数学建模之初等模型市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第1页一 雨中行走问题一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚才出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单事情是你应该在雨中尽可能地快走，以降低雨淋时间。但假如考虑到降雨方向改变，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好策略。试建立数学模型来探讨怎样在雨中行走才能降低淋雨程度。第2页1 建模准备建模目标：在给定降雨条件下，设计一个雨中行走策略，使得你被雨水淋湿程度最小。主要原因：淋雨量，降雨大小，降雨方向（风），旅程远近，行走速度2）降雨大小用降雨强度 厘米/时来描述，降雨强度指单位 时间平面上降下水厚度。在这里可视其为一常量。3）风速保持不变。4）你一定常速度 米/秒跑完全程 米。2 模型假设及符号说明1）把人体视为长方体，身高 米，宽度 米，厚度 米。淋雨总量用 升来记。第3页3 模型建立与计算1）不考虑雨方向，此时，你前后左右和上方都将淋雨。淋雨面积 雨中行走时间 降雨强度模型中结论，结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能降低淋雨量。第4页从而能够计算被淋雨水总量为2.041（升）。经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了2 升雨水，大约有4 酒瓶水量。这是不可思议。表明：用此模型描述雨中行走淋雨量不符合实际。原因：不考虑降雨方向假设，使问题过于简化。第5页2）考虑降雨方向。人前进方向若记雨滴下落速度为 （米/秒）雨滴密度为雨滴下落反方向表示在一定时刻在单位体积空间内，由雨滴所占空间百分比数，也称为降雨强度系数。所以，因为考虑了降雨方向，淋湿部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。第6页顶部淋雨量前表面淋雨量总淋雨量（基本模型）第7页能够看出：淋雨量与降雨方向和行走速度相关。问题转化为给定 ，怎样选择 使得 最小。情形1结果表明：淋雨量是速度减函数，当速度尽可能大时淋雨量是速度减函数，当速度尽可能大时淋雨量到达最小。淋雨量到达最小。假设你以6米/秒速度在雨中猛跑，则计算得第8页情形2 结果表明：淋雨量是速度减函数，当速度尽可能大时淋雨量是速度减函数，当速度尽可能大时淋雨量到达最小。淋雨量到达最小。假设你以6米/秒速度在雨中猛跑，则计算得情形3 此时，雨滴将从后面向你身上落下。第9页出现这个矛盾原因：我们给出基本模型是针对雨从我们给出基本模型是针对雨从你前面落到身上情形你前面落到身上情形。所以，对于这种情况要另行讨论。当行走速度慢于雨滴水平运动速度，即这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上雨水量是淋雨总量为第10页再次代如数据，得结果表明：当行走速度等于雨滴下落水平速度时，淋当行走速度等于雨滴下落水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上雨水淋湿了。雨量最小，仅仅被头顶上雨水淋湿了。若雨滴是以 角度落下，即雨滴以 角从背后落下，你应该以此时，淋雨总量为这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。第11页当行走速度快于雨滴水平运动速度，即你不停地追赶雨滴，雨水将淋湿你前胸。被淋得雨量是淋雨总量为第12页4 结论若雨是迎着你前进方向向你落下，这时策略很简单，应以最大速度向前跑；若雨是从你背后落下，你应控制你在雨中行走速度，让它刚好等于落雨速度水平分量。5 注意 关于模型检验，请大家观察、体会并验证。雨中行走问题建模过程又一次使我们看到模型假设重 要性，模型阶段适应性。第13页二 席位分配问题 某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各有多少个席位？按通例分配席位方案，即按人数百分比分配标准 表示某单位席位数 表示某单位人数 表示总人数 表示总席位数1 问题提出问题提出第14页2020个席位分配结果个席位分配结果系别人数n所占百分比分配方案席位数甲100100/200(50/100)20=10乙6060/200(30/100)20=6丙40 40/200(20/100)20=4现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。系别人数n所占百分比分配方案席位数甲103103/200=51.5%51.5%20=10.3乙6363/200=31.5%31.5%20=6.3丙34 34/200=17.0%17.0%20=3.410641064现象现象1 1 丙系虽少了丙系虽少了6 6人，但席位仍为人，但席位仍为4 4个。（不公平！）个。（不公平！）第15页为了在表决提案时可能出现10：10平局，再设一个席位。2121个席位分配结果个席位分配结果系别人数n所占百分比分配方案席位数甲103103/200=51.5%51.5%21=10.815乙6363/200=31.5%31.5%21=6.615丙34 34/200=17.0%17.0%21=3.5701173现象现象2 2 总席位增加一席，丙系反而降低一席。（不公平！）总席位增加一席，丙系反而降低一席。（不公平！）通例分配方法通例分配方法：按百分比分配完取整数名额后，剩下名额按百分比分配完取整数名额后，剩下名额按通例分给小数部分较大者。按通例分给小数部分较大者。存在不公平现象，能否给出更公平分配席位方案？存在不公平现象，能否给出更公平分配席位方案？第16页2 建模分析建模分析目标：建立公平分配方案。反应公平分配数量指标可用每席位代表人数每席位代表人数来衡量。系别 人数 席位数n每席位代表人数公平程度甲1031031010103/10=10.3103/10=10.3中中乙63636 663/6=10.563/6=10.5差差丙34 34 4 434/4=8.534/4=8.5好好系别人数席位数n每席位代表人数甲1001001010100/10=10100/10=10乙60606 660/6=1060/6=10丙40 40 4 440/4=1040/4=10第17页系别人数席位数n每席位代表人数公平程度甲1031031111103/11=9.36103/11=9.36中中乙63637 763/7=963/7=9好好丙34 34 3 334/3=11.3334/3=11.33差差普通地，单位人数席位数n每席位代表人数A AB B当席位分配公平第18页但通常不一定相等，席位分配不公平程度用以下标准来判断。此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好衡量标准。单位人数p席位数nn每席位代表人数绝对不公平标准A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C,DC,D不公平程度大为改进！第19页2）相对不公平表示每个席位代表人数，总人数一定时，此值越大，代表人数就越多，分配席位就越少。则A吃亏,或对A 是不公平。定义“相对不公平”对A 相对不公平值；同理，可定义对B 相对不公平值为：第20页对B 相对不公平值；建立了衡量分配不公平程度数量指标制订席位分配方案标准是使它们尽可能小。3 3 建模建模若A、B两方已占有席位数为用相对不公平值讨论当席位增加1 个时，应该给A 还是B 方。不失普通性，有下面三种情形。第21页情形情形1 1说明即使给A 单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。情形情形2 2说明当对A 不公平时，给A 单位增加1席，对B 又不公平。计算对B 相对不公平值情形情形3 3说明当对A 不公平时，给B 单位增加1席，对A 不公平。计算对A 相对不公平值第22页则这一席位给A 单位，不然给B 单位。结论结论：当（当（*）成立时，增加一个席位应分配给）成立时，增加一个席位应分配给A A 单位，单位，反之，应分配给反之，应分配给 B B 单位。单位。第23页记记则增加一个席位应分配给则增加一个席位应分配给QQ值值 较大一方。较大一方。这么分配席位方法称为QQ值方法值方法。若A、B两方已占有席位数为4 4 推广推广 有m 方分配席位情况设方人数为，已占有个席位，当总席位增加1 席时，计算则1 席应分给Q值最大一方。从开始，即每方最少应得到以1 席，（假如有一方1 席也分不到，则把它排除在外。）第24页5 举例举例甲、乙、丙三系各有些人数103，63，34，有21个席位，怎样分配？按按Q值方法：值方法：第25页甲1乙1丙145678910111213141516 1718192021甲：11，乙：6，丙：4第26页练习练习学校共1000学生，235人住在A楼，333人住在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人委员会，试用通例分配方法，dHondt方法和Q值方法分配各楼委员数，并比较结果。第27页dHondt方法有k个单位，每单位人数为 pi，总席位数为n。做法：用自然数1,2,3,分别除以每单位人数，从所得数中由大到小取前 n 个，（这n 个数来自各个单位人数用自然数相除结果），这n 个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。第28页