讲义-数据的代表.doc

因材思教 楷书人生

思楷教育学生辅导讲义
第八章：数据的代表

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考点1:算术平均数
一、考点讲解：
二、经典例题与考题考题剖析
例1某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是______。

　　解：由一组数据的平均数定义知
　　实际平均数： = (x1+x2+……+x29+105)
　　求出的平均数: 错= (x1+x2+……+x29+15)
　　错—==-3
　　所以由此错误求出的平均数与实际平均数的差是-3。

　　提示：解此类题一定要对平均数的定义十分清楚。

　　例2：设两组数a1，a2，a3……an和b1，b2，b3……bn的平均数为和，那么新的一组数a1+b1,a2+b2,a3+b3……an+bn的平均数是 [　　 ］
　　A。（+）　　 B。 +　　 C。（+）　　 D。以上都不对

　　正解：根据平均数的定义应选（B)
【考题1－1】（2004、南山,3分）从鱼塘打捞草鱼240尾，从中任选9尾， 称得每尾的质量分另是1。5，
1.6，1。4,1．6，6。2,1.7，1.8,1。3．1.4(单位：kg），估计这240尾草鱼的总质量大约是（ )
A．300kg B、360kg C．36kg D、30kg
解：B 点拨：先求出样本中9尾鱼的平均质量,再乘以240．
【考题1－2】（2004、南宁，3分）期中考试后，学习小组长算出全组5位同学数学成绩的平均分为M,如果把M当成另一个同学的分数，与原来的5个分数一起，算出6个分数的平均值为N，那么M：N为（ ）
A、 B、1 C、 D、2
解:B．点拨：后来6位同学的平均成绩和原来5位同学的平均成绩相同．
三、针对性训练：( 分钟) 如图――
l．已知数据x1，x2，x3，的平均数是a，那么5 x1 +7，
5 x3 +7,5 x3 +7的平均数为（ ）
A．5a+7 B．a+7 C．7a D．5a
2．一组数据：4，－1,9，5，3，x的平均数是4，那么x等于（ ）
A、3 B．4 C．5 D．6
3．2004年5月16 日是世界第14 个助残日，这天某 校老师为本区的特殊教育中心捐款情况如下：
该校教师平均每人捐款约_______元（精确到1元）
4．北京是一个严重缺水的城市，为鼓励居民节约每
一滴水，某小区居委会表扬了100个节水模范用
户，4月份这10 0户节约用水情况如下表：
那么,4月份这100户平均每户节约用水______吨．
考点2:加权平均数
一、考点讲解:
1．权：各指标在总结果中所占的百分比称为每个指标获得的权重，权重越大，这个数据对这组数据影响越大．
2．加权平均数：各指标乘以相应的权重后所得平均数叫做加权平均数．
3．加权平均数公式：有n个数，其中x1 的权重为k1，x2的权重为k2…,km的权重为km(其中k1+ k2+ k3
…+ km=1)，则平均数:
二、经典例题与考题剖析：
例3 某学校要了解期末数学考试成绩，从考试卷中抽取部分试卷,其中有一人得100分，2人得95分，8人得90分，10人得80分，15人得70分。求这些同学的平均成绩.
　　分析：这个平均数是加权平均数。
【考题2－1】（2004、 太原,3分）某校把学生的纸笔测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按5 0％20 0％、30％的比例计人学期总评成绩，9 0分以上为优秀，甲、乙、丙三人的各项成绩如下表（单位:分），学期总评成绩优秀的是( )
A．甲 B．乙、丙 C．甲、乙 D．甲、丙
解：C 点拨：90×50%+83×20%+95×0%=90.1，
88×50%+90×20％+95×30%=90。5,
90×50％+88×20%+90×30%=89.6
三、针对性训练：( 10分钟) (答案：244 )
1．为了调查某一路口某时段的汽车流量，记录了10天同一时段通过该路口的汽车辆数,其中有2天是150辆，3天是145辆，5大是155辆，那么这10天在该时段通过该路口的汽车平均辆数为（ ）
A．145 B．150 C．151 D．155
2．某学习小组有9人，在一次数学竞赛中，得100分的有3人，得90分的有4人,得82分的有1 人，得77分的有1人，那么这个小组平均成绩为__分．
3．初中三年级共有四个班，在一次考试中，三（1）班51人,平均分87.5分；三（2)班共50人，平均分89．l分；三⑶共有48人,平均分88．2分;三⑷班共有53人，平均分90．5分．求初中三年级的平均分．
4．在思想品德评定中，个人自评占20％，小组评定占40％，班主任评定占40％，小明这三项得分分别为 8 0分、96分、94分；小亮这三项得分分别为96分、80分、94分，请你计算两人谁的综合得分高．
5．某风景区对5个旅游景点的门票价格进行调整，据统计,调价前后各景点的旅客人数基本不变，有关数据如下表所示：
（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变,平均日总收人持平，风景区是怎样计算的？
（2)另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收人相对于调价前，实际增加了9．4％，问游客是怎样计算的？
（3)你认为风景区和游客哪个说法较能反映实际情形？
考点3：中位数、众数
一、考点讲解：
1．众数:在一组数据中，出现次数最多的数叫做这组数据的众数，众数可能不止一个．
2．中位数：将一组数据接从小到大的顺序排列后，处在最中间或最中间两个数据的平均数叫做中位数． 平均数、中位数、众数都是描述一组数据集中趋势的特征数．
二、经典例题与考题剖析：
例4：选择题：
　　(1）已知一组数据为1，0，—3,2,—6，5,这组数据的中位数为 ［ 　　]
　　A．0 　　B．1 　　C．1。5 　　D．0。5
　　（2）已知一组数据为-3，6，-3，6,13，20，6,1，这组数据的众数是 ［　 　]
　　A．2 　　B．—3　　 C．6　　 D．3.5

　　分析：求一组数据的中位数，只需将数据由小到大排列起来,如果数据个数是奇数,中间一个即是，如果数据个数是偶数，中间两个数字的平均数就是中位数.
　　（1）将数据由小到大排列为—6，-3，0，1,2，5，中间两个数1和0的平均数为0。5，因此选D。
　　(2)数据6出现3次，数据—3出现2次,其余的数据都只出现1次，因此选择C。
　　说明：中位数不一定是这一组数据中的某一个数，当这组数据的个数是偶数时，是中间两个数的平均数.

　　例5：求下列数据的众数
　　（1)3,2,5，3，1，2，3
　　(2）5,2，1，5，3，5，2,2

　　分析:∵一组数据的众数不一定唯一，因此，如果一组数据中有几个数据重复的次数相同，并且次数是最高的,那么这几个数据都是这组数据的众数
　　解：
　　（1)众数是3 (2)众数是5和2
　　说明：众数是一组数据中，出现次数最多的数据,(1)中3出现了三次最多，所以众数是3，(2）中5,2这两个数据都出现了三次，是最高次数,所以数据5,2都是众数，即一组数据的众数不一定唯一.

　　例6：求下面这组数据的平均数、中位数、众数.
　　249 252 250 246 251 249 252 249
　　253 254 249 256 249 252 255 253

　　分析：通过观察发现,上面16个数据都在250左右波动，可将上面各数据同时减去250，转化为计算一组数值较小的新数据的平均数。

　　解:取a=250，原数据分别减去250,得到一组新数据：-1，2，0，-4,1,-1，2，—1，3，4，—1，6,-1，2，5，3
　　计算新数据的平均数:=(-1+2+0+…+3）=19=1.1875
　　原数据的平均数是:=+a=1.1875+250=251.1875
　　把这组数据从小到大排列:246，249，249，249，249,249，250，251，252，252，252，253，253，254，255，256最中间的两个数据是251，252。
　　中位数=（251+252）=251。5
　　在16个数据中,249出现了5次，出现的次数最多，所以这组数据的众数是249。

　　例7：某班四个小组的人数如下:10,10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数.
　　分析：根据求平均数公式可列出该数据组的平均数为(10+10+x+8）,中位数要先从小到大排列后才可求出,又不知道x的大小,就要分情况讨论，然后列方程求解。

　　解：平均数：=

(1）当x≤8时，原数据按从小到大排列为：x，8,10，10，其中位数为=9
　　若=9，则x=8
　　∴此时中位数为9
　　(2)当8<x≤10时，原数据按从小到大排列为：8，x,10，10，其中位数为
　　若=，则x=8，不在8〈x≦10范围内,也就是说x不可能在8<x≤10范围内
　　(3）当x≥10时，原数据按从小到大排列为：8,10，10,x其中位数为=10
　　若=10,则x=12
　　∴此时中位数是10
　　综上所述，这组数据的中位数是9或10

　　说明：分类讨论是数学中的重要思想方法，解题时一定要全面考虑，对可能出现的各种情况要逐个研究讨论。
【考题3－1】(2004、潍坊，2分）已知一组数据5，15,75，45，25，75，45，35，45,35那么40是这组数据的( ）
A．平均数但不是中位数 B．平均数也是中位数 C．众数 D．中位数但不是平均数
解：B 点拨：该组数据的平均数为40，中位数也为40,故选B．
【考题3－2】（2004、北碚，3分)某地连续九天的最高气温统计如下表，则这组数据的中位数与众数分别是( )
A．24，25 B．24．5，25
C．25，24 D．23．5,24
解：A 点拨:本组数据共9个，从小到大排列后第5 个数是24，
众数为25．
【考题3－3】（2004、南山,3分）为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查用么最终买什么水果，下面的调查数据最值得关注的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数D．加权平均数
解：C 点拨：因为吃哪种水果的人数多就买哪种水果，所以值得关注的是众数．
三、针对性训练:（ 10分钟) (答案：244 ）
1．某部队一位战士连续射靶5次，命中的环数如下：0，2，5，2,7那么这组数据的中位数和众数分别为（ )
A．2和2 B．2和5 C．2和7 D．5和7
2．某地区六月份某一周每天最高气温如下表：
则这一周的最高气温的中位数为____________
3．某鞋店卖了20双男鞋，统计结果如下:
请问在平均数、众数、中位数中，鞋店老板最关心的是
4．某公司员工的月工资如下：
⑴ 该公司员工月工资的中位数是_____，众数是____；
⑵ 该公司员工月工资的平均数是多少？
⑶ 用平均数还是用中位数和众数描述该公司员工月工资的一般水平比较恰当?
5．为了普及环保知识,增强环保意识，某中学组织了环保知识竞赛活动．初中三个年级根据初赛成绩分别选出了10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分为100分）如下表所示:
⑴ 请你填写下表:
⑵ 请从以下两个不同的角度对三个年级的决赛成绩进行分析:
① 从平均数和众数相结合看,分析哪个年级成绩好些；
② 从平均数和中位数相结合看,分析哪个年级成绩好些．
③ 如果在每个年级参加决赛的选手中分别选出3人参加决赛，你认为哪个年级的实力更强一些?并说明理由
《数据的代表》中考题集锦
一、选择题
1、（2009年齐齐哈尔市)一组数据4，5,6,7，7，8的中位数和众数分别是( )
A．7,7 B．7，6.5 C．5.5,7 D．6.5，7
2、（2009年深圳市）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么你估计该厂这20万件产品中合格品约为（ ）
A．1万件 B．19万件 C．15万件 D．20万件
3、(2009年泸州）在一次青年歌手大奖赛上，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5， 9.4， 9.6, 9。9， 9。3, 9。7，9。0，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数是
A．9。2 B．9.3 C．9。4 D．9.5
4、（2009仙桃）为了参加市中学生篮球运动会，一支校篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码的统计如下表所示，则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（ )．
A、25.6 26 B、26 25。5 C、26 26 D、25.5 25。5
5、(2009年台州市）数据1,2，2，3，5的众数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
6、某学习小组7个男同学的身高（单位：米）为：1。66、1。65、1。72、1.58、1.64、1.66、1.70，那么这组数据的众数为（ ） A．1.65 B．1.66 C．1.67 D．1.70
7、（2009烟台市）某校初一年级有六个班，一次测试后，分别求得各个班级学生成绩的平均数，它们不完全相同,下列说法正确的是（ )
A．全年级学生的平均成绩一定在这六个平均成绩的最小值与最大值之间
B．将六个平均成绩之和除以6,就得到全年级学生的平均成绩
C．这六个平均成绩的中位数就是全年级学生的平均成绩
D．这六个平均成绩的众数不可能是全年级学生的平均成绩
8、(2009年孝感）某一段时间,小芳测得连续五天的日最低气温后,整理得出下表（有两个数据被遮盖）．
日期
一
二
三
四
五
方差
平均气温
最低气温
1℃
－1℃
2℃
0℃
■
■
1℃
被遮盖的两个数据依次是
A．3℃，2 B．3℃， C．2℃，2 D．2℃,
9、（2009江西）某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：
年龄（单位：岁)
14
15
16
17
18
人数
1
4
3
2
2
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是( ）
A．　　　　B．　　　　C．　　　D．
10、（2009年天津市）为参加2009年“天津市初中毕业生升学体育考试”，小刚同学进行了刻苦的练习，在投掷实心球时,测得5次投掷的成绩（单位：m)为：8，8.5，9,8。5,9。2．这组数据的众数、中位数依次是（ ）
A．8。5,8。5　　B．8。5，9　　C．8。5，8。75　　D．8。64，９
11、（2009年清远）小明记录某社区七次参加“防甲型H1N1流感活动”的人数分别如下：33，32，32，31，32,28,26．这组数据的众数是（ ）
A．28 B．31 C．32 D．33
12、(2009年衢州）某班体育委员调查了本班46名同学一周的平均每天体育活动时间，并制作了如图所示的频数分布直方图，从直方图中可以看出，该班同学这一周平均每天体育活动时间的中位数和众数依次是
A．40分，40 分 B．50分，40分
C．50分，50 分 D．40分，50分
13、(2009年益阳市)益阳市某年6月上旬日最高气温如下表所示：
日 期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
最高气温（℃)
30
28
30
32
34
32
26
30
33
5
那么这10天的日最高气温的平均数和众数分别是
Ａ．32，30 Ｂ．31,30 Ｃ．32，32 Ｄ．30，30
14、(2009年长春）在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组7名同学捐款的金额（单位：元）分别为：6， 3，6，5，5，6，9．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．5，5 B．6,5 C．6,6 D．5，6
15、（2009年莆田）某班5位同学参加“改革开放30周年”系列活动的次数依次为,则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A． B． C． D．
16、(2009年本溪）某男子排球队20名队员的身高如下表：
身高（cm)
180
186
188
192
208
人数（个）
4
6
5
3
2
则此男子排球队20名队员的身高的众数和中位数分别是（ ）B
A．186cm，186cm B．186cm，187cm
C．208cm，188cm D．188cm,187cm
17、(2009年南充）已知一组数据2,1，，7，3,5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．5
18、（2009年重庆市江津区） 2009年6月12日某地区有五所中学参加中考的学生人数分别为：320，250,280，293，307，以上五个数据的中位数为( ）
A.320 B.293 C.250 D。290
19、（2009年北京市)某班派9名同学参加拔河比赛,他们的体重分别是（单位：千克）:这组数据的众数和中位数分别是
A B C D
20、（2009年达州）在一次环保知识问答中，一组学生成绩统计如下：
分数
50
60
70
80
90
100
人数
1
4
9
15
16
5
则该组学生成绩的中位数是
A．70 B. 75 C。 80 D。 85
21、(2009 黑龙江大兴安岭)一组数据4，5，6，7,7,8的中位数和众数分别是（ ）
A． 7， 7 B．7， 6。5 C． 5。5， 7 D．6。5， 7
22、（2009年郴州市）为了支援地震灾区学生,学校开展捐书活动，以下是某学习小组5名学生捐书的册数：3，9，3，7，8，则这组数据的中位数是（　　)
A．3 B． 7 C．8 D． 9
23、某校九年级学生参加体育测试,一组10人的引体向上成绩如下表:
完成引体向上的个数
7
8
9
10
人 数
1
1
3
5
这组同学引体向上个数的众数与中位数依次是( ）
A．9和10 B．9。5和10 C．10和9 D．10和9.5
24、(2009武汉)小明记录了今年元月份某五天的最低温度（单位：℃）：1,2，0，，，
这五天的最低温度的平均值是( ）
A．1 B．2 C．0 D．
25、（2009年陕西省)王老师为了了解本班学生课业负担情况，在班中随机调查了10名学生，他们每人上周平均每天完成家庭作业所用的时间分别是（单位：小时)：1。5，2，2,2,2。5，2。5,2。5，2.5,3,3。5．则这10个数据的平均数和众数分别是
A．2.4，2。5 B．2。4，2 C．2.5,2.5 D．2。5，2
26、（2009山西省太原市）学业考试体育测试结束后，某班体育委员将本班50名学生的测试成绩制成如下的统计表．这个班学生体育测试成绩的众数是（ ）
成绩（分)
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
人数（人）
1
1
2
4
5
6
5
8
10
6
2
A．30分 B．28分 C．25分 D．10人
27、(2009年铁岭市)数据21，21，21，25，26,27的众数、中位数分别是（ ）
A．21，23 B．21，21 C．23，21 D．21，25
28、（200绵阳）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的14名运动员成绩如下表所示：
成绩／m
1。50
1。61
1.66
1。70
1.75
1。78
人数
2
3
2
1
5
1
则这些运动员成绩的中位数是
A．1.66 B．1.67 C．1。68 D．1.75
二、填空题
1、（2009年滨州）数据1、5、6、5、6、5、6、6的众数是 ，中位数是 ，
2、（2009年杭州市）给出一组数据:23,22，25，23，27,25，23，则这组数据的中位数是___________;
3、（2009河池）已知一组数据1，a，3,6,7，它的平均数是4，这组数据的众数是　　　　　　　．
4、(2009年牡丹江市)已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是3，则这三个数分别为 ．
5、（2009年广州市)在某校举行的艺术节的文艺演出比赛中，九位评委给其中一个表演节目现场打出的分数如下：9。3，8。9,9。3，9.1，8。9，8.8，9.3，9.5，9。3，则这组数据的众数是________
6、（2009年广西梧州）一组数据为1,2，3,4，5，6，则这组数据的中位数是 ★ ．
7、（2009年广西钦州）附加题：一组数据1,2，3,它的平均数是_▲_．
8、(2009年包头)在综合实践课上，六名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5，7,3，，6，4；若这组数据的平均数是5,则这组数据的中位数是 件．
9、（2009肇庆)某校九年级（2）班（1）组女生的体重（单位：kg）为：38，40，35，36，65，42，
42，则这组数据的中位数是 ．
10、(2009年广州市)在某校举行的艺术节的文艺演出比赛中，九位评委给其中一个表演节目现场打出的分数如下：9。3，8.9，9。3,9.1，8。9，8。8,9.3，9.5,9。3，则这组数据的众数是________
11、（2009年河北）在一周内，小明坚持自测体温，每天3次．测量结果统计如下表：
体温(℃）
36。1
36.2
36.3
36。4
36.5
36.6
36。7
次 数
2
3
4
6
3
1
2
则这些体温的中位数是 ℃．
12、（09湖北宜昌）“爱心小组"的九位同学为灾区捐款，捐款金额分别为10，10,11，15，17,17，18，20，20 （单位:元)．那么这组数据的中位数是 ．
13、(2009 年佛山市）已知一组数据：11，15，13，12，15,15,16,15．令这组数据的众数为,中位数为，则　　　　　　（填“”、“”或“="）．
14、(2009年肇庆市）某校九年级（2）班（1）组女生的体重（单位：kg)为：38，40,35,36，65，42,
42,则这组数据的中位数是 ．
15、（2009年内蒙古包头）在综合实践课上,六名同学做的作品的数量(单位：件)分别是：5，7，3，，6，4；若这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是 件．
三、解答题
1、（2009年包头）某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩
甲
乙
丙
教学能力
85
73
73
科研能力
70
71
65
组织能力
64
72
84
（1）如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用,说明理由；
（2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．
2、（09湖南怀化）怀化市管辖13个县(市、区），2008年怀化市国民经济生产总值达到了亿元． 下表是2008年怀化市年各县(市、区)国民经济生产总值的统计表（单位：亿元）．
（1)计算怀化市2008年各县（市、区）国民经济生产总值的平均值（用四 舍五入法精确到0。0001）；
（2)求出各县（市、区）国民经济生产总值这组数据的中位数；
（3)上述平均值、中位数哪一个数更能说明怀化市各县（市、区）国民经济生产总值的水平？
县（市、区）
国民经济生产总值
鹤城区
101。3773
洪江区
17.0612
中方县
32。4279
沅陵县
70。5137
辰溪县
37.4963
溆浦县
55。9430
会同县
26。0289
麻阳县
23.4570
新晃县
19。1498
芷江县
35。7028
靖州县
27。7013
通道县
13。5767
洪江市
40。2122

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