等差数列常考题型归纳总结很全面.doc

等差数列及其前项和
教学目标：
1、熟练掌握等差数列定义；通项公式；中项；前项和；性质。
2、能熟练的使用公式求等差数列的基本量，证明数列是等差数列，解决与等差数列有关的简单问题。
知识回顾：
1．定义：
一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或.（证明数列是等差数列的关键）
2．通项公式：
等差数列的通项为：，当时，是关于的一次式，它的图象是一条直线上自然数的点的集合。推广：
3．中项：
如果,，成等差数列,那么叫做与的等差中项;其中。
4．等差数列的前n 项和公式
可以整理成Sn＝n2＋。当d≠0时是的一个常数项为0的二次函数。
5．等差数列项的性质
（1)在等差数列中，若，，,且，则；特别的，若，，且，则。
（2）已知数列为等差数列，为其前n 项和，则
（3）若等差数列的前n项和为，则也成等差数列，公差；
（4）；
（5)若数列{｝是公差为d的等差数列,则数列也是等差数列，且公差为______。
考点分析
考点一：等差数列基本量计算
例1、等差数列中，，则的值为
练习
（1）设是等差数列的前n项和．已知＝3,＝11,则等于
A．13 B．35 C．49 D．63
(2）数列为等差数列，且，,则公差d＝
A．－2 B．－ C． D．2
（3）在等差数列中，已知，则该数列的前5项之和为
A．10 B．16 C．20 D．32
（4)若等差数列｛an｝的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
(5）记等差数列{an｝的前n项和为Sn，若a1＝,S4＝20,则S6等于(　　）
A．16 B．24 C．36 D．48
（6）的前n项和为，若，,则等于(　　）
A．8　　　B．10 C．12 D．14
考点二：等差数列性质应用
例1、等差数列中，，则该数列前13项的和是（　　)
A．13 B．26 C．52 D．156
练习
1、在等差数列中,,则的值为
A．5 B．6 C．8 D．64
2、在等差数列中,，则（ ）
A．5 B．8 C．10 D．14
3、设数列｛an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12,则a1＋a2＋…＋a7等于(　　）
A．14 B．21 C．28 D．35
例2、设等差数列{an｝的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A．63 B．45 C．36 D．27
练习、已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.
例3、已知Sn是等差数列{an｝的前n项和，若a1＝－2 014，－＝6，则S2 016＝________.
练习、(1）已知等差数列{an｝的前n项和为Sn,且满足－＝1,则数列｛an｝的公差是（　　）
A. B．1 C．2 D．3
例4、设分别是等差数列、的前项和，,则 。
例5、已知等差数列的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为________。
练习1、若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）
A．13项 B．12项 C．11项 D．10项
2、等差数列的公差,，那么=
A．－78 B．－82 C．－148 D．－182
考点三:等差数列的证明
例1：在数列中，，,，其中
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求证：在数列中对于任意的,都有
练习1、数列满足。
（1）设，证明是等差数列；
（2）求数列的通项公式。
2、 已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N＊)，数列{bn}满足bn＝（n∈N*）．求证：数列{bn｝是等差数列;
3、数列满足:，.求证：是等差数列；
小结与拓展:
(1）定义法：（,是常数)是等差数列;
（2)中项法：（)是等差数列；
（3)通项公式法：（是常数）是等差数列;
(4）前项和法：Sn＝＋(是常数）是等差数列
考点四：等差数列前项和的最值
（1），时，有最大值；,时，有最小值;
（2)最值的求法:①若已知，可用二次函数最值的求法（)；②找到正负项分界的是第几项。
例1、数列中，，当数列的前项和取得最大值时，
练习1、设等差数列的前n项和为,若,，则当取最小值时n等于（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
2、若等差数列满足，,则当________时的前项和最大.
例2、在等差数列中,，公差为d，前n项和为,当且仅当n＝8时，取得最大值，则d的取值范围为________.
例3、等差数列中,，前项和为，且仅当,则当 时,取最大值。
练习1、设数列是等差数列,且,，是数列的前项和,则（ ）
A． B． C． D．
2．设是等差数列，Sn是其前n项的和，且则下列结论错误的是（ ）
A． B。． C． D．S6与S7均为Sn的最大值
考点五：等差数列和项转换
例1、已知数列的前项和为，求。
练习1、已知数列的前项和为，求。
2、设数列的前n项和,则的值为( ）
A．15 B．16 C．49 D．64
习题15。2
1、在等差数列中，
（1） 已知；
（2） 已知；
（3） 已知；
（4） 已知。
2、在等差数列｛}中，
（1）已知，求和
（2）已知，求和
（3）求d及n；
（4）；
（5）;
(6）。
3、等差数列的前项和记为,已知.
（1）求通项公式；
（2）若，求。
4、设为等差数列的前项和，若,则
5、等差数列的前项和，若，则( )
A．8 B．10 C．12 D．14
6、已知道单调递增的等差数列的前三项和为21，前三项积为231，则
7、在等差数列中,,则
8、数列中,，当数列的前项和取得最大值时，
9、数列是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.
（1）求数列的公差；
（2)求前n项和Sn的最大值；
（3）当时，求n的最大值。
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