数学建模姜启源简单的优化模型市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第三章第三章 简单优化模型简单优化模型3.1 存贮模型存贮模型3.2 生猪出售时机生猪出售时机3.3 森林救火森林救火3.4 最优价格最优价格3.5 血管分支血管分支3.6 消费者均衡消费者均衡3.7 冰山运输冰山运输第1页 现实世界中普遍存在着优化问题现实世界中普遍存在着优化问题 静态优化问题指最优解是数静态优化问题指最优解是数(不是函数不是函数)建立静态优化模型关键之一是根据建模目标确定恰当目标函数 求解静态优化模型普通用微分法求解静态优化模型普通用微分法静静 态态 优优 化化 模模 型型第2页3.1 存贮模型存贮模型问问 题题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量已知某产品日需求量100件，生产准备费件，生产准备费5000元，贮存费元，贮存费每日每件每日每件1元。试安排该产品生产计划，即多少天生产元。试安排该产品生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要要 求求不只是回答下列问题，而且要建立生产周期、产量与不只是回答下列问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间关系。需求量、准备费、贮存费之间关系。第3页问题分析与思索问题分析与思索 天天生产一次天天生产一次，每次，每次100件，无贮存费，准备费件，无贮存费，准备费5000元。元。日需求日需求100件，准备费件，准备费5000元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件1元。元。10天生产一次天生产一次，每次，每次1000件，贮存费件，贮存费900+800+100 =4500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计9500元。元。50天生产一次天生产一次，每次，每次5000件，贮存费件，贮存费4900+4800+100=122500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计127500元。元。平均天天费用平均天天费用950元元平均天天费用平均天天费用2550元元1010天生产一次平均天天费用最小吗天生产一次平均天天费用最小吗?天天费用天天费用5000元元第4页 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期总费用作为目标函数显然不能用一个周期总费用作为目标函数目标函数目标函数天天总费用平均值天天总费用平均值 周期短，产量小周期短，产量小 周期长，产量大周期长，产量大问题分析与思索问题分析与思索贮存费少，准备费多贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多准备费少，贮存费多存在最正确周期和产量，使总费用（二者之和）最小存在最正确周期和产量，使总费用（二者之和）最小第5页模模 型型 假假 设设1.产品天天需求量为常数产品天天需求量为常数 r；2.每次生产准备费为每次生产准备费为 c1,天天每件产品贮存费为天天每件产品贮存费为 c2；3.T天生产一次（周期）天生产一次（周期）,每次生产每次生产Q件，当贮存量件，当贮存量 为零时，为零时，Q件产品马上到来（生产时间不计）；件产品马上到来（生产时间不计）；建建 模模 目目 设设 r,c1,c2 已知，求已知，求T,Q 使天天总费用平均值最小。使天天总费用平均值最小。4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。第6页模模 型型 建建 立立0tq贮存量表示为时间函数贮存量表示为时间函数 q(t)TQrt=0生产生产Q件，件，q(0)=Q,q(t)以以需求速率需求速率r递减，递减，q(T)=0.一周期一周期总费用总费用天天总费用平均天天总费用平均值（目标函数）值（目标函数）离散问题连续化离散问题连续化一周期贮存费为一周期贮存费为A=QT/2第7页模型求解模型求解求求 T 使使模型分析模型分析模型应用模型应用c1=5000,c2=1，r=100T=10(天天),Q=1000(件件),C=1000(元元)回答下列回答下列问题问题第8页 经济批量订货公式经济批量订货公式（EOQ公式公式）天天需求量天天需求量 r，每次订货费，每次订货费 c1,天天每件贮存费天天每件贮存费 c2，用于订货、供给、存贮情形用于订货、供给、存贮情形不允许缺货存贮模型不允许缺货存贮模型 问：为何不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？问：为何不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？T天订货一次天订货一次(周期周期),每次订货每次订货Q件，当贮存量降到件，当贮存量降到零时，零时，Q件马上到货。件马上到货。第9页允许缺货存贮模型允许缺货存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时原模型假设：贮存量降到零时Q件件马上生产出来马上生产出来(或马上到货或马上到货)现假设：允许缺货现假设：允许缺货,天天每件缺货损失费天天每件缺货损失费 c3,缺货需补足缺货需补足T一周期一周期贮存费贮存费一周期一周期缺货费缺货费周期周期T,t=T1贮存量降到零贮存量降到零一周期总费用一周期总费用第10页天天总费用天天总费用平均值平均值（目标函数）（目标函数）一周期总费用一周期总费用求求 T,Q 使使为与为与不允许缺货存贮模型相不允许缺货存贮模型相比，比，T记作记作T,Q记作记作Q第11页不允不允许缺许缺货模货模型型记记允许允许缺货缺货模型模型不不允允许许缺缺货货第12页允许允许缺货缺货模型模型0qQ rT1tT注意：缺货需补足注意：缺货需补足Q 每七天期初存贮每七天期初存贮量量R每七天期生产量每七天期生产量R（或订货量）（或订货量）Q不允许缺货时产量不允许缺货时产量(或订货量或订货量)第13页3.2 生猪出售时机生猪出售时机喂养场天天投入喂养场天天投入4元资金，用于饲料、人力、设元资金，用于饲料、人力、设备，备，预计预计可使可使80千克重生猪体重增加千克重生猪体重增加2千克。千克。问问题题市场价格当前为每千克市场价格当前为每千克8元，不过元，不过预测预测天天会降天天会降低低 0.1元，问生猪应何时出售。元，问生猪应何时出售。假如假如预计预计和和预测预测有误差，对结果有何影响。有误差，对结果有何影响。分分析析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间降低，故存在最正确出售时机，使利润最时间降低，故存在最正确出售时机，使利润最大大第14页求求 t 使使Q(t)最大最大10天后出售，可多得利润天后出售，可多得利润20元元建模及求解建模及求解生猪体重生猪体重 w=80+rt出售价格出售价格 p=8-gt销售收入销售收入 R=pw资金投入资金投入 C=4t利润利润 Q=R-C=pw-C预计预计r=2，若当前出售，利润为若当前出售，利润为808=640（元）（元）t 天天出售出售=10Q(10)=660 640g=0.1第15页敏感性分析敏感性分析研究研究 r,g改变时对模型结果影响改变时对模型结果影响 预计预计r=2，g=0.1 设设g=0.1不变不变 t 对对r（相对）敏感度（相对）敏感度 生猪天天体重增加量生猪天天体重增加量r 增加增加1%，出售时间推迟，出售时间推迟3%。rt第16页敏感性分析敏感性分析预计预计r=2，g=0.1研究研究 r,g改变时对模型结果影响改变时对模型结果影响 设设r=2不变不变 t 对对g（相对）敏感度（相对）敏感度 生猪价格天天降低量生猪价格天天降低量g增加增加1%，出售时间提前，出售时间提前3%。gt第17页健壮性分析健壮性分析保留生猪直到利润增值等于天天费用时出售保留生猪直到利润增值等于天天费用时出售由由 S(t,r)=3提议过一周后提议过一周后(t=7)重新预计重新预计 ,再作计算。再作计算。研究研究 r,g不是常数时对模型结果影响不是常数时对模型结果影响 w=80+rt w=w(t)p=8-gt p=p(t)若若 (10%),则则 （30%）天天利润增值天天利润增值 天天投入资金天天投入资金 第18页3.3 森林救火森林救火森林失火后，要确定派出消防队员数量。森林失火后，要确定派出消防队员数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x,失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t).损失费损失费f1(x)是是x减函数减函数,由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定.救援费救援费f2(x)是是x增函数增函数,由队员人数和救火时间决定由队员人数和救火时间决定.存在恰当存在恰当x，使，使f1(x),f2(x)之和最小之和最小第19页 关键是对关键是对B(t)作出合理简化假设作出合理简化假设.问题问题分析分析失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,画出时刻画出时刻 t 森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)大致图形大致图形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比较困难比较困难,转而讨论森林烧毁转而讨论森林烧毁速度速度dB/dt.第20页模型假设模型假设 3）f1(x)与与B(t2)成正比，系数成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）烧毁单位面积损失费）1）0 t t1,dB/dt 与与 t成正比，系数成正比，系数 (火势蔓延速度）火势蔓延速度）2）t1 t t2,降为降为-x(为队员平均灭火为队员平均灭火速度）速度）4）每个）每个队员单位时间灭火费用队员单位时间灭火费用c2,一次性费用一次性费用c3假设假设1）解释解释 rB火势以失火点为中心，火势以失火点为中心，均匀向四面呈圆形蔓延，均匀向四面呈圆形蔓延，半径半径 r与与 t 成正比成正比面积面积 B与与 t2成正比，成正比，dB/dt与与 t成正比成正比.第21页模型建立模型建立b0t1tt2假设假设1）目标函数目标函数总费用总费用假设假设3）4）假设假设2）第22页模型建立模型建立目标函数目标函数总费用总费用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小结果解释结果解释 /是火势不继续蔓延最少队员数是火势不继续蔓延最少队员数b0t1t2t其中其中 c1,c2,c3,t1,为已知参为已知参数数第23页模型模型应用应用c1,c2,c3已知已知,t1可预可预计计,c2 x c1,t1,x c3,x 结果结果解释解释c1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费,c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费,c3每个每个队员一次性费用队员一次性费用,t1开始救火时刻开始救火时刻,火火势蔓延速度势蔓延速度,每个每个队员平均灭火队员平均灭火速度速度.为何为何?,可可设置一系列数设置一系列数值值由模型决定队员数量由模型决定队员数量x第24页3.4 最优价格最优价格问题问题依据产品成本和市场需求，在产销平依据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大衡条件下确定商品价格，使利润最大假设假设1）产量等于销量，记作）产量等于销量，记作 x2）收入与销量）收入与销量 x 成正比，系数成正比，系数 p 即价格即价格3）支出与产量）支出与产量 x 成正比，系数成正比，系数 q 即成本即成本4）销量）销量 x 依赖于价格依赖于价格 p,x(p)是减函数是减函数 建模建模与求解与求解收入收入支出支出利润利润深入设深入设求求p使使U(p)最大最大第25页使利润使利润 U(p)最大最优价格最大最优价格 p*满足满足最大利润在边际收入等于边际支出时到达最大利润在边际收入等于边际支出时到达 建模建模与求解与求解边际收入边际收入边际支出边际支出第26页结果结果解释解释 q/2 成本二分之成本二分之一一 b 价格上升价格上升1单位时销量下降单位时销量下降 幅度（需求对价格敏感度）幅度（需求对价格敏感度）a 绝对需求绝对需求(p很小时需求很小时需求)b p*a p*思索：怎样得到参数思索：怎样得到参数a,b?第27页3.5 血血 管管 分分 支支背背景景机体提供能量维持血液在血管中流动机体提供能量维持血液在血管中流动给血管壁以营养给血管壁以营养克服血液流动阻力克服血液流动阻力消耗能量取决于血管几何形状消耗能量取决于血管几何形状在长久进化中动物血管几何形状已在长久进化中动物血管几何形状已经到达能量最小标准经到达能量最小标准研究在能量最小标准下，血管分支处研究在能量最小标准下，血管分支处粗细血管半径百分比和分岔角度粗细血管半径百分比和分岔角度问问题题第28页模型假设模型假设一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面血液流动近似于粘性流体在刚性管道中运动血液流动近似于粘性流体在刚性管道中运动血液给血管壁能量随管壁血液给血管壁能量随管壁内表面积和体积增加而增内表面积和体积增加而增加，管壁厚度近似与血管加，管壁厚度近似与血管半径成正比半径成正比qq1q1ABBCHLll1rr1 q=2q1r/r1,?考查血管考查血管AC与与CB,CB第29页粘性流体在刚粘性流体在刚性管道中运动性管道中运动 pA,C压力差，压力差，粘性系数粘性系数克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量提供营养消耗能量提供营养消耗能量管壁内表面积管壁内表面积 2 rl管壁体积管壁体积(d2+2rd)l,管壁厚度管壁厚度d与与r成正比成正比模型假设模型假设qq1q1ABBCHLll1rr1 第30页模型建立模型建立qq1q1ABBCHLll1rr1 克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量提供营养消耗能量提供营养消耗能量机体为血流提供能量机体为血流提供能量第31页模型求解模型求解qq1q1ABBCHLll1rr1 第32页模型模型解释解释生物学家：结果与观察大致吻合生物学家：结果与观察大致吻合大动脉半径大动脉半径rmax,毛细血管半径毛细血管半径rmin大动脉到毛细血管有大动脉到毛细血管有n次分岔次分岔 观察：狗血管观察：狗血管血管总条数血管总条数推论推论n=？第33页q2U(q1,q2)=cq103.6 消费者均衡消费者均衡问题问题消费者对甲乙两种商品偏爱程度用无差异曲消费者对甲乙两种商品偏爱程度用无差异曲线族表示，问他怎样分配一定数量钱，购置线族表示，问他怎样分配一定数量钱，购置这两种商品，以到达最大满意度。这两种商品，以到达最大满意度。设甲乙数量为设甲乙数量为q1,q2,消消费者无差异曲线族费者无差异曲线族(单单调减、下凸、不相交），调减、下凸、不相交），记作记作 U(q1,q2)=cU(q1,q2)效用函数效用函数已知甲乙价格已知甲乙价格 p1,p2,有钱有钱s，试分配，试分配s,购置甲乙数量购置甲乙数量 q1,q2,使使 U(q1,q2)最大最大.第34页s/p2s/p1q2U(q1,q2)=cq10模型模型及及求解求解已知价格已知价格 p1,p2,钱钱 s,求求q1,q2,或或 p1q1/p2q2,使使 U(q1,q2)最最大大几几何何解解释释直线直线MN:最优解最优解Q:MN与与 l2切点切点斜率斜率MQN第35页结果结果解释解释边际效用边际效用消费者均衡状态在两种商品消费者均衡状态在两种商品边际效用之比恰等于它们价边际效用之比恰等于它们价格之比时到达。格之比时到达。效用函数效用函数U(q1,q2)应满足条件应满足条件A.U(q1,q2)=c 所确定函数所确定函数 q2=q2(q1)单调减、下凸单调减、下凸 解释解释 B实际意义实际意义第36页效用函数效用函数U(q1,q2)几个惯用几个惯用形式形式 消费者均衡状态下购置两种商品费用之比消费者均衡状态下购置两种商品费用之比与二者价格之比平方根成正比。与二者价格之比平方根成正比。U(q1,q2)中参数中参数 ,分别表示消费者对甲分别表示消费者对甲乙乙两种商品偏爱程度。两种商品偏爱程度。第37页 购置两种商品费用之比与二者价格无关。购置两种商品费用之比与二者价格无关。U(q1,q2)中参数中参数 ,分别表示对甲乙分别表示对甲乙偏爱程度。偏爱程度。思索：怎样推广到思索：怎样推广到 m(2)种商品情况种商品情况效用函数效用函数U(q1,q2)几个惯用几个惯用形式形式第38页3.7 冰山运输冰山运输背景背景 波斯湾地域水资源贫乏，淡化海水成波斯湾地域水资源贫乏，淡化海水成本为每立方米本为每立方米0.1英镑。英镑。教授提议从教授提议从9600千米远南极用拖船运千米远南极用拖船运输冰山，取代淡化海水输冰山，取代淡化海水 从经济角度研究冰山运输可行性。从经济角度研究冰山运输可行性。建模准备建模准备1.日租金和最大运量日租金和最大运量船船 型型小小 中中 大大日租金（英镑）日租金（英镑）最大运量（米最大运量（米3）4.06.28.05 105106107第39页2.燃料消耗（英镑燃料消耗（英镑/千米）千米）3.融化速率（米融化速率（米/天）天）与南极距离与南极距离(千米千米)船速船速(千米千米/小时小时)0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6冰山体积冰山体积(米米3)船速船速(千米千米/小时小时)105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8建模准备建模准备第40页建模目选择船型和船速，使冰山抵达目标地后每立选择船型和船速，使冰山抵达目标地后每立米水费用最低，并与淡化海水费用比较米水费用最低，并与淡化海水费用比较模型模型假设假设 航行过程中船速不变，总距离航行过程中船速不变，总距离9600千米千米 冰山呈球形，球面各点融化速率相同冰山呈球形，球面各点融化速率相同到达目地后，每立方米冰可融化0.85立方米水建模建模分析分析目地水体积运输过程运输过程融化规律融化规律总费用总费用目地冰体积初始冰初始冰山体积山体积燃料消耗燃料消耗租金租金船型船型,船速船速船型船型船型船型,船速船速船型船型第41页模模型型建建立立1.冰山融化规律冰山融化规律 船速船速u(千米千米/小时小时)与南极距离与南极距离d(千米千米)融化速率融化速率r(米米/天）天）r是是 u 线性函数；线性函数；d4000时时u与与d无关无关.航行航行 t 天天第第t天融天融化速率化速率 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6urd第42页1.冰山融化规律冰山融化规律 冰山初始半径冰山初始半径R0，航行，航行t天时半径天时半径冰山初始体积冰山初始体积t天时体积天时体积总航行天数总航行天数选定选定u,V0,航行航行t天时冰山体积天时冰山体积到达目地时冰山体积第43页2.燃料消耗燃料消耗 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8Vuq1燃料消耗燃料消耗 q1(英镑英镑/千米千米)q1对对u线性线性,对对log10V线性线性选定选定u,V0,航行第航行第t天燃料消耗天燃料消耗 q(英镑英镑/天天)燃料消耗总费用燃料消耗总费用第44页 V0 5 105 106 107 f(V0)4.0 6.2 8.0 3.运输每立方米水费用运输每立方米水费用 冰山初始体积冰山初始体积V0日租日租金金 f(V0)（英镑）（英镑）航行天数航行天数总燃料消花费用总燃料消花费用拖船租金费用拖船租金费用冰山运输总费用冰山运输总费用第45页冰山抵达目标地冰山抵达目标地后得到水体积后得到水体积3.运输每立方米水费用运输每立方米水费用 冰山运输总费用冰山运输总费用运输每运输每立方米立方米水费用水费用 到达目地时冰山体积第46页模型求解模型求解选择船型和船速，使冰山抵达目选择船型和船速，使冰山抵达目标地后每立方米水费用最低标地后每立方米水费用最低求求 u,V0使使Y(u,V0)最小最小u=45(千米千米/小时小时),V0=107(米米3)，Y(u,V0)最最小小V0只能取离散值只能取离散值经验公式很粗糙经验公式很粗糙33.544.551070.07230.06830.06490.06630.06580.22510.0.18340.18420.179010678.90329.82206.21385.46474.5102V0u5 106取几组（取几组（V0，u）用）用枚举法计算枚举法计算第47页结果分析结果分析因为未考虑影响航行种种不利原因，冰山抵因为未考虑影响航行种种不利原因，冰山抵达目标地后实际体积会显著小于达目标地后实际体积会显著小于V(u,V0)。相关部门认为，只有当计算出相关部门认为，只有当计算出Y(u,V0)显著低显著低于淡化海水成本时，才考虑其可行性。于淡化海水成本时，才考虑其可行性。大型拖船大型拖船V0=107(米米3)，船速，船速 u=45(千米千米/小时小时),冰冰山抵达目标地后每立米水费用山抵达目标地后每立米水费用 Y(u,V0)约约0.065(英镑英镑)即使即使0.065英镑略低于淡化海水成本英镑略低于淡化海水成本0.1英镑，英镑，不过模型假设和结构非常简化与粗糙。不过模型假设和结构非常简化与粗糙。第48页