工程力学第六章答案-梁的变形.doc

第五章 梁的变形
测试练习
1. 判断改错题
5-1-1 梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角亦为零. （ ）
5—1-2 两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受荷栽相同,则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。 ( )
5—1-3 悬臂梁受力如图所示，若A点上作用的集中力P在AB段上作等效平移，则A截面的转角及挠度都不变。 （ )
A
B
P
题5-1-3图
A
P
B
题5-1-4图
C
5-1-4 图示均质等直杆（总重量为W）,放置在水平刚性平面上,若A端有一集中力P作用，使AC部分被提起，CB部分仍与刚性平面贴合，则在截面C上剪力和弯矩均为零。( ）
5-1—5 挠曲线近似微分方程不能用于求截面直梁的位移。 （ ）
5—1—6 等截面直梁在弯曲变形时，挠度曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。
（ )
5—1—7两简支梁的抗刚度EI及跨长2a均相同，受力如图所示，则两梁跨中截面的挠度不等而转角是相等的。 ( ）
5—1—8 简支梁在图示任意荷载作用下，截面C产生挠度和转角，若在跨中截面C又加上一个集中力偶M0作用，则梁的截面C的挠度要改变,而转角不变。 （ ）
A
B
C
P
q(x)
l/2
l/2
题5-1-8图
B
A
C
a
a
题5-1-7图
a
a
A
C
B
q
2q
q

5—1—9 一铸铁简支梁，在均布载荷作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力及变形均相同。 ( ）
5—1-10 图示变截面梁,当用积分法求挠曲线方程时，因弯矩方程有三个，则通常有6个积分常量。 （ ）
题5-1-9图
q
P
q
题5-1-10图

2．填空题
5-2-1 挠曲线近似微分方程 的近似性表现在和。
P1
a
P2
2a
题5-2-2图
5—2-2 已知图示二梁的抗弯度EI相同，若使二者自由端的挠度相等,则。
5-2—3 应用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是：。
5—2—4 在梁的变形中挠度和转角之间的关系是.
5-2—5 用积分法求图示的外伸梁（BD为拉杆）的挠曲线方程时,求解积分常量所用到的边界条件是，连续条件是。
5—2—6 用积分法求图示外伸梁的挠曲线方程时,求解积分常量所用到边界条件是，连续条件是。
5—2—7 图示结构为次超静定梁。
P
题5-2-7图
A
B
C
x
题5-2-6图
a
l
A
B
EA
D
P
l
l/2
x
y
题5-2-5图
C

5-2—8 纯弯曲梁段变形后的曲率与外力偶矩M的关系为,其变形曲线为曲线。
5—2—9 两根EI值相同、跨度之比为1：2的简支梁，当承受相同的均布荷载q作用时，它们的挠度之比为。
5-2—10 当梁上作用有均布荷载时，其挠曲线方程是x的次方程。梁上作用有集中力时，挠曲线方程是x的次方程。梁上作用有力偶矩时，挠曲线方程是x的次方程。
5—2—11 图示外伸梁，若AB段作用有均布荷载,BC段上无荷载，则AB段挠曲线方程是x的次方程；BC段挠曲线方程是x的次方程。
A
B
C
q
题5-2-11图

5—2-12 减小梁变形的主要途径有：，，。
5—2-13 已知梁的挠度曲线方程为,则该梁的弯矩方程为。
5-2—14 梁的变形中,挠度和截面弯矩M的关系是，挠度和截面剪力Q的关系是.
5—2-15 为使图示AB段的挠曲线为一直线，则x=.
5-2-16 要使图示简支梁的挠曲线的拐点位于距A端l/3处,则M1:M2=.
5-2-17 图示静定梁，其BD上无荷载作用，若已知B截面的挠度yB，则C截面的挠度yC=，D截面的转角θD=.
A
B
C
D
a
a
a
题5-2-17图
A
B
3l/2
l/3
M1
M2
题5-2-16图
A
B
C
D
P
a
l
x
题5-2-15图
P

3．选择题
5—3—1 简支梁长为l，跨度中点作用有集中力P,则梁的最大挠度f=( ） （EI=常量）
A. B。 C。 D.
5—3—2 悬臂梁长为l，梁上作用有均布荷载q，则自由端截面的挠度为。 （ )
A。 B。 C。 D。
5-3—3 两梁尺寸及材料均相同,而受力如图示，则两梁的
A． 弯矩相同，挠曲线形状不相同
B． 弯矩相同，挠曲线形状相同
C． 弯矩不相同,挠曲线形状不相同
D． 弯矩不相同，挠曲线形状相同
5-3-4 图示(a）、(b）两梁，长度、截面尺寸及约束均相同，图（a）梁的外力偶矩作用在C截面，图（b）梁的外力偶矩作用在B支座的右作侧，则两梁AB段的内力和弯曲变形的比较是 ( ）。
A.内力相同，变形不相同
B．内力及变形均相同
A
l
a
B
C
题5-3-4图
A
l
a
B
C
M0
M0
(a)
(b)
M0=Pl
l
P
l
题5-3-3图
C．内力及变形均不相同
D．内力不相同,变形相同
5—3-5 当用积分法求图示梁的挠度曲线方程时，在确定积分常量的四个条件中，除x=0，
θA=0;x=0,yA=0外,另两个条件是 （ ) 。
A．（yc）左=(yc）右，(θC)左=(θC)右
B．（yc）左=（yc）右,yB=0
C．yC=0，yB=0
D．yB=0，θC=0
5-3-6 图示简支梁在分布荷载q(x）=f（x）作用下，梁的挠度曲线方程为,其中，积分常量 （ ）。
A。 B。
C。 D.
A
q
C
M0
B
x
y
题5-3-5图
B
A
y
q(x)
题5-3-6图

5-3—7 挠曲线方程中的积分常梁主要反映了
A． 对近似微分方程误差的修正
B． 剪力对变形的影响
C． 约束条件对变形的影响
D． 梁的轴向位移对变形的影响
5—3-8 图示悬臂梁在B、C两截面上各承受一个力偶矩作用，两力偶矩大小相等,转向相反，使梁产生弯曲变形。B截面的变形为 （ ）。
M0
M0
B
C
题5-3-8图
A． B。
C． D。
5-3—9 图示简支梁受集中力作用,其最大挠度f发生在（ ）。
A．集中力作用处 B。跨中截面
C．转角为零处 D。转角最大处
5-3—10 两简支梁EI及l均相同,作用荷载如图所示。跨中截面C分别产生挠度yC和转角θC，则两梁C点的挠度及两梁C点的转角有 （ )。
A．θC相等，yC不相等 B。θC不相等,yC相等
C．θC和 都不相等 D。θC和yC都相等
A
B
C
2q
l
A
B
C
l
q
题5-3-10图

4．计算题
5-4—1 试画出图示各梁挠曲线的大致形状。
l/2
l/2
M0
M0
(a)
l/3
l/3
l/3
P
P
(c)
P
l/2
l/2
(f)
l
q
a
(b)

(d)
P
P
a
a
a
a
l/2
l/2
P
(e)
q
题5-4-1图

5—4—2 一简支梁承受图示分布荷载q=Kx2(K为已知），试求此梁的挠曲线方程（设EI=常量）。
5-4-3 已知图示梁的带积分常量的挠曲线方程为
试求方程中的积分常量。
5—4—4 试用叠加法求图示梁B点的挠度和转角。（EI=常量）
A
B
C
l/2
P=ql
l/2
q
题5-4-4图
A
B
C
l/2
l/2
q
题5-4-3图
y
x
B
q(x)=Kx2
A
y
x
题5-4-2图

5-4—5 外伸梁受图示荷载作用,试求C截面的挠度和A截面的转角.（EI=常量。)
5—4-6 矩形截面梁AB的抗弯刚度为EI，受力如图示。试问B端支座向上抬高Δ为多少时，梁的A截面的弯矩和C截面的弯矩绝对值相等。（材料的抗拉与抗压性能相同)
5-4—7 图示弯曲的钢板梁AB，截面为矩形，宽度为b，高度为h，钢板放在刚硬地面上时原有曲率半径为ρ，在两端受力P作用使其平直,则将有均布压力作用于刚硬地面C-C上。已知刚梁E（弹性模量），试求所需的P力及其在压平时梁内的最大正应力。
A
B
C
P
l/2
l/2
Δ
题5-4-6图
M0=ql2/2
A
B
C
l
l/2
题5-4-5图
题5-4-7图
l
C
P
P
C
δ

5—4—8 长度为l、抗弯刚度为EI的悬臂梁AB，受均布荷载q作用而弯曲时，与半径为r的刚性圆柱面接触，如图所示。试求当梁上某一段AC与刚性圆柱面在C点接触（假设C点与梁左端A的距离为x)时，B点的挠度.
5—4—9 单位长度重量为q、抗弯刚度为EI的矩形截面钢条，放置在水平刚性面上，刚条的一端伸出水平面一小段CD,如图所示。若伸出长度为a，试求刚条翘起而不与水平面接触的CD段的长度b.
A
B
C
q
l
l/2
Δ
题5-4-10图
A
B
C
D
a
b
题5-4-9图
x
C
q
r
题5-4-8图
A
B
5-4-10 超静定梁如图所示，AB段内作用有均布荷载q，当C支座向下沉陷时,试求梁的反力。
5—4-11 矩形截面悬臂梁如图所示，梁长为l，在沿其截面高度h承受非均匀加热，设梁顶部温度改变为t1，底部温度改变为t2,且t2〉t1.温度沿截面高度呈线形改变.材料的线膨胀系数为a，弹性模量为E,由于不均匀受热而使梁发生弯曲变形,当梁的悬臂端施加偶矩M0时,能使梁展直.问应施加多大的外力偶矩?
l
A
B
M0
b
h
t2
t1
题5-4-11图

8
5—4-12 悬臂梁AB和CD的自由端处用拉杆BC相连,受力如图所示，若AB梁和CD梁的抗弯刚度EI相等，试求在下列两种情况下C点的挠度。
(1) 当BC杆为刚性杆，即EA=时；
(2) 当BC杆长为，时。
A
B
C
P
D
l
l/2
l/2
l/2
EI
题5-4-12图
l/2
l/2
A
C
l
l/2
B
P
EI

5—4—13AB与BC两梁铰接于B，如图所示.已知两梁的抗弯度相等，P=40kN/m，，试求B点的约束力。
5-4-14 悬臂梁和简支梁材料和截面均相同。已知E及未受力前AB梁B点与CD梁中点之间的间隙Δ（垂直距离），如图所示，当受P力后AB梁在B点的挠度大于Δ,试求各梁的支座反力。
5—4-15 具有初始挠度的AB梁如图所示，梁的EI和l均为已知。当梁上作用有三角形分布荷载时(q0已知），梁便呈直线形状。试求梁的初始挠曲线方程.
q0
A
B
l
y
xx
题5-4-15图
A
B
C
P
q
4m
2m
2m
题5-4-13图
l
P
A
B
C
D
l/2
l/2
h
b
Δ

5—4—16 试根据对称性求图示梁的挠曲线方程。EI=常量
5-4—17 两端固定的等截面梁,梁上作用一外力偶矩M0 ,如图所示。欲使在固定端A的反力偶矩MA为零，则力偶矩M0应作用在梁上何位置？（即x =?）
A
C
M0
B
l
x
题5-4-17图
A
C
M0
B
l/2
题5-4-16图
l/2
题5-4-14图
题5-4-9解图

8

测试练习解答
1． 判断改错题
5-1—1×.挠度和转角不仅与弯矩有关，而且与边界位移条件也有关,例如，当悬臂梁自由端作用有集中力P时，自由端的M=0，但挠度和转角都是最大值.
5-1-2×.凡弹性变形均与材料的弹性模量值有关。
5-1—3√。外力在研究的梁段以外，用等效力系代替不影响研究段的内力及变形。
5-1—4×.在C截面上弯矩为零而剪力不为力零.
5—1—5×。可以用于变截面梁,只是分母中的Iz不同。
5—1—6×。根据可知曲率最大值应在M最大的截面处（EI=常量时）。
5—1-7√。若将2q分解成正对称和反对称两组，就可明显看出，在正对称的q作用下C点有挠度，转角等于零。
5—1-8×。在C截面加上一力偶矩后C截面的挠度不变，而转角改变.
5—1—9×。应力不同，变形相同。因为变形只与Iz有关,而T形截面无论┬是┴还是，其惯性矩Iz是相等的。而应力不仅与Iz有关而且还与ymax（上下边缘到中性轴的距离)有关，┬这种方法的最大拉应力比┴这种方法的最大拉应力要大。
5—1-10×弯矩方程式有三个，但积分时要分成四段,因截面改变处要分段。
2．填空题
5—2—1 忽略剪力Q的影响；
5—2—2 8。因，所以
5—2-3 小变形及材料为线弹性
5—2—4
5—2—5
5—2-6
5-2-7 二次
5-2-8 ；圆弧线
5-2-9 1:16。因
5-2-10 4;3；2
5-2-11 4；1
5-2-12 合理安排受力，减小M；减小l；加大EI
5—2-13
5-2-14
5—2—15 l—a
5—2—16 1/2
5—2—17
3．选择题
5—3—1A 5-3—2 C 5—3—3 A 5—3—4 B 5-3-5 B
5—3—6 D 5-3—7 C 5—3—8 D 5—3-9 C 5-3-10 B
4 计算题
5-4—2 梁的挠曲线方程为
（1） 求分布荷载的合力
求合力作用点到点的距离：
（2） 求反力：
（3） 列
（4） 代入中并积分,由边界条件确定
所以
5-4—3 （1）边界条件：
解出
，解出
（2）连续光滑条件：
解出
，解出
5—4—4 （1）只有q作用时，
（2)只有P=ql作用时：
（3）然后两者叠加：
5—4-5 （1）只有作用时，
(2）只有q作用时，( )
( ）
（3）叠加：
5—4—6 (1）将B约束解除，用反力RB代替。
(2）由A、C两截面的弯拒绝对值相等可列方程,解出
(3）在 P和作用下，求B点的挠度.
5—4—7 这是一个求变形和应力的综合题。
（1） 求压力P：依题意，当两端加上力P后使其平直且在C-C面上产生均布压力q，因此可以将其简化为两端铰支的简支梁，其反力均为P,C-C面上的均布压力。
（2） 简支梁在均布压力q作用下中点的挠度等于δ，，解出
(3)
5-4—8 当q=0时，AB梁上没有外力，梁轴线平直,A端曲率为零。当荷载q由0增加,到q0时，梁A端的弯矩为,A端曲率，即有
当 时，梁上某一段AC与刚性面接触，C点端曲率为
解得
(2） B点的挠度包括三部分，即
①（yB）1 为C点的挠度
② （yB）2为C点的转角引起B点的挠度
③(yB）3为CD段当作悬臂梁在q作用下B点的挠度
④ 以上三种挠度叠加，即为点B的挠度
5-4—9 由于AB段平直，所以B点的弯矩、转角及挠度均等于零。B点和C点与刚性平面接触,简化为铰支座，则BCD端简化为外伸臂梁。在该梁上作用有均布荷载q（自重）但要满足的条件，如图(a)所示.求θB时，可取BC为简支梁,而CD上的均布力向C点平移得一集中力qa和一力偶矩,如图(b）所示.根据θ=0的条件求解b,即
B
C
D
B
qa2/2
b
解出
5—4-10 这是一个在外力作用及有支座位移下的一次超静定问题.将C约束解除，用约束力RC代替，成为基本结构。变形协调条件是（向上）。
在q和RC共同作用下求出 ,并将其代入变形协调方程，解出，然后根据平衡方程求出RA、RB即 ， .
5—4—11 梁在不均匀温度的变化下,发生弯曲和伸长变形,由于t2〉t1，所以轴线以上伸长少,而轴线以下伸长大，使梁发生凸向下的弯曲变形，B点有向上的挠度,设为(ΔB) t 。在梁的自由端上作用力偶矩M0 后，能使变形展直，B点又回到原水平位置，设M0作用下B点的挠度为。由（ΔB） t=，变形条件可以解出M0值。其中，代入变形条件中解得.
5-4-12 （1）当杆BC的EA= 时，杆不变形，将BC杆切短，用RBC代替其约束,取基本结构。变形协调条件为yB=yc(↓） ，解出 .
（2）当 时，杆BC有伸长变形,同样将BC杆切段,用RBC 代替，取基本结构。这时的变形协调条件为 ，解出 。
5-4—13 这是一个二次超静定问题。若不计杆的轴向变形，则结构无水平约束力,将该问题简化为B铰只有一个垂直约束力为未知数的结构。在B铰处切断，用约束力RB代替，取出基本结构，并根据B点的变形协调条件建立补充方程(yB)AB=（yB）BC
代入变形协调方程求出R=8。75kN
5—4—14 因为AB梁点的挠度大于Δ，因此在P作用下AB梁与CD梁共同受力，成了一次超静定问题.若将两梁拆开，约束反力R分别作用在梁上，则成为基本结构。变形协调方程为
将 ，
代入变形协调方程解出，并由平衡条件求个梁的约束反力，
5—4-15 (1）将A端的约束反力用MA 、RA表示；
（2）列出弯矩方程
(3）代入挠曲线近似微分方程并积分；
（4）根据A端的位移边界条件求出 C=0,D=0 ；
（5)根据B端的边界条件，即 x=l时，M=0 （即 y”=0）;x=l时，yB=0解出 ；
(6)最后的出初始挠度曲线方程 .
5—4—16 结构为对称，而外力M0为反对称。若将结构取出一半（如取左边一半），则成为A端为固定端、C端为铰支座的单跨超静定梁。在C截面上作用有力偶矩，AC段的长度为。只要解出AC梁的挠度方程即可，CB段的挠度曲线与AC段组成反对称的挠度曲线，
.
5—4—17 若不计梁AB的轴向变形，这是一个二超静定问题.将A固定端解除用约束反力RA、MA=0，代替，并由A点的θA=0、y=0的变形条件建立两个补充方程,并令MA=0,求出.