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LINGO软件基本使用方法软件基本使用方法第1页内容提要内容提要1.LINGO入门入门2.在在LINGO中使用集合中使用集合3.运算符和函数运算符和函数4.LINGO主要菜单命令主要菜单命令5.LINGO命令窗口命令窗口 6.习题第2页1.LINGO入门入门1.LINGO入门入门2.在在LINGO中使用集合中使用集合3.运算符和函数运算符和函数4.LINGO主要菜单命令主要菜单命令5.LINGO命令窗口命令窗口 第3页LINGO软件主要特色软件主要特色两种命令模式两种命令模式Windows模式：模式：经过下拉式菜单命令驱动经过下拉式菜单命令驱动LINGO运运行（多数菜单命令有快捷键，惯用菜单命令有快捷按行（多数菜单命令有快捷键，惯用菜单命令有快捷按钮），图形界面，使用方便；钮），图形界面，使用方便；命令行命令行 模式：仅在命令窗口模式：仅在命令窗口(Command Window)下操下操作，经过输入行命令驱动作，经过输入行命令驱动LINGO运行运行。(这里主要介绍这种模式这里主要介绍这种模式)第4页从从LINDO LINDO 到到 LINGO LINGO如今如今 LINGO 功效增强，性能稳定，解答结果可靠。功效增强，性能稳定，解答结果可靠。与与LINDO相比，相比，LINGO 软件主要含有两大优点软件主要含有两大优点:内置建模语言，允许以简练、直观方式描述较大规内置建模语言，允许以简练、直观方式描述较大规模优化问题，所需数据能够以一定格式保留在独立模优化问题，所需数据能够以一定格式保留在独立文件中。文件中。除含有除含有LINDO全部功效外，还可用于求解非线性全部功效外，还可用于求解非线性规划问题，包含非线性整数规划问题规划问题，包含非线性整数规划问题;第5页LINGOLINGO界面界面LINGO软件主窗口（用户软件主窗口（用户界面），全部其它窗口都界面），全部其它窗口都在这个窗口之内。在这个窗口之内。模型窗口（模型窗口（Model Window），用于输入），用于输入LINGO优化模型（即优化模型（即LINGO程序）。程序）。状态行（最左边显状态行（最左边显示示“Ready”，表，表示示“准备就绪准备就绪”）当前时间当前时间 当前光标当前光标位置位置 第6页LINGOLINGO文件类型文件类型.LG4：LINGO格式模型文件，保留了模型窗口中所能格式模型文件，保留了模型窗口中所能够看到全部文本和其它对象及其格式信息；够看到全部文本和其它对象及其格式信息；.LNG：文本格式模型文件，不保留模型中格式信息：文本格式模型文件，不保留模型中格式信息（如字体、颜色、嵌入对象等）；（如字体、颜色、嵌入对象等）；.LDT：LINGO数据文件；数据文件；.LTF：LINGO命令脚本文件；命令脚本文件；.LGR：LINGO汇报文件；汇报文件；.LTX：LINDO格式模型文件；格式模型文件；.MPS：示：示MPS（数学规划系统）格式模型文件。（数学规划系统）格式模型文件。除除“LG4”文件外，文件外，另外几个格式文件都另外几个格式文件都是普通文本文件，能是普通文本文件，能够用任何文本编辑器够用任何文本编辑器打开和编辑。打开和编辑。第7页运行状态窗口运行状态窗口Variables（变量数量）：（变量数量）：变量总数（变量总数（Total）、）、非线性变量数（非线性变量数（Nonlinear）、）、整数变量数（整数变量数（Integer）。）。Constraints（约束数量）：（约束数量）：约束总数（约束总数（Total）、）、非线性约束个数非线性约束个数(Nonlinear)。Nonzeros（非零系数数量）：（非零系数数量）：总数（总数（Total）、）、非线性项系数个数非线性项系数个数(Nonlinear)。Generator Memory Used(K)(内存使用内存使用量量)Elapsed Runtime(hh:mm:ss)（求解花费时间）（求解花费时间）第8页运行状态窗口运行状态窗口求解求解器器(求求解程解程序序)状状态框态框当前模型类型当前模型类型:LP，QP，ILP，IQP，PILP，PIQP，NLP，INLP，PINLP（以（以I开头表示开头表示IP，以，以PI开头表示开头表示PIP）当前解状态当前解状态:Global Optimum,Local Optimum,Feasible,Infeasible“(不可行不可行),Unbounded“(无界无界),Interrupted“(中止中止),Undetermined“(未确定未确定)解目标函数值解目标函数值 当前约束不满足总量当前约束不满足总量(不是不满不是不满足约束个数足约束个数):实数（即使该值实数（即使该值=0，当前解也可能不可行，因为这，当前解也可能不可行，因为这个量中没有考虑用上下界命令形个量中没有考虑用上下界命令形式给出约束）式给出约束）当前为止迭当前为止迭代次数代次数 第9页运行状态窗口运行状态窗口扩展扩展求解求解器器(求求解程解程序序)状态状态框框使用特殊求解程序使用特殊求解程序:B-and-B(分枝定界算法分枝定界算法)Global(全局最优求解程序全局最优求解程序)Multistart(用多个初始点求解程序用多个初始点求解程序)当前为止找到可行解当前为止找到可行解最正确目标函数值最正确目标函数值 目标函数值界目标函数值界 特殊求解程序当前运行步数：特殊求解程序当前运行步数：分枝数分枝数(对对B-and-B程序程序)；子问题数子问题数(对对Global程序程序)；初始点数初始点数(对对Multistart程序程序)有效步数有效步数 第10页注：凡是能够从一个约束直接解出变量取值时，这个注：凡是能够从一个约束直接解出变量取值时，这个变量就不认为是决议变量而是固定变量，不列入统计变量就不认为是决议变量而是固定变量，不列入统计中；只含有固定变量约束也不列入约束统计中。中；只含有固定变量约束也不列入约束统计中。运行状态窗口运行状态窗口第11页一个简单一个简单LINGO程序程序例例 直接用LINGO来解以下二次规划问题：输入窗口以下：输入窗口以下：第12页程序语句输入备注：程序语句输入备注：LINGO总是依据总是依据“MAX=”或或“MIN=”寻找目标函数，寻找目标函数，而除注释语句和而除注释语句和TITLE语句外其它语句都是约束条件，语句外其它语句都是约束条件，所以语句次序并不主要所以语句次序并不主要。限定变量取整数值语句为限定变量取整数值语句为“GIN(X1)”和和“GIN(X2)”，不能够写成，不能够写成“GIN(2)”，不然，不然LINGO将把这个模型看成没有整数变量。将把这个模型看成没有整数变量。LINGO中函数一律需要以中函数一律需要以“”开头，其中整型变量开头，其中整型变量函数（函数（BIN、GIN）和上下界限定函数（）和上下界限定函数（FREE、BND(L,X,U)）。而且）。而且0/1变量函数是变量函数是BIN函数。函数。第13页输出结果：输出结果：运行菜单命令运行菜单命令“LINGO|Solve”最优整数解最优整数解X=(35，65)最大利润最大利润=11077.5 第14页输出结果备注：输出结果备注：经过菜单“WINDOW|Status Window”看到状态窗口，可看到最正确目标值“Best Obj”与问题上界“Obj Bound”已经是一样，当前解最大利润与这两个值非常靠近，是计算误差引发。假如采取全局最优求解程序(后面介绍)，能够验证它就是全局最优解。LINGO是将它作为PINLP(纯整数非线性规划)来求解，所以找到是局部最优解。第15页一个简单一个简单LINGO程序程序LINGO基本使用方法几点注意事项基本使用方法几点注意事项 LINGO中不区分大小写字母；变量和行名能够超出8个字符，但不能超出32个字符，且必须以字母开头。用LINGO解优化模型时已假定全部变量非负(除非用限定变量取值范围函数free或BND另行说明)。变量能够放在约束条件右端(同时数字也可放在约束条件左端)。但为了提升LINGO求解时效率，应尽可能采取线性表示式定义目标和约束(假如可能话)。语句是组成LINGO模型基本单位,每个语句都以分号结尾，编写程序时应注意模型可读性。比如：一行只写一个语句，按照语句之间嵌套关系对语句安排适当缩进，增强层次感。以感叹号开始是说明语句(说明语句也需要以分号结束)）。第16页2.在在LINGO中使用集合中使用集合 1.LINGO入门入门2.在在LINGO中使用集合中使用集合3.运算符和函数运算符和函数4.LINGO主要菜单命令主要菜单命令5.LINGO命令窗口命令窗口 6.习题第17页集合基本使用方法和集合基本使用方法和LINGO模型基本要素模型基本要素 了解了解LINGO建模语言最主要是了解集合（建模语言最主要是了解集合（Set）及其属）及其属性（性（Attribute）概念。）概念。例例 SAILCO企业需要决定下四个季度帆船生产量。下四个季度帆船需求量分企业需要决定下四个季度帆船生产量。下四个季度帆船需求量分别是别是40条，条，60条，条，75条，条，25条，这些需求必须按时满足。每个季度正常生产能条，这些需求必须按时满足。每个季度正常生产能力是力是40条帆船，每条船生产费用为条帆船，每条船生产费用为400美元。假如加班生产，每条船生产费用美元。假如加班生产，每条船生产费用为为450美元。每个季度末，每条船库存费用为美元。每个季度末，每条船库存费用为20美元。假定生产提前期为美元。假定生产提前期为0，初，初始库存为始库存为10条船。怎样安排生产可使总费用最小？条船。怎样安排生产可使总费用最小？用用DEM,RP,OP,INV分别表示需求量、正常生产产量、分别表示需求量、正常生产产量、加班生产产量、库存量，则加班生产产量、库存量，则DEM,RP,OP,INV对每个季对每个季度都应该有一个对应值，也就说他们都应该是一个由度都应该有一个对应值，也就说他们都应该是一个由4个元素组成数组，其中个元素组成数组，其中DEM是已知，而是已知，而RP,OP,INV是是未知数。未知数。第18页问题模型问题模型(能够看出是能够看出是LP模型模型)目标函数是全部费用和目标函数是全部费用和 约束条件主要有两个：约束条件主要有两个：1）能力限制：）能力限制：2）产品数量平衡方程：）产品数量平衡方程：加上变量非负约束加上变量非负约束第19页注：注：LINDO中没有数组，只能对每个季度分别定义变量，如正常产量就要有RP1，RP2，RP3，RP4 4个变量等。写起来就比较麻烦，尤其是更多(如1000个季度)时候。记四个季度组成集合QUARTERS=1，2，3，4，它们就是上面数组下标集合，而数组DEM,RP,OP,INV对集合QUARTERS中每个元素1，2，3，4分别对应于一个值。LINGO正是充分利用了这种数组及其下标关系，引入了“集合”及其“属性”概念，把QUARTERS=1，2，3，4称为集合，把DEM,RP,OP,INV称为该集合属性(即定义在该集合上属性)。第20页QUARTERS集合属性DEM RPOP INVQUARTERS集合2341 集合及其属性集合及其属性 第21页集合元素及集合属性确定全部变量集合元素及集合属性确定全部变量集合QUARTERS元素1234定义在集合QUARTERS上属性DEMDEM(1)DEM(2)DEM(3)DEM(4)RPRP(1)RP(2)RP(3)RP(4)OPOP(1)OP(2)OP(3)OP(4)INVINV(1)INV(2)INV(3)INV(4)第22页LINGO中定义集合及其属性中定义集合及其属性 LP模型在模型在LINGO中一个经典输入方式中一个经典输入方式 以以“MODEL：”开始开始 以以“END”结结束束集合定义部分从集合定义部分从(“SETS：”到到“ENDSETS”)：定：定义集合及其属性义集合及其属性集合定义部分从集合定义部分从(“DATA：”到到“ENDDATA”)给出优化目标给出优化目标和约束和约束 第23页目标函数定义方式目标函数定义方式SUM(集合（下标）：关于集合属性表示式集合（下标）：关于集合属性表示式)对语句中冒号对语句中冒号“：”后面表示式，按照后面表示式，按照“：”前面前面集合指定下标（元素）进行求和。集合指定下标（元素）进行求和。本例中目标函数也能够等价地写成本例中目标函数也能够等价地写成SUM(QUARTERS(i):400*RP(i)+450*OP(i)+20*INV(i)，“SUM”相当于求和符号相当于求和符号“”，因为本例中目标函数对集合因为本例中目标函数对集合QUARTERS全部元素全部元素(下标下标)都要求和，所以能够将下标都要求和，所以能够将下标i省去。省去。第24页约束定义方式约束定义方式循环函数循环函数FOR(集合集合(下标下标)：关于集合属性约束关系式：关于集合属性约束关系式)对冒号对冒号“：”前面集合每个元素（下标），冒号前面集合每个元素（下标），冒号“：”后面约束关系式都要成立后面约束关系式都要成立 本例中，每个季度正常生产能力是本例中，每个季度正常生产能力是40条帆船，这正是语条帆船，这正是语句句“FOR(QUARTERS(I):RP(I)40);”含义。含义。因为对全部元素因为对全部元素(下标下标I),约束形式是一样，所以也能够约束形式是一样，所以也能够像上面定义目标函数时一样，将下标像上面定义目标函数时一样，将下标i省去，省去，这个语句能够简化成这个语句能够简化成“FOR(QUARTERS:RP1；“#GT#”是逻辑运算符号，意思是是逻辑运算符号，意思是“大于（大于（Greater Than字首字母缩写）字首字母缩写）”。约束定义方式约束定义方式第26页问题求解：运行菜单命令问题求解：运行菜单命令“LINGO|Solve”全局最优解全局最优解RP=(40,40,40,25),OP=(0,10,35,0)最小成本最小成本=78450 第27页注：注：因为输入中没有给出行名，所以行名是系统自动按照行号因为输入中没有给出行名，所以行名是系统自动按照行号1-9生成。生成。选择菜单命令选择菜单命令“LINGO|Generate|Disply model（Ctrl+G）”，能够得到展开形式模型，能够得到展开形式模型(如图如图)，能够看到完整模型，也能确，能够看到完整模型，也能确定行号定行号(行号放在方括号行号放在方括号“”中，且数字前面带有下划线中，且数字前面带有下划线“_”)。最好在输入模型时用户主动设定约束行名最好在输入模型时用户主动设定约束行名(即约束名即约束名)，使程，使程序清楚些。单一约束行名设置方法就是将行名放在方括号序清楚些。单一约束行名设置方法就是将行名放在方括号“”中，置于约束之前。中，置于约束之前。后面将结合详细例子介绍在使用集合情况下怎样设置行名。后面将结合详细例子介绍在使用集合情况下怎样设置行名。第28页小结小结:LINGO模型最基本组成要素模型最基本组成要素 普通来说，普通来说，LINGO中建立优化模型能够由个四部分组中建立优化模型能够由个四部分组成，或称为四成，或称为四“段段”（SECTION）：）：（1 1）集合段（）集合段（SETSSETS）：）：以以“SETS:”开始，开始，“ENDSETS”结束，定义必要集合变量（结束，定义必要集合变量（SET）及其元）及其元素（素（MEMBER，含义类似于数组下标）和属性，含义类似于数组下标）和属性（ATTRIBUTE，含义类似于数组）。，含义类似于数组）。如上例中定义了集合如上例中定义了集合quarters(含义是季节含义是季节)，它包含四个元素即四个季节指标，它包含四个元素即四个季节指标(1,2,3,4)，每个季节都有需求，每个季节都有需求(DEM)、正常生产量、正常生产量(RP)、加班生产量、加班生产量(OP)、库、库存量存量(INV)等属性等属性(相当于数组，数组下标由相当于数组，数组下标由quarters元素决定元素决定)。一旦这么定义。一旦这么定义建立起来，假如建立起来，假如quarters数量不是数量不是4而是而是1000,只需扩展其元素为只需扩展其元素为1,2,.,1000,每个每个季节依然都有季节依然都有DEM,RP,OP,INV这么属性这么属性(这些量详细数值假如是常量，则可在这些量详细数值假如是常量，则可在数据段输入；假如是未知数，则可在初始段输入初值数据段输入；假如是未知数，则可在初始段输入初值)。当。当quarters数量不是数量不是4而是而是1000时，没有必要把时，没有必要把1,2，.,1000全部一个一个列出来，而是能够以下定全部一个一个列出来，而是能够以下定义义quarters集合：集合：“quarters/1.1000/:DEM,RP,OP,INV;”,“1.1000”意思意思就是从就是从1到到1000全部整数。全部整数。第29页（2 2）目标与约束段）目标与约束段：目标函数、约束条件等，没有段：目标函数、约束条件等，没有段开始和结束标识，所以实际上就是除其它四个段开始和结束标识，所以实际上就是除其它四个段(都有明都有明确段标识确段标识)外外LINGO模型。模型。这里普通要用到这里普通要用到LINGO内部函数，尤其是与集合相关内部函数，尤其是与集合相关求和函数求和函数SUM和循环函数和循环函数FOR等。等。上例中定义目标函数与上例中定义目标函数与quarters元素数目是元素数目是 4或或 1000并并无详细关系。约束表示也类似。无详细关系。约束表示也类似。第30页（3 3）数据段）数据段(DATA)(DATA)：以：以“DATA:”开始开始,“ENDDATA”结结束，对集合属性束，对集合属性(数组数组)输入必要常数数据。输入必要常数数据。格式为：格式为：“attribute(属性属性)=value_list(常数列表常数列表);”常数列表常数列表(value_list)中数据之间能够用逗号中数据之间能够用逗号“,”分开，分开，也能够用空格分开也能够用空格分开(回车等价于一个空格回车等价于一个空格),如上面对如上面对DEM赋值也能够写成赋值也能够写成“DEM=40 60 75 25；”。在LINGO模型中，假如想在运行时才对参数赋值，能够在数据段使用输入语句。但这仅能用于对单个变量赋值，输入语句格式为：“变量名=？；”。比如，上例中假如需要在求解模型时才给出初始库存量(记为A)，则能够在模型中数据段写上语句：”A=?；”在求解时LINDO系统给出提醒界面，等候用户输入变量A数值。当然，此时约束语句 INV(1)=10+RP(1)+OP(1)-DEM(1);也应该改写成 INV(1)=A+RP(1)+OP(1)-DEM(1);这么，模型就能够计算任意初始库存量(而不但仅只能计算初始库存量为10)情况了。第31页（4 4）初始段）初始段(INIT)(INIT)：以：以“INIT:”开始，开始，“ENDINIT”结束，对集合属性结束，对集合属性(数组数组)定义初值定义初值(因为求解算法普通因为求解算法普通是迭代算法，所以用户假如能给出一个比很好迭代初值，是迭代算法，所以用户假如能给出一个比很好迭代初值，对提升算法计算效果是有益对提升算法计算效果是有益)。假如有一个靠近最优解初值，对假如有一个靠近最优解初值，对LINGO求解模型是有求解模型是有帮助。定义初值格式为：帮助。定义初值格式为：“attribute（属性）（属性）=value_list（常数列表）；（常数列表）；”这与数据段中使用方法是类似。这与数据段中使用方法是类似。上例中没有初始化部分，我们将在下一个例子中举例上例中没有初始化部分，我们将在下一个例子中举例说明。说明。第32页基本集合与派生集合基本集合与派生集合 例例3.4 建筑工地位置建筑工地位置(用平面坐标用平面坐标a,b表示，距离单位：表示，距离单位：公里公里)及水泥日用量及水泥日用量d(吨吨)下表给出。有两个暂时料场位下表给出。有两个暂时料场位于于P(5,1),Q(2,7),日储量各有日储量各有20吨。从吨。从A,B两料场分别两料场分别向各工地运输多少吨水泥，使总吨公里数最小。两个新向各工地运输多少吨水泥，使总吨公里数最小。两个新料场应建在何处，节约吨公里数有多大？料场应建在何处，节约吨公里数有多大？a1.258.750.55.7537.25b1.250.754.7556.57.75d3547611第33页建立模型建立模型记工地位置为记工地位置为 ，水泥日用量为，水泥日用量为 ；料场位；料场位置为置为 ，日储量为，日储量为 ；从料场；从料场 向工地向工地 运输运输量为量为 。使用现有暂时料场时，决议变量只有使用现有暂时料场时，决议变量只有 （非负），所以这是（非负），所以这是LP模型；当为新模型；当为新建料场选址时决议变量为建料场选址时决议变量为 和和 ，因为目标函数，因为目标函数 对对 是非线性，所是非线性，所以在新建料场时是以在新建料场时是NLP模型。先解模型。先解NLP模型，而把现有暂时料场位置作为初模型，而把现有暂时料场位置作为初始解告诉始解告诉LINGO。第34页本例中集合概念本例中集合概念利用集合概念，能够定义需求点利用集合概念，能够定义需求点DEMAND和供给点和供给点SUPPLY两个集合，分别有两个集合，分别有6个和个和2个元素个元素(下标下标)。但决。但决议变量议变量(运输量运输量)与集合与集合DEMAND和集合和集合SUPPLY都都相关系。该怎样定义这么属性？相关系。该怎样定义这么属性？集合属性相当于以集合元素为下标数组。这里集合属性相当于以集合元素为下标数组。这里 相当于相当于二维数组。它两个下标分别来自集合二维数组。它两个下标分别来自集合DEMAND和和SUPPLY，所以能够定义一个由二元对组成新集合，然，所以能够定义一个由二元对组成新集合，然后将后将 定义成这个新集合属性。定义成这个新集合属性。第35页输入程序输入程序 定义了三个集合，其中定义了三个集合，其中LINK在前在前两个集合两个集合DEMAND 和和SUPPLY基基础上定义础上定义表示集合表示集合LINK中元素就是集合中元素就是集合DEMAND 和和SUPPLY元素组合成有序二元组，元素组合成有序二元组，从数学上看从数学上看LINK是是DEMAND 和和SUPPLY笛卡笛卡儿积，也就是说儿积，也就是说LINK=（S，T）|SDEMAND，TSUPPLY所以，其属性所以，其属性C也就是一个也就是一个6*2矩阵（或者说是矩阵（或者说是含有含有12个元素二维数组）。个元素二维数组）。LINGO建模语言也称为矩阵生成器（建模语言也称为矩阵生成器（MATRIX GENERATOR）。类似）。类似DEMAND 和和SUPPLY直接把元素列举出直接把元素列举出来集合，称为来集合，称为基本集合基本集合(primary set),而把而把LINK这种基于其它集这种基于其它集合而派生出来二维或多维集合称为合而派生出来二维或多维集合称为派生集合派生集合(derived set)。因为。因为是是DEMAND 和和SUPPLY生成了派生集合生成了派生集合LINK，所以，所以DEMAND 和和SUPPLY 称为称为LINK父集合父集合。第36页输入程序输入程序 初始段 INGO对数据是按列赋值 语句实际赋值次序是X=(5,2),Y=(1,7),而不是X=(5,1),Y=（2,7)等价写法：“X=5,2；Y=1,7；”同理，数据段中对常数数组A，B赋值语句也能够写成A,B=1.25 1.25 8.75 0.75 0.5 4.75 5.75 5 3 6.5 7.25 7.75；第37页输入程序输入程序 定义目标和约束，与前例方法是类似(这里包含了派生集合)，请尤其注意深入体会集合函数SUM和FOR使用方法。因为新建料场位置理论上讲能够是任意，所以在约束最终(模型“END”语句上面一行)用free函数取消了变量X、Y非负限制在程序开头用TITLE语句对这个模型取了一个标题“LOCATION PROBLEM；而且对目标行（OBJ）和两类约束（DEMAND_CON、SUPPLY_CON）分别进行了命名(请尤其注意这里约束命名特点)。第38页解答解答:运行菜单命令运行菜单命令“LINGO|Solve”局部最优解局部最优解X(1)=7.249997，X(2)=5.695940，Y(1)=7.749998，Y(2)=4.928524，C（略），（略），最小运量最小运量=89.8835(吨公里吨公里)。问题问题:最小运量最小运量89.8835是不是全局最优是不是全局最优 是用是用“LINGO|Options”菜单命令打开选项对话框，在菜单命令打开选项对话框，在“Global Solver”选项卡上选择选项卡上选择“Use Global Solver”,激激活全局最优求解程序。活全局最优求解程序。第39页问题问题:最小运量最小运量89.8835是不是全局最优是不是全局最优 为降低计算工作量，对为降低计算工作量，对X，Y取值再做一些限制。即使理论上新取值再做一些限制。即使理论上新建料场位置能够是任意，但显然最正确料场位置不应该离工地太建料场位置能够是任意，但显然最正确料场位置不应该离工地太远，最少不应该超出现在远，最少不应该超出现在6个工地所决定坐标最大、最小值决定个工地所决定坐标最大、最小值决定矩形之外，即矩形之外，即:0.5=x=8.75,0.75=y=7.75.能够用能够用bnd函数加上函数加上这个条件取代模型这个条件取代模型END上面行，运行上面行，运行NLP模型，全局最优模型，全局最优求解程序花费时间依求解程序花费时间依然很长，运行然很长，运行27分分35秒时人为终止求解秒时人为终止求解(按下按下“Interrupt Solver”按钮按钮)得到左得到左边模型窗口和全局求边模型窗口和全局求解器状态窗口解器状态窗口此时目标函数值下界（此时目标函数值下界（Obj Bound=85.2638）与当前得到最好可）与当前得到最好可行解目标函数值（行解目标函数值（Best Obj=85.2661）相差已经非常小，能）相差已经非常小，能够认为已经得到了全局最优解。够认为已经得到了全局最优解。第40页计算结果计算结果 工地与料场示意图工地与料场示意图:“*”表示料场，表示料场，“+”表示工地表示工地 能够认为是模型最终结果能够认为是模型最终结果 附注：假如要把料厂P(5,1),Q(2,7)位置看成是已知而且固定，这时是LP模型。只需要把初始段“X Y=5，1，2，7；”语句移到数据段就能够了。此时，运行结果告诉我们得到全局最优解（变量C取值这里略去），最小运量136.2275(吨公里)。第41页稠密集合与稀疏集合稠密集合与稀疏集合 包含了两个基本集合组成全部二元有序正确派生集合称包含了两个基本集合组成全部二元有序正确派生集合称为为稠密集合稠密集合(简称稠集简称稠集)。有时候，在实际问题中，一些。有时候，在实际问题中，一些属性属性(数组数组)只在笛卡儿积一个真子集合上定义，这种派只在笛卡儿积一个真子集合上定义，这种派生集合称为生集合称为稀疏集合稀疏集合(简称疏集简称疏集)。例例(最短路问题最短路问题)在纵横交织公路网中，货车司机希望找到一条从在纵横交织公路网中，货车司机希望找到一条从一个城市到另一个城市最短路一个城市到另一个城市最短路.下列图表示是公路网下列图表示是公路网,节点表示货节点表示货车能够停靠城市车能够停靠城市,弧上权表示两个城市之间距离弧上权表示两个城市之间距离(百公里百公里).那么那么,货货车从城市车从城市S出发抵达城市出发抵达城市T,怎样选择行驶路线怎样选择行驶路线,使所经过旅程最短使所经过旅程最短?STA1 A2 A3 B1 B2 C1 C2 633665874678956第42页STA1 A2 A3 B1 B2 C1 C2 633665874678956分析分析 假设从假设从S到到T最优行驶路线最优行驶路线 P 经过城市经过城市C1,则则P中从中从S到到C1子路也一子路也一定是从定是从S到到C1最优行驶路线最优行驶路线;假设假设 P 经过城市经过城市C2,则则P中从中从S到到C2子路也一定是从子路也一定是从S到到C2最优行最优行驶路线驶路线.所以所以,为得到从为得到从S到到T最优行驶路线最优行驶路线,只需要先求出从只需要先求出从S到到Ck(k=1,2)最优行驶路线最优行驶路线,就能够方便地得到从就能够方便地得到从S到到T最优行驶路线最优行驶路线.一样一样,为了求出从为了求出从S到到Ck(k=1,2)最优行驶路线最优行驶路线,只需要先求出从只需要先求出从S到到Bj(j=1,2)最优行驶路线最优行驶路线;为了求出从为了求出从S到到Bj(j=1,2)最优行驶路线最优行驶路线,只需要先求出从只需要先求出从S到到Ai(i=1,2,3)最优行驶路线最优行驶路线.而而S到到Ai(i=1,2,3)最优行驶路线是很轻最优行驶路线是很轻易得到易得到(实际上实际上,此例中此例中S到到Ai(i=1,2,3)只有唯一道路只有唯一道路)第43页分析分析 STA1 A2 A3 B1 B2 C1 C2 633665874678956此例中可把从S到T行驶过程分成4个阶段,即 SAi(i=1,2或3),Ai Bj(j=1或2),Bj Ck(k=1或2),Ck T.记d(Y,X)为城市Y与城市X之间直接距离(若这两个城市之间没有道路直接相连，则能够认为直接距离为)，用L(X)表示城市S到城市X最优行驶路线路长:第44页本例计算本例计算STA1 A2 A3 B1 B2 C1 C2 633665874678956所以,从S到T最优行驶路线路长为20.深入分析以上求解过程,能够得到从S到T最优行驶路线为S A3 B2 C1 T.这种计算方法在数学上称为动态规划(Dynamic Programming)第45页本例本例LINGO求解求解“CITIES”(城市城市):一个基本集合一个基本集合(元素经过枚举给出元素经过枚举给出)L:CITIES对应属性变量对应属性变量(我们要求最短路长我们要求最短路长)“ROADS”(道路):由CITIES导出一个派生集合(请尤其注意其使用方法),因为只有一部分城市之间有道路相连，所以不应该把它定义成稠密集合，将其元素经过枚举给出，这就是一个稀疏集合。D:稀疏集合ROADS对应属性变量(给定距离)第46页本例本例LINGO求解求解从模型中还能够看出：这个从模型中还能够看出：这个LINGO程序能够没有目标程序能够没有目标函数，这在函数，这在LINGO中，能够用来找可行解中，能够用来找可行解(解方程组和解方程组和不等式组不等式组)。在数据段对在数据段对L进行赋值，只有进行赋值，只有L(S)=0已已知，后面值为空知，后面值为空(但位置必须留出来，但位置必须留出来，即逗号即逗号“，”一个也不能少，不然会犯一个也不能少，不然会犯错错)。假如这个语句直接写成。假如这个语句直接写成“L=0；”，语法上看也是正确，但其含义是，语法上看也是正确，但其含义是L全全部元素取值全部为部元素取值全部为0，所以也会与题意，所以也会与题意不符。不符。第47页本例本例LINGO求解求解即使集合即使集合CITIES中元素不是数字，但当它中元素不是数字，但当它以以CITIES(I)形式出现在循环中时，引用下形式出现在循环中时，引用下标标I却实际上仍是正整数，也就是说却实际上仍是正整数，也就是说I指正是指正是元素在集合中位置元素在集合中位置(次序次序)，普通称为元素索，普通称为元素索引引(INDEX)。在在for循环中过滤条件里用了一个函数循环中过滤条件里用了一个函数“index”,其作用是返回一个元素在集合其作用是返回一个元素在集合中索引值，这里中索引值，这里index(S)=1(即元素即元素S在集在集合中索引值为合中索引值为1)，所以逻辑关系式，所以逻辑关系式“I#GT#index(S)”能够能够直接等价地能够能够直接等价地写成写成“I#GT#1”。这里。这里index(S)实际上还实际上还是是index(CITIES,S)简写，即返回简写，即返回S在集合在集合CITIES中索引值。中索引值。第48页本例本例LINGO求解结果求解结果从S到T最优行驶路线路长为20(深入分析，能够得到最优行驶路线为S A3 B2 C1 T)。本例中定义稀疏集合本例中定义稀疏集合ROADS方法是将其元素经过枚举给方法是将其元素经过枚举给出，有时假如元素比较多，用起来不方便。另一个定义出，有时假如元素比较多，用起来不方便。另一个定义稀疏集合方法是稀疏集合方法是“元素过滤元素过滤”法，能够从笛卡儿积中系法，能够从笛卡儿积中系统地过滤下来一些真正元素。统地过滤下来一些真正元素。第49页例例 某班某班8名同学准备分成名同学准备分成4个调查队个调查队(每队两人每队两人)前往前往4个个地域进行社会调查。这地域进行社会调查。这8名同学两两之间组队效率以下名同学两两之间组队效率以下表所表示表所表示(因为对称性，只列出了严格上三角部分因为对称性，只列出了严格上三角部分)，问，问怎样组队能够使总效率最高？怎样组队能够使总效率最高？学生S1S2S3S4S5S6S7S8S1-9342156S2-173521S3-44292S4-1552S5-876S6-23S7-4第50页分析分析 这是一个匹配（MATCHING）问题。把上表效率矩阵记为BENEFIT(因为对称性，这个矩阵只有严格上三角部分共28个数取非零值)。用MATCH（Si，Sj）=1表示同学Si，Sj组成一队，而MATCH（Si，Sj）=0表示Si，Sj不组队。因为对称性，只需考虑ij共28个0-1变量(而不是全部32个变量)。显然,目标函数恰好是BENEFIT(Si,Sj)*MATCH(Si,Sj)对I,j之和。约束条件是每个同学只能(而且必须在)某一组，即对于任意i有:只要属性MATCH某个下标为i就加起来，此和应该等于1。由上面分析，所以，完整数学模型以下(显然，这是一个0-1线性规划)：第51页问题问题LINGO求解求解“S1.S8”等价于写成“S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8”,它没有相关属性列表，只用于表示是一个下标集合 在派生集合PAIRS定义中增加了过滤条件“&2#GT#&1”,意思是第2个父集合元素索引值(用“&2”表示)大于第1个父集合元素索引值(用“&1”表示)。PAIRS中元素对应于上表中严格上三角部分二维下标(共28个元素)。BENEFIT和MATCH是PAIRS属性。注意数据段对BENEFIT赋值方式，“LINGO按照列次序对属性变量元素进行赋值。在约束部分，过滤条件“J#EQ#I#OR#K#EQ#I”是由逻辑运算符“#OR#（或者）”连接一个复合逻辑关系式，连接由“#EQ#（等于）”表示两个逻辑关系。因为“#OR#”运算级别低于“#EQ#”，所以这个逻辑式中没有必要使用括号指定运算次序。第52页LINGO求解结果求解结果“LINGO|SOLVE”运行这个程序，能够得到全局最优值为30 MATCH变量中多数为0，能够更清楚地浏览最优解解。选择菜单命令“LINGO|SOLUTION”，能够看到图示对话框。选择属性MATCH(变量)选择Text(文本格式)选择Nonzeros Only(只显示非零值)点击“OK”按钮，得到关于最优解非零分量汇报学生最正确组队方式是学生最正确组队方式是(1,8),(2,4),(3,7),(5,6).第53页集合使用小结集合使用小结 集合不一样类型及其关系集合不一样类型及其关系 集合集合派生集合派生集合稀疏集合稀疏集合稠密集合稠密集合基本集合基本集合元素列表法元素列表法 元素过滤法元素过滤法 直接列举法直接列举法 隐式列举法隐式列举法 第54页基本集合定义语法基本集合定义语法 基本集合定义格式为(方括号“”中内容是可选项,能够没有):setname/member_list/:attribute_list;其中setname为定义集合名，member_l
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