标原点，如图，由于导体球未接地，故球面上出现的感应电茶，应当用四个象电荷来取代，其中两个象电荷和分别位于和处；另外两个象电荷和均位于球心处，它们相互抵消，所以球外空间任一点p处的电势，只是由于位于处的象电荷，以及位于处的原电荷，分别产生的电势的迭加，即：

式中,将上式中前两项各提出因子，第三项和第四项各提出，并由，，略去和的项，然后再泰勒展开得

上式中第一项是均匀电场以原点O为参考点的电势，第二项是感应电荷所产生的电势，导体球面上感应电势面密度为

3、一线电荷密度为 的无限长带电直导线与半径为的无限长导体圆柱的轴线平行，直线到圆柱轴线的矩离为（），求圆柱外空间任一点的电位。
[解：]利用电象法，可以取一个截面，象电荷必然是平行于原线电荷的电荷线且位于带电线圆柱线之间，设镜象线电荷到轴线的距离为，带电密度为。
圆柱外空间任一点电势：

式中，分别表示原电荷、镜象电荷到观察点的距离。
在柱面上任一点，有：

另外有：
或

所以

联解上两式：
①，
②，
其中第二组解不合适，舍去。
于是。

镜像法 060330114宋威 15徐柳洲 16孙浩 17樊大斌 18甘元虎
1：一无穷大导体平面外有一电偶极矩为p的电偶极子。P 与导体平面平行，到导体表面距离为a，已知导体的电势为零。试求：（1）导体外的电场强度；（2）p受导体上电荷的作用力；（3）p与导体的相互作用能。
2：一无穷大导体平面外有一电偶极矩为p的电偶极子，p 到导体平面的距离为a，与导体表面法线的夹角为α。已知导体的电势为零，试求：p受到导体表面电荷的作用力。
3 ：真空中两条圆柱形无穷长平行直导线，横截面的半径分别为R1和R2，中心线相距d（d﹥R1+ R2）。试求他们间单位长度的电容。
4：真空中有一半径为R的导体球，球外有一电荷为q的点电荷，q到球心的距离为a（a﹥R），已知球的电势为零，试求：（1）球外的电势分布；（2）球面上电荷量的面密度；（3）q受球上电荷的作用力。
5：导体内有一半径为R的球形空腔，腔内充满电容率为ε的均匀电介质。现将电荷量为q的点电荷放在腔内离球心为a
（a﹤R）处，已知导体的电势为零。试求：（1）腔内任意一点p（r，θ）的电势；（2）腔壁上感应电荷量的面密度；（3）介质极化电荷量的密度和面密度。

电多极矩,磁多极矩：
060330101史晓佩 060330102沈珺琛
060330103杨群 060330104陆丽燕
1，如图1，q,-q,2q构成一带电体系。求体系的电多极矩及相应的电势。
解：按电多极矩定义作。为了避免混淆和丢失，先把点电荷编号，并写出它们的位矢。
,
由定义,总电量
电偶极矩
电四极矩可按分量定义求。

式中I可取1，2，3，
代入各量后

同理可求其它分量：其它分量为零。
该体系在远区的势，由
其中

=

在上式中已用了 代入

2，一长为L带有均匀线电荷密度的线段，它可以围绕它的中点O在纸面上转动。离O为处有一电量为q的点电荷。Oq联线与线段夹角是。假定，（1）在数量级（）到的范围内，求该体系的相互作用能。（2）求带电线段L所受到的力。
L
z
解：（1）求L在q处的电势。由于Q、都在原点，原点为源点，q处为场点，q的位矢是，如图：

r
O

代入：

（2）求带电线段L受到的力。由于是静电力，L和q各自所受的力等值异号。所以亦可求q受的力

=
3,有一电偶极矩为P的电偶极子，位于距无限大接地平面导体板a处，P的方向和板垂直，并指向离板方向。求它所受的力。
解：建立坐标系如图：（p>0）,它的位矢是。
将电偶极子看作距离极近的两点电荷构成的体系，由洛伦兹力公式，
由于
所以 (1)
其中是偶极子的位矢。
由镜像法知感应电荷在右半空间的电场，设镜像为，有,位矢

因为
所以
由(1)式得:

将,代入上式得:

4、有一个均匀磁化的截面为、长为的圆柱行磁铁，它的磁化强度矢量是，沿柱轴方向，求它在远区（>>）激发的磁感应。
解：以磁铁的中心为原点，令=。
利用矢势法解题。
在远区，磁铁相当于一个小电流圈。，是磁化面电流的大小。
==，分布在磁铁的侧面上。
电流圈的磁距 。
它在远区产生的矢势由：
磁偶极子的矢势=，

——080320205，06，07，08

y
x

1、如图，有一气隙，它的长度是a。气隙两边是铁磁质（，且）。在y=a的面上，有自由面电流，（为一常量），y=0的面上，，求气隙中的磁标势。
解：本题可用磁标势。由题设有 （1）
由“静磁场的唯一性定理”知，需求出边界面y=0和y=a

上的的切向分量。
y=0处，令有 （2）
因为，有限，所以，
代入（2）后，有：
（3）

同理可得： （4）

设，代入（1）后得：
令 ，于是
有 （5）

为满足（3），必须有
为满足（4），取。有
比较上式两边，有，
所以
由（5）知，
所以
并且 y＝0面是一等磁势面。

y
P
r
x()
R
O
φ
2、将一个半径为R、电容率为的无限长圆柱形均匀介质放入均匀外电场中，圆柱的轴线与垂直。试求介质极化电荷所产生的电势和电场强度。
解：以圆柱轴线上一点O为原点，轴线为z轴，取柱坐标系，使的方向为的方向，如图所示。
设介质极化电荷所产生的电势为。由于对称性，与z无关。因为没有自由电荷，满足拉普拉斯方程：
（1）
由于应是的以为周期的单值函数，因此上式的通解为
（2）
放入介质前，原来的电场为，其电势为 （3）
选r=0 处为电势零点，当r=0时，＝0；当时， 。
所以的形式如下：
介质内（）: （4）
介质外（）： （5）
于是介质内外的总电势便分别为：
（6）
（7）
边界条件为：在柱面上， （8）
（9）
将（6）、（7）两式分别代入（8）、（9）两式，经过计算，比较和的系数，便得：
（10）
将这些系数代入（4）、（5）两式，便得所求的电势为
（11）
（12）
所求的电场强度为：
（13）
（14）

a
x
z

P
-a
O

a
3、一无穷大导体平面外有一电偶极矩为的电偶极子，与导体平面平行，到导体表面的距离为a，如图所示。已知导体的电势为零。试求：（1）导体外的电场强度；（2）受导体上的电荷的作用力；（3）与导体的相互作用能。
解：（1）以导体表面为下x-y平面，穿过中心的导体表面外法线为z轴取坐标系如图。根据电像法，设想导体不存在，而在z=-a处有一个电偶极矩为的电偶极子，即可满足题给的边界条件：z=0处电势为零。便是的电像。因此，根据唯一性定理，z>0空间的电场便等于和它的电像所产生的电场的叠加。
根据电偶极子所产生的电场强度的矢量公式
（1）
得出P点的电场强度为

式中。因 （2）
故上式可写成
（3）
（2）、受导体上电荷的作用力等于它受像电偶极矩的作用力。根据在外电场中受力的公式，所受的力为
式中右端的符号表示，在对x求导后再取（的位矢）。
因
故得
式中代表导体表面外法线方向上的单位矢量。负号表明，所受的力指向导体表面。
（3）与导体的相互作用能等于与它的电像的相互作用能，即在处产生的电场强度为

在这电场中的电势能为
O
a

P
y

4、真空中有磁感强度为的均匀磁场，现将一无穷长的均匀介质圆柱放入这磁场中，圆柱的半径为a，磁导率为，轴线与垂直。试求各处的磁感应强度。
解：以圆柱轴线上任一点O为原点，圆柱轴线为z轴，的方向为的方向，取柱坐标系。因无自由电流，故存在磁标势，且满足拉普拉斯方程。由于轴对称，与z无关。
于是得 （1）
用分离变量法求解。令 （2）
代入（1）式便得 （3）
因应是的以为周期的函数，故取 （4）
式中n为整数。解得 （5）由于对称性，，故。
所以 （6）
将（4）式代入（3）式得 （7）
这是二阶欧勒方程，其解为 （8）
于是得（1）式的通解为 （9）
在柱内，时，有限，故， （10）
在柱外，时，（的磁标势），故
， （11）
r=a时，，比较两边的系数得：
（12）
又r=a时，的法向分量连续，，
即 （13）
将和代入上式计算，然后比较的系数得：
（14）
解（12）、（14）两式，得：
（15）
于是得 （16）
（17）
最后的所求的磁感强度为
（18）
（19）

电多极矩与磁多极矩 080320201、02、03、04
1．有一个均匀磁化的截面为，长为的圆柱形磁铁，它的磁化强度矢量是，沿柱轴方向。求它在远区激发的磁感应.
解：以磁铁的中心为原点，令=。
方法一：用矢势。
在远区，磁铁相当于一个小电流圈。=..是磁化面电荷的大小。
==.分布在磁铁的侧面上。
电流圈的磁矩==.它在远区产生的失势由

方法二：用磁标势。

面磁荷密度.由介质指向真空。取,上底面，总磁荷量。取，下底面，总磁荷量。
空间任一点的磁标势

由于，在远区，可认为磁铁是由正负点磁荷构成的一磁偶极子。仿照电偶极矩是。它产生的势是

注意到，。
2．一半径为r的带电圆环，总电量为，以环心O为原点，环的几何轴为轴（如图所示），环上单位长度的电荷量为

试求这圆环上电荷对环心的电偶极矩和电四极矩。
解：根据定义，所求的电偶极矩为

根据定义，所求的电四极矩的分量为

现在电荷都在z=0的平面上，故由上式知

故所求的电四极矩用矩阵表示为

O

3. 有一电偶极矩为的电偶极子, 位于距无限大接地平面导体板处处,的方向和板垂直 , 并指向离板方向.求它所受的力 .
解: 建立坐标系如图

由洛伦兹力公式,
,
又
)
其中是电偶极子的位矢.
本题中板上感应电荷产生的电场为外场.由电象法知感应电荷在右半空间的电场,
, 位矢 ,
而

将带入上式
4. 两个磁偶极子和位于同一平面内，固定不动，则可以在该平面内绕自己的中心自由转动；从到的位矢为，与的夹角为.设在平衡时与的夹角为,试求与的关系.
解: 相互作用能量为

当达到平衡时,
即

这便是所求的关系.

磁场矢势 080320111 080320110 080320109 080320113
1．Q均匀分布在半径为a的圆盘上，圆盘的厚度可忽略，当这圆盘以匀角速度绕它的几何轴旋转时，以盘心O为原点，旋转轴为极轴，取球坐标如图，求r处的P点所产生的失势的积分表达式。
x
z
y
p
O

解：在圆盘上取半径为和的环带，圆盘转动时，这环带的电流为：

由圆环电流产生的失势的公式为：

得此环带产生的失势为：

积分便得圆盘旋转时在处的P点所产生的失势的积分表达式为：

在处，上式的被积函数可由展开式取近似得：

把它代入得失势为：

还可以用圆盘电荷旋转时的磁距来表示，为

最后得到失势：

电磁场标势
080320105陈运锦 080320106马仁伟 080320108林 辉
1、半径为R的不带电导体球壳，放入均匀电场中，设想这球壳被垂直于的平面分割成两个半球壳。为了使这两个半球壳不致分开，需要加多大的外力？
解：这个导体球壳放入电场中后，外表面便感应出一层电荷，这电荷在电荷在电场中要受力。这个力便是使两个半球壳分开的力。为了使这两个半球壳不致分开，所加外力至少与这个大小相等，方向相反。下面先求解电场，然后求球壳上的感应电荷，再求感应电荷所受的力。
球壳外，电势φ满足拉普拉斯方程

∆φ=0

为简单起见，取球壳的电势为零，即r=R时候, φ=0，在离球壳很远的地方，电场应趋于，即r时, φrcosθ，于是得球壳外的电势解为：
φ
= -=3球壳外表面感应电荷量的面密度为：

元感应电荷所受的力等于它的电荷量乘以它所在处的电场强度。面电荷所处在的电场强度等于该面两边电场强度极限之和的一半，即
=1/2(+)
θ

_
R
+

式中 和 分别为从该面两边趋于改面上同一点时电场强度的极限值。在本题中，
=3 =0
故感应电荷所在处的电场强度为
=3/2
由此得出，带正电荷的半球壳上，感应电荷所受的合力的大小为
=()cosθ
=3(3/2) cosθ2 sinθdθ
=9/4
的方向与的方向相同，根据对称性可知，带负电荷的半球壳上，感应电荷所受的合力为=。
因此，要使这两个半球壳不分开，必须在它们上面分别加上大小相等而方向相反的外力，外力的作用线沿通过球心的 线并指向球心，力的大小至少应为9/4。
2、将一个半径为R、电容率为ε的无限长圆柱形均匀介质放入均匀外电场中，圆柱的轴线与垂直。试求介质极化点荷所产生的电势和电场强度。
解： 以圆柱轴线上一点O为原点，轴线为Z轴，取柱坐标系，使的方向为ф=0的方向，如下图所示。设介质极化电荷所产生的电势为。由于对称性， 与z无关。因为没有自由电荷， 满足拉普拉斯方程：

由于 应是 的以2 为周期的单值函数，因此上式的通解为

放入介质前，原来的电场为E其电势为

选r=0处为电势零点，当r=0时，；当时，。所以 的形式如下：
介质内（）：
1式
介质外（）：
2式
于是介质内外的总电势便分别为
3式
4式

边界条件为：在柱面上，
5式
6式
将3和4 式分别代入5和6式，经过计算，比较和的系数，便得 ：

将这些系数代入1和2式，便得所求的电势为

所求的电场强度为

P

r
O

a
3真空中有一半径为a的均匀磁化球，磁化强度为。试求它的磁标势和磁感强度。
解：以球心O为原点，方向为极轴，取球坐标系如图所示。因为没有自由电流，故，所以存在磁标势，使得。有因为，故知球内外的都满足拉普拉斯方程：
因在极轴上应有确定只值，故得上式的通解为

在球内，时，有限，故
在球外，时，，故
下面用边界条件定系数。当时，，故得 1式
当时，即，故有

比较两边的系数得
2式
3式
解1 2和3三式得

于是得所求的磁标势为
，
，
所求的磁感强度为