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深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院主讲：张文俊主讲：张文俊第1页数学欣赏数学观赏数学观赏A数学概览数学概览主讲：张文俊主讲：张文俊深圳大学数学学院9月A Survey on Mathematics第2页In this Chapter数学及其发展数学及其发展1数学价值数学价值2SZU第3页SZU 第一节第一节 数学及其发展数学及其发展第4页数学数学是什么是什么 数学分数学分支发展支发展数学数学分类分类 主要主要内容内容数学发数学发展轨迹展轨迹 第5页地王大厦有多高？第6页地王大厦有多高？v文学家文学家：巍然屹立、高大宏伟、高耸入云：巍然屹立、高大宏伟、高耸入云v物理学家物理学家：拿根绳子去量一量：拿根绳子去量一量v数学家数学家：v类类比比：选选取取标标尺尺，然然后后利利用用标标尺尺与与大大厦厦投投影影长长度度及及相相同同原原理理，准准确确地地测测量量出出大大厦厦高高度；度；v转转化化：利利用用直直角角三三角角形形直直角角边边长长与与其其对对角角依依赖赖关关系系，把把大大厦厦高高度度测测量量转转化化为为对对仰仰视视角测量。角测量。第7页名人语录 任何一门科学，只有当它用到数课时，才能得到任何一门科学，只有当它用到数课时，才能得到真正完善发展。真正完善发展。Karl Marx 数学是打开科学大门钥匙。数学是打开科学大门钥匙。Rogen Bacon 数学是我们时代有势力科学，它不声不响地扩大数学是我们时代有势力科学，它不声不响地扩大它所征服领域；那种不用数学为自己服务人将会发觉它所征服领域；那种不用数学为自己服务人将会发觉数学被他人用来反对他自己。数学被他人用来反对他自己。J.F.H第8页深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院数学数学是什么？是什么？1 1第9页一、数学是什么？v19世纪时由恩格斯给出定义世纪时由恩格斯给出定义 数数学学是是研研究究现现实实世世界界数数量量关关系系和和空空间间形形式式（简称：数与形）科学（简称：数与形）科学 按照恩格斯所说，按照恩格斯所说，数数与与形形是是数数学学两两大大基基本本柱柱石石之之一一。整整个个数数学都是由此提炼、演变与发展起来。学都是由此提炼、演变与发展起来。第10页一、数学是什么？代代数数数数量量关关系系科科学学，有有序序思思维维占占主主导导，培养计算与逻辑思维能力培养计算与逻辑思维能力；几几何何空空间间形形式式科科学学，视视觉觉思思维维占占主主导导，培养直觉能力和洞察力培养直觉能力和洞察力；分分析析数数形形关关系系科科学学，量量变变关关系系占占主主导导，函函数数为为对对象象、极极限限为为工工具具，培培养养周周密逻辑思维能力和建模能力密逻辑思维能力和建模能力。第11页一、数学是什么？v20世纪初定义世纪初定义 数学是研究模式与秩序科学数学是研究模式与秩序科学 数数学学研研究究基基本本对对象象是是各各种种各各样样集集合合以以及及在在它们上面赋予各种结构。它们上面赋予各种结构。第12页一、数学是什么？数学中基本集合包含：数学中基本集合包含：各种数集合；各种数集合；各类图形；各类图形；各类函数；各类函数；各种空间；各种空间；普通抽象集合等普通抽象集合等第13页一、数学是什么？数学中基本结构有三种：数学中基本结构有三种：代代数数结结构构（反反应应“合合作作”关关系系各各种种运运算算及及其算律）其算律）;次次序序结结构构（反反应应对对比比关关系系大大小小、先先后后，反反应隶属关系蕴涵）应隶属关系蕴涵）;拓拓扑扑结结构构（反反应应亲亲疏疏程程度度与与规规模模大大小小距距离离）。第14页一、数学是什么？数学之比喻数学之比喻 数学像游戏，离不开数学像游戏，离不开道具和规则。道具和规则。数学中，各种集合是数学中，各种集合是道具，而在各种集合上赋道具，而在各种集合上赋予各种结构是规则。予各种结构是规则。第15页一、数学是什么？数学之比喻数学之比喻 数学像演戏，离不开数学像演戏，离不开演员和剧本。演员和剧本。数学中，各种集合是数学中，各种集合是演员，演员被分配了角色演员，演员被分配了角色才能演戏。才能演戏。第16页一、数学是什么？比如：实数集实数集就是数学一个道具，就是数学一个道具，要在其上赋予要在其上赋予代数结构、序结构代数结构、序结构、拓扑结构，拓扑结构，才能展开数学理论。才能展开数学理论。第17页一、数学是什么？集集合合与与结结构构建建立立与与组组合合有有其其特特有有标标准准和和方方法法，这这表表达达为为数学独特思索方式数学独特思索方式。这些方式包含：。这些方式包含：模型化模型化最优化最优化公理化公理化抽象化抽象化符号化符号化类比类比化归化归分类分类第18页一、数学是什么？这这些些是是数数学学体体系系特特征征，也也是是数数学学能能力力表表达达。它们确保了它们确保了p数学体系简练性与严谨性数学体系简练性与严谨性p数学结论可靠性与普适性数学结论可靠性与普适性p数学方法有效性与便利性数学方法有效性与便利性p数学思想科学性与深刻性数学思想科学性与深刻性 第19页一、数学是什么？分分类类研研究究是是数数学学研研究究中中主主要要思思想想，比比如如，数数学学中中许许多多对对象象是是经经过过定定义义引引入入，这这种种“定定义义”方方法法，本本质质上上是是对对事事物物进进行行分分类类伎伎俩俩，它它把把符符合合某某种种性性质质事事物物划划为为一类，深入研究其基本性质。一类，深入研究其基本性质。第20页一、数学是什么？v化归方法是数学中重要方法。这一方面表现化归方法是数学中重要方法。这一方面表现在处理数学问题过程中，将复杂对象或陌生在处理数学问题过程中，将复杂对象或陌生对象化归为更熟悉简单对象；其次也表现在对象化归为更熟悉简单对象；其次也表现在数学结论中，数学中许多结论都表现为对一数学结论中，数学中许多结论都表现为对一种数学对象多个等价刻画，数学中种数学对象多个等价刻画，数学中“充分必充分必要条件要条件”是描述这一现象典型语句，它本质是描述这一现象典型语句，它本质上也是对数学对象性质化归。上也是对数学对象性质化归。第21页一、数学是什么？类类比比喻喻法法也也在在数数学学中中饰饰演演着着极极为为主主要要角角色色，许许多多陌陌生生对对象象性性质质和和研研究究方方法法都都来自于数学家类比思想。来自于数学家类比思想。第22页一、数学是什么？抽抽象象化化与与符符号号化化是是数数学学主主要要特特征征，它它使使得得数数学学概概念念脱脱离离了了事事物物物物质质属属性性，形形式简练、内涵丰富、应用广泛。式简练、内涵丰富、应用广泛。第23页一、数学是什么？公公理理化化方方法法使使数数学学丰丰富富理理论论建建立立在在最最简简单单明明了了、不不容容怀怀疑疑事事实实基基础础之之上上，轻轻易易明明辨辨是是非非。比比如如，几几何何学学正正确确性性归归结结于于诸诸如如“等等量量加加等等量量，总总量量仍仍相相等等”等等公公理理体体系系正正确确性性。公公理理化化方方法法也也是是数数学学逻逻辑辑严严密密性性一一个个表表现现。在在人人类类每每一一个个认认识识领领域域，当当经经验验知知识识积积累累到到相相当当数数量量时时，就就需需要要进进行行综综合合、整整理理，使使之之条条理理化化、系系列列化化，从从而而形形成成新新概概念念理理论论以以更更新新系系统统，以以实实现现认认识识从从感感性性阶阶段段到到理理性性阶阶段段飞飞跃跃。从从理理性性认认识识初初级级水水平平发发展到高级水平，又表现为抽象程度更高公理化体系。展到高级水平，又表现为抽象程度更高公理化体系。第24页一、数学是什么？最优化最优化是数学追求目标之一是数学追求目标之一；模模型型化化是是人人类类将将实实际际问问题题转转化化为为数数学学问问题题主主要伎俩；要伎俩；二二者者都都为为人人类类圆圆满满地地处处理理实实际际问问题题发挥了主要作用。发挥了主要作用。第25页一、数学是什么？v新世纪人们对数学新认识：新世纪人们对数学新认识：“方法方法”或或“工具工具”“思维思维”“数学思维数学思维”；“学科学科”“文化文化”“数学文化数学文化”；“知识知识”“素质素质”“数学素质数学素质”。第26页一、数学是什么？“数数学学思思维维”是是一一个个能能够够经经过过分分析析、类类比比等等方方法法从从众众多多事事物物现现象象中中归归纳纳出出其其共共性性和和本本质质性性抽抽象象性性思思维维，一一个个能能够够从从已已知知事事理理中中推推知知未未知知事事理理逻逻辑辑性性思思维维，一一个个勇勇于于突突破破常常规规、勇勇于于创创新新创创造造性性思思维维，一一个个用用数数学学方方法法模模拟拟与与验验证证现现实实世世界界模模式式化思维。化思维。第27页一、数学是什么？“数数学学文文化化”是是当当代代科科技技文文化化关关键键，是是当当代代科科技形式语言，是理性主义观念。技形式语言，是理性主义观念。“数数学学素素质质”则则是是含含有有“数数学学思思维维”能能力力和和利利用用数数学学思思想想方方法法处处理理实实际际问问题题能能力一个特殊素质。力一个特殊素质。第28页深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院数学数学分类分类2 2第29页二、数学分类 v从纵向划分：从纵向划分：初等数学和古代数学；初等数学和古代数学；变量数学；变量数学；近代数学；近代数学；当代数学。当代数学。第30页二、数学分类 初等数学和古代数学初等数学和古代数学：古希腊时期建立欧氏古希腊时期建立欧氏几何学几何学；古古代代中中国国、古古印印度度和和古古巴巴比比伦伦时时期期建建立立算算术术；欧洲文艺复兴时期发展起来欧洲文艺复兴时期发展起来代数方程代数方程等。等。初等数学又叫初等数学又叫常数数学常数数学。第31页二、数学分类 变变量量数数学学：是是指指17-1917-19世世纪纪初初建建立立与与发发展数学。展数学。起点：解析几何；标志：微积分（数学分析）；特点：数形结合，引入了变量，能够研究运动。第32页二、数学分类 近代数学近代数学：是指：是指1919世纪数学。世纪数学。主要特征：分析严密化;代数抽象化;几何非欧化。第33页二、数学分类 v当代数学：是指当代数学：是指20世纪数学。世纪数学。v起点：起点：19Hilbert提出提出23个未处理数学问题；个未处理数学问题；v特点：学科分支增多，交叉增强特点：学科分支增多，交叉增强(如：代数拓扑、微如：代数拓扑、微分拓扑、代数几何等）；分拓扑、代数几何等）；v基础：基础：Cantor集合论。集合论。第34页二、数学分类 v当代数学三大趋势：v交织发展、高度综合、逐步走向统一趋势；交织发展、高度综合、逐步走向统一趋势；v边缘、综合、交叉学科与日俱增趋势；边缘、综合、交叉学科与日俱增趋势；v数学表现形式、对象和方法日益抽象化趋势。数学表现形式、对象和方法日益抽象化趋势。第35页二、数学分类 v当代数学六大特征：v从单变量到多变量，从低维到高维；从单变量到多变量，从低维到高维；v从线性到非线性；从线性到非线性；v从局部到整体，从简单到复杂；从局部到整体，从简单到复杂；v从连续到间断，从稳定到分岔；从连续到间断，从稳定到分岔；v从准确到含糊；从准确到含糊；v计算机应用。计算机应用。第36页二、数学分类 v从横向划分：从横向划分：o基础数学（理论、纯粹数学）（代数、几何、分析，三大分支）o应用数学o计算数学o概率统计o运筹与控制论 第37页二、数学分类 做出以上分类方法是按照中国几十年通例进行。耶鲁大学计算机科学教授拉斯兹洛（Lszl Lovsz）在ICM98上载文“只有一个数学不存在划分数学自然方法”，从数学三个新趋势：规模扩大、应用领域扩大、计算机工具介入，说明试图寻找对数学科学分类是徒劳。比如，他说：第38页二、数学分类 没有一个领域能够退回到它象牙塔里而对应用关上大门；也没有一个领域能够宣称自己是应用数学。第39页深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院数学分支发展概观数学分支发展概观3 3第40页三、数学分支发展概观按按照照恩恩格格斯斯关关于于数数学学研研究究对对象象叙叙述述，数数学学大大致致上上分分为为三三类类：代代数数学学、几几何何学学、分析学。这其实包含了经典数学基本分支。分析学。这其实包含了经典数学基本分支。经经典典数数学学研研究究是是事事物物确确实实定定数数量量关关系系和和空空间间形形式式，康康托托经经典典集集合合论论是是其其理理论论基基础。础。第41页三、数学分支发展概观然然而而，现现实实生生活活中中事事物物并并非非全全都都如如此此，它它们们现现有有确确定定性性现现象象，也也有有随随机机现现象象，还还有有含含糊糊现现象象，更更有有可可改改变变事事物物现现象象，所所以以对对应应地地就就产产生生了了研研究究随随机机现现象象随随机机数数学学，研研究究含含糊糊现现象象含糊数学，研究可变现象可拓数学。含糊数学，研究可变现象可拓数学。第42页三、数学分支发展概观1 1 几何学通论几何学通论几几何何学学就就是是人人类类文文明明对对空空间间本本质质“认认识识论论”；宇宇宙宙中中全全部部事事物物皆皆存存在在于于其其中中、发发生生于于其其内内，并并永永远远受受着着空空间间本本质质制制约约与与孕孕育育；而而空空间间既既完完美美又又简简单单本本质质则则是是孕孕育育着着宇宇宙宙万万物物万万象象中中至至精精至至简简根根源源。几几何何学学目目标标就就是是去去研研究究、了了解解空空间间本本质质，它它是是我我们们认认识识大大自自然然、了了解解大大自自然然自自然然起起点点和和基基石石所所在在；也也是是整整个个自自然然科科学学启启蒙蒙者者和和奠基者；是种种科学思想和方法论自然发祥地。奠基者；是种种科学思想和方法论自然发祥地。第43页三、数学分支发展概观研研究究对对象象:诸诸如如“几几何何物物体体”和和图图形形几几何何量量，是空间形式抽象化是空间形式抽象化;研究内容研究内容:各种几何量关系与相互位置各种几何量关系与相互位置;研究方法研究方法:试验方法、思辨方法、解析方法试验方法、思辨方法、解析方法第44页三、数学分支发展概观欧几里得几何学欧几里得几何学在在认认可可一一些些自自明明公公理理前前提提下下，按按照照严严密密演演绎绎推推理理方方法法，一一层层一一层层地地建建立立起起来来一一套套系系统统严严密密几几何学知识体系。何学知识体系。第45页三、数学分支发展概观解析几何解析几何v1637年年，法法国国数数学学家家笛笛卡卡尔尔引引入入了了坐坐标标观观念念，实实现现了了数数形形结结合合，创创建建了了解解析析几几何何，使使得得人人们们能能够够用用代代数数方方法法研研究究几几何何问问题题，实现了数学两大分支代数与几何联络。实现了数学两大分支代数与几何联络。v两两个个主主要要观观念念：点点、数数联联络络坐坐标标观观念念，曲曲线方程表示观念。线方程表示观念。第46页三、数学分支发展概观向量几何向量几何也也叫叫向向量量代代数数，该该学学科科产产生生于于十十九九世世纪纪中中叶叶，是是由由德德 国国 数数 学学 家家 哈哈 密密 尔尔 顿顿（W.R.Hamilton,18051865）和和 格格 拉拉 斯斯 曼曼（H.G.Grassmann，18091877）等等创创建建。向向量量几几何何是是不不依依赖赖于于坐坐标标系系解解析析几几何何，是是坐坐标标几几何何返返璞璞归归真真和和精精益益求求精精，它它使使得得几几何何和和代代数数结结合合得得愈愈加加真真切切自然、直截了当。自然、直截了当。第47页三、数学分支发展概观分形几何分形几何分分形形几几何何概概念念是是美美籍籍法法国国数数学学家家曼曼德德尔尔布布罗罗特特（B.B.Mandelbrot）在在1975年年首首先先提提出出，被被誉誉为为大大自自然然几几何何学学。这这是是当当代代数数学学一一个个新新分分支支，其其本本质质是是一一个个新新世世界界观观和和方方法法论论。它它与与动动力力系系统统混混沌沌理理论论交交叉叉结结合合，相相辅辅相相成成；它它认认可可世世界界局局部部可可能能在在一一定定条条件件下下、一一定定过过程程中中、在在某某首首先先（形形态态，结结构构，信信息息，功功效效，时时间间，能能量量等等）表表现现出出与与整整体体相相同同性性；它它认认可可空空间间维维数改变既能够是离散，也能够是连续。数改变既能够是离散，也能够是连续。第48页三、数学分支发展概观v2 代数学大观代数学大观v代数学是研究数科学，起源于古代中国和古埃及。代数学是研究数科学，起源于古代中国和古埃及。早期代数学其实是研究数运算，所以叫做算术。早期代数学其实是研究数运算，所以叫做算术。“代数学代数学”一词源自于拉丁文一词源自于拉丁文algebra（公元（公元12世世纪之后），但它又是从阿拉伯文纪之后），但它又是从阿拉伯文“还原与对消还原与对消”（al-jaber walmuqabala）（公元）（公元8左右）左右）或或“方程科学方程科学”改变而来。改变而来。第49页三、数学分支发展概观代数学符号化代数学符号化第第一一阶阶段段是是文文字字代代数数学学，其其主主要要标标志志是是，代代数数书书全部由文字表述。全部由文字表述。第第二二阶阶段段是是简简写写代代数数学学，其其主主要要标标志志是是，采采取取以以速记为目标简写形式表示数量、关系与运算。速记为目标简写形式表示数量、关系与运算。第第三三阶阶段段是是符符号号代代数数学学。法法国国数数学学家家韦韦达达（Viete,Francois.15401603）对对代代数数学符号化发展作出了主要贡献。学符号化发展作出了主要贡献。第50页三、数学分支发展概观初等代数学初等代数学初初等等代代数数是是代代数数学学古古典典部部分分，它它是是伴伴随随解解方方程程与与方方程程组组而而产产生生并并发发展展起起来来，是是研研究究数数字字和和文文字字代代数数运运算算理理论论和和方方法法科科学学，更更确确切切说说，是是研研究究实实数数和和复复数数，以以及及以以它它们们为为系系数数多多项项式式代代数数运运算算理理论论和和方方法法数数学学分分支学科。支学科。第51页三、数学分支发展概观初初等等代代数数中中心心问问题题是是研研究究方方程程或或方方程程组组解解存存在在性性、解解个个数数、解解结结构构问问题题，因因而而长长久久以来都把代数学了解成方程科学。以来都把代数学了解成方程科学。第52页三、数学分支发展概观初等代数基本对象包含：初等代数基本对象包含：v三种数三种数有理数、无理数、复数；有理数、无理数、复数；v三种式三种式整式、分式、根式。整式、分式、根式。第53页三、数学分支发展概观初等代数中心对象初等代数中心对象v方方程程整整式式方方程程、分分式式方方程程、根根式式方方程和方程组。程和方程组。第54页三、数学分支发展概观初等代数基本内容初等代数基本内容v代代数数式式运运算算和和方方程程求求解解，其其中中代代数数运运算算特点是只进行有限次运算。特点是只进行有限次运算。第55页三、数学分支发展概观初等代数运算十条规则：初等代数运算十条规则：v五五条条基基本本运运算算律律（加加法法交交换换律律、加加法法结结合合律律、乘乘法交换律、乘法结合律、分配律）；法交换律、乘法结合律、分配律）；v两两条条等等式式基基本本性性质质（等等式式两两边边同同时时加加上上一一个个数数，等等式式不不变变；等等式式两两边边同同时时乘乘以以一一个个非非零零数数，等等式式不变）；不变）；v三三条条指指数数律律（同同底底数数幂幂相相乘乘，底底数数不不变变指指数数相相加加；指指数数乘乘方方等等于于底底数数不不变变指指数数相相乘乘；积积乘乘方方等等于于乘乘方积）。方积）。第56页三、数学分支发展概观高等代数学高等代数学高高等等代代数数是是代代数数学学发发展展到到高高级级阶阶段段总总称称，现现在在大大学学里里开开设设高高等等代代数数，普普通通包包含含两两部部分分：线线性性代数、多项式代数。代数、多项式代数。第57页三、数学分支发展概观线线性性代代数数研研究究对对象象是是线线性性方方程程组组，研研究究内内容容是是线线性性方方程程组组解解存存在在性性、解解个个数数、解解结结构构问问题题，研研究究工工具具包包含含矩矩阵阵、行行列列式式等等。围围绕绕线线性性方方程程组组这这些些关关键键问问题题，线线性性代代数数不不但但要要研研究究数数，数数运运算算，还还有有矩矩阵阵、向向量量、向向量量空空间间运运算算以以及及变变换等。换等。第58页三、数学分支发展概观多多项项式式理理论论是是以以代代数数方方程程根根计计算算和和分分布布作作为为中中心心问问题题，也也叫叫做做方方程程论论。研研究究多多项项式式理理论论，主主要要在在于于探探讨讨代代数数方方程程性性质，从而寻找简易解方程方法。质，从而寻找简易解方程方法。第59页三、数学分支发展概观3 分析学大意分析学大意分分析析学学是是指指以以微微积积分分学学为为基基本本内内容容数数学学分分支支全全称称，包包含含微微积积分分学学、微微分分方方程程、复复变变函函数数、实实变变函函数数、泛泛函函分分析析等等。这这里里我我们们只只介介绍绍微微积积分分等等几几个个基基础础分分支支学。学。第60页三、数学分支发展概观微积分学微积分学 简简单单地地来来说说，微微积积分分学学是是微微分分学学和和积积分分学学总称，其总称，其v研究对象研究对象是函数；是函数；v研究工具研究工具是极限；是极限；v研研究究内内容容包包含含函函数数微微分分、积积分分，以以及及联联络络微分与积分桥梁微分与积分桥梁微积分基本定理。微积分基本定理。第61页三、数学分支发展概观4 4 随机数学一瞥随机数学一瞥在在自自然然界界和和现现实实生生活活中中，一一些些事事物物都都是是相相互互联联络络和和不不停停发发展展。在在它它们们彼彼此此间间联联络络和和发发展展中中，依依据据它它们们是是否否有有必必定定因因果果联联络络，能能够够分分成成截截然然不不一一样样两两大大类类：一一类类是是确确定定性性现现象象，另另一一类类是是不不确确定定性性现现象象，这这类类现现象象是是在在一一定定条条件件下下，它它结结果果是是不不确确定定。这这种种现现象象叫叫做做偶偶然然现现象象，或或者者叫做叫做随机现象随机现象。第62页三、数学分支发展概观从从表表面面上上看看，随随机机现现象象似似乎乎是是杂杂乱乱无无章章、没没有有什什么么规规律律现现象象。但但实实践践证证实实，假假如如同同类类随随机机现现象象大大量量重重复复出出现现，它它总总体体就就展展现现出出一一定定规规律律性性，叫叫做做统统计计规规律律性性。概概率率论论和和数数理理统统计计就就是是研研究究大大量量同同类类随随机机现现象象统统计计规规律律性性数数学学学学科科，统统称称为为随机数学随机数学。第63页三、数学分支发展概观5 5 含糊数学概览含糊数学概览现现实实生生活活中中有有许许多多含含糊糊现现象象，比比如如，秃秃子子、年年轻轻、高高个个子子、胖胖子子、洁洁净净，好好、漂漂亮亮、善善、热热、远远等等。含含糊糊数数学学就就是是研研究究怎怎样样处处理理与与把把握握这这些些含含糊糊现现象象科科学学，其其基基础础是是1965年年美美国国控控制制论论教教授授、数数学学家家查查德德（Zadeh,L.A.1921）引引入入了了含含糊糊集集合合概概念念。含含糊糊集集合合描描述述事事物物“是是”与与“非非”程度。程度。第64页三、数学分支发展概观6 可拓学可拓学中国人自己创建新学科中国人自己创建新学科全全世世界界有有多多门门学学科科，而而中中国国人人自自己己创创建建则则极极少少。以以研研究究处处理理矛矛盾盾问问题题规规律律和和方方法法为为内内容容新新兴兴学学科科可可拓拓学学，是是由由广广东东工工业业大大学学蔡蔡文文研研究究员员创创建建。蔡蔡文文先先生生引引进进了了物物元元概概念念，它它是是包包含含事事物物名名称称N、特特征征C和和关关于于此此特特征征量量值值V有有序序三三元组元组R=（N，C，V）。）。第65页三、数学分支发展概观可可拓拓学学有有两两个个理理论论支支柱柱，一一个个是是研研究究物物元元及及其其改改变变物元理论物元理论，一个是建立在可拓集合基础上，一个是建立在可拓集合基础上可拓数学可拓数学。物物元元理理论论着着重重研研究究物物元元可可拓拓性性，物物元元可可变变性性，借借以以探探索索事事物物改改变变过过程程，寻寻求求处处理理问问题题方方法法。所所谓谓物物元元可可拓拓性性，即即可可开开拓拓性性，是是指指事事物物改改变变各各种种可可能能性性，包包含含发发散散性性、可可扩扩性性、共共轭轭性性和和相相关关性性。所所谓谓物物元元可可变变性性，即即可可变变换换性性，是是指指在在一一定定条条件件下下，物物元元要要素（事物、特征和量值）变换或分解。素（事物、特征和量值）变换或分解。第66页三、数学分支发展概观可可拓拓数数学学是是对对应应用用数数学学发发展展，它它是是建建立立在在可可拓拓集集合合基基础础上上。在在现现实实世世界界中中，事事物物是是可可变变，事事物物含含有有某某种种性性质质程程度度也也是是可可变变，所所以以，“是是”与与“非非”及及其其程程度度都都是是能能够够转转换换。蔡蔡文文先先生生在在1983年年引引入入可可拓拓集集合合概概念念，兼兼顾顾了了这这些些原原因因。在在此此基基础础上上，建建立立了了可可拓拓数数学学，从从经经典典数数学学对对数数量量关关系系和和空空间间形形式式研研究究发发展展到到对对物物元元关关系系和和物物元元空空间间形形式式研研究究，以以矛矛盾盾问问题题转转化化为为研研究究对对象象，成成为为可可拓拓学学一一大大理理论论支支柱柱。应应用用可可拓拓数数学学，使使人人们们能能够够定定量量研研究究自自然然科科学学、社社会会科科学和工程技术中各种矛盾问题。学和工程技术中各种矛盾问题。第67页深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院数学形成与发展原因与轨迹数学形成与发展原因与轨迹 4 4第68页四、数学形成与发展原因与轨迹 陈省身说：陈省身说：大致说来，数学和其它科学一样，它发展基于两个原因：（1）奇怪现象；（2）数学结果应用。结果把奥妙变为常识，复杂变为简单，数学便成为科学有利而不可缺乏工具。第69页四、数学形成与发展原因与轨迹 1.1.数学形成与发展原因数学形成与发展原因 实用、科学、哲学和美学原因，共同促进了数学形成与发展。第70页四、数学形成与发展原因与轨迹 v第第一一动动力力：处处理理因因社社会会需需要要而而直直接接提提出出问问题题。这这为为人人类类认认识识与与改改造造自自然然提提供供了了工工具具与方法。与方法。初初等等数数学学欧欧几几里里德德几几何何学学、代代数数方方程程以以及及高高等等数数学学概概率率论论、运运筹筹学学等等，都都是是为为处处理理实际问题而产生与发展。实际问题而产生与发展。第71页四、数学形成与发展原因与轨迹 v第二动力第二动力：提供自然现象合理结构。提供自然现象合理结构。数数学学概概念念、方方法法和和结结论论都都是是物物理理学学基基础础。这这些些学学科科成成就就大大小小取取决决于于它它们们与与数数学学结结合合程度。程度。图图论论、拓拓扑扑学学、微微分分几几何何、复复变变函函数数等等都都是所以而产生。是所以而产生。第72页四、数学形成与发展原因与轨迹 v第第三三动动力力：智智力力方方面面好好奇奇心心和和对对纯纯思思维维强强烈兴趣。烈兴趣。数数论论、非非欧欧几几何何、射射影影几几何何等等都都在在很很大大程程度上受这一动力影响。度上受这一动力影响。第73页四、数学形成与发展原因与轨迹 v第四动力第四动力：对美追求。对美追求。数数学学除除了了其其完完美美结结构构美美以以外外，在在证证实实和和得得出出结结论论过过程程中中，所所利利用用想想象象和和直直觉也为创造者提供了高度美学上满足。觉也为创造者提供了高度美学上满足。数学美几乎表达在数学每一个分支中。数学美几乎表达在数学每一个分支中。第74页四、数学形成与发展原因与轨迹 2.2.数学发展轨迹数学发展轨迹v数学发展基本模式是：详细详细抽象抽象详细。详细。从从详详细细事事物物、现现象象（详详细细）出出发发，提提炼炼出出能能够够反反应应其其本本质质结结构构（抽抽象象）进进行行研研究究，研研究究结结果果再再返返回回到到（更更多多、更更广广泛泛）详详细细事物、对象（事物、对象（详细详细）中。）中。第75页四、数学形成与发展原因与轨迹 在在提提炼炼与与实实现现数数学学结结构构过过程程中中，猜猜测测与与证证实实是是两两大大基基本本支支柱柱：数数学学结结论论孕孕育育有有赖赖于于猜猜测测，数数学学结结论论确确实实立立离不开证实。离不开证实。第76页四、数学形成与发展原因与轨迹 v数学发展基本思绪：数学发展基本思绪：o特殊东西，加以推广，方便适用更广；特殊东西，加以推广，方便适用更广；o普通东西，给予特殊化，以求更加好结果；普通东西，给予特殊化，以求更加好结果；o复杂东西，加以分解，以求各个击破；复杂东西，加以分解，以求各个击破；o零碎东西，加以组合，以求全貌；零碎东西，加以组合，以求全貌；o陌生东西，类比熟知，经过已知研究未知。陌生东西，类比熟知，经过已知研究未知。第77页四、数学形成与发展原因与轨迹 3.3.数学发展启示数学发展启示龚升教授在他龚升教授在他微积分五讲微积分五讲中强调中强调:数数学学中中每每一一步步真真正正进进展展都都与与更更有有力力工工具具和和更更简简单单方方法法发发觉觉亲亲密密联联络络着着。这这些些工工具具和和方方法法同同时时会会有有利利于于了了解解已已经经有有理理论论并并把把陈陈旧旧、复复杂杂东东西西抛到一边。数学科学发展这种特点是根深蒂固。抛到一边。数学科学发展这种特点是根深蒂固。第78页SZU第二节第二节 数学价值数学价值第79页数学数学特点特点美学美学价值价值文化文化价值价值 主要主要内容内容教育教育价值价值 第80页深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院起死回生问题起死回生问题引子引子第81页起死回生问题从从前前有有一一个个国国王王，非非常常珍珍惜惜人人才才，即即使使是是对对囚囚犯犯也也不不例例外外。国国王王要要求求，对对于于死死囚囚，在在押押赴赴刑刑场场时时能能够够给给他他一一次次生生存存机机会会。为为此此，在在押押赴赴囚囚犯犯到到刑刑场场途途中中，他他们们设设计计一一个个丁丁字字路路口口，在在这这个个路路口口有有两两个个前前进进方方向向可可供供选选择择，一一个个通通向向刑刑场场，另另一一个个则则通通向向光光明明大大道道。不不过过两两个个方方向向入入口口处处各各有有一一个个士士兵兵把把守守，这这两两个个士士兵兵中中一一个个只只讲讲真真话话不不讲讲假假话话，而而另另一一个个则则只只讲讲假假话话不不讲讲真真话话，除除了了他他们们二二人人之之外外，其其它它人人并并不不知知道道他他们们中中间间谁是讲真话者。谁是讲真话者。第82页起死回生问题国王给囚犯提供逃生机会是：国王给囚犯提供逃生机会是：允允许许囚囚犯犯只只向向其其中中一一个个士士兵兵问问唯唯一一一一个个问问题题，然然后后依依据据士士兵兵回回答答来来自自己己决决定定朝朝哪哪个个方方向向前前进进。假假如如走走向向刑刑场场，则则要要执执行行死死刑刑，假假如如走走向光明大道，则能够自由逃生。向光明大道，则能够自由逃生。第83页起死回生问题因因为为事事先先并并不不知知道道两两个个士士兵兵中中谁谁是是说说真真话话者者，又又不不能能多多问问一一个个问问题题以以求求识识别别真真假假，许许多多囚囚犯犯面面对对这这么么逃逃生生机机会会不不知知所所措措，只只好好听听天天由由命命。有有难难免免一一死死，有有侥侥幸幸逃逃生生。有有一一天天，一一个个精精通通数数学学和和逻逻辑辑囚囚犯犯，在在这这里里依依靠靠自自己己聪聪明明才才智智，明明白白无无误误地地为为自自己己捡捡来来一一条条性性命命。那那么么，他他提提了了一一个个什什么么问问题呢？题呢？第84页起死回生问题囚犯问其中一个士兵：囚犯问其中一个士兵：假假如如我我问问他他（另另一一个个士士兵兵）哪哪一一条条路路通通向向光光明明大大道道，他会怎样回答？他会怎样回答？第85页名人语录 任何一门科学，只有当它用到数任何一门科学，只有当它用到数课时，才能得到真正完善发展。课时，才能得到真正完善发展。马克思马克思第86页名人语录 参加开发普通智力参加开发普通智力不是为了不是为了今后某一职业特定需要，应看成是数今后某一职业特定需要，应看成是数学教育基本目标。学教育基本目标。F.ReidtF.R第87页名人语录 音音乐乐能能激激发发或或抚抚慰慰情情怀怀，绘绘画画使使人人赏赏心心悦悦目目，诗诗歌歌能能感感人人心心弦弦，哲哲学学使使人人取取得得智智慧慧，科科学学可可改改进进物物质质生生活活，但数学能给给予上一切。但数学能给给予上一切。克莱因克莱因第88页名人语录 展展现现在在我我们们面面前前宇宇宙宙，像像一一本本用用数数学学语语言言写写成成书书，若若不不掌掌握握数数学学语语言言符符号号，就就像像在在黑黑暗暗迷迷宫宫里里游游荡荡，什什么么也也认识不清。认识不清。伽利略伽利略第89页深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院深圳大学数学与计算科学学院从数学特点看从数学特点看数学教育对人素质影响数学教育对人素质影响1 1第90页一、数学特点v数学特点数学特点概念抽象性概念抽象性推理严密性推理严密性结论确实定性结论确实定性应用广泛性应用广泛性 第91页 这这四四大大特特点点反反应应了了数数学学发发展展过过程程整整个个内内蕴蕴与外延本质。与外延本质。v起点起点：概念抽象；：概念抽象；v过程过程：推理严密；：推理严密；v结论结论：确定；：确定；v结果结果：应用广泛。：应用广泛。数学是用简明而又严格方式描述复杂现象。数学是用简明而又严格方式描述复杂现象。一、数学特点第92页1.1.概念抽象性概念抽象性 数学来自于实践，其最本质东西是抽象，抽象是人类创造性思维最基本特征。数学概念、方法大多是经过对现实世界事物对象及其关系，经过分析、类比、归纳，找出其共性与本质特征而抽象得来。一、数学特点第93页对于一个数学家来说，主要不是他研究对象详细化，而是它们性质或本质规律。这种思维就是抽象思维，其关键点在于经过不停深刻地从小模式中抽象出必要性质，去除（或者综合）次要性质，用尽可能少条件来推出尽可能多结论。一、数学特点第94页“抽抽象象”不不是是目目标标，不不是是人人为为地地增增加加了了解解难难度度，而而是是要要抓抓住住事事物物本本质质。经经过过抽抽象象，能够能够v把表面复杂东西变得简单把表面复杂东西变得简单v把表面混沌东西变得有序把表面混沌东西变得有序v把表面无关东西得到统一把表面无关东西得到统一一、数学特点第95页数学抽象特色：数学抽象特色：v在数学抽象中只保留了量关系和空间形式，舍在数学抽象中只保留了量关系和空间形式，舍弃诸如色彩、品质等原因；（比如：数、点、弃诸如色彩、品质等原因；（比如：数、点、线等原始概念）线等原始概念）v数学抽象是一级一级逐步提升，其抽象程度远数学抽象是一级一级逐步提升，其抽象程度远远超出了其它学科普通抽象；（比如：从点到远超出了其它学科普通抽象；（比如：从点到线，到面，到体，到欧氏空间，再到普通拓扑线，到面，到体，到欧氏空间，再到普通拓扑空间等）空间等）v数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们相互数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们相互关系之中。关系之中。一、数学特点第96页所以，不但数学概念是抽象，其思想方法也是抽象（如加、减、群等），整个数学都是抽象。一、数学特点受过良好数学教育人，善于抓住事物本质，做事简练、不拖泥带水，含有统一处理一类问题能力，含有创新胆略和勇气。第97页2.2.推理严密性推理严密性 在在数数学学发发展展过过程程中中，数数学学每每前前深深
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