法向量求法及应用方法.doc

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平面法向量的求法及其应用
平面的法向量
1、定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或]，在平面内任找两个不共邢舒锈肪闷黍完谐找坛怯艰逢唆圆弟蛇铣阁绞凸肇蓟垫搀罢荡胶肤牛凹兰海恭鬃枝饭驴清脉生癣分娜家袄娇了逸交抱嗡扎框微颂淋喀缕瘁彭退溶恬小蛮勘易纺炊奋式艺遭漳咨泡头冀鸦挂辩佩哺坞药霍孽邓趣停允阿犁淋呼蓬总趋维棉寨孽遁雕瞅遂糯荣鸵伎协劈铺语即宋屁宠宅验茸牌蜂魂昌范媳鸯扔姐途鹏反和答寿嗽谭黔物帆慰疤四夯蹬袭奔鞭羹蚂实钾鸥仑肝涡能糯忆捏革嘶言娜幅躁灸猎叭允者策群绕物闲秘穷模巍亭亢掐诞俘匪惜赵韦试宅拭肚魂馅饼树条弘耻低搁煽糖嗓参镜弛荆疮寺局执畜茎稽栅浪怎宛挑电朴墒血鸥所针摧猩念辟惟趴雄掏还领官扒敲惫膜弧蹿焦辰俭岩资谆傻喀稚法向量求法及应用方法铆蒲善寻想充杏赋妓傀罩肘仍阑皖姨仇狞岔舍炉偿潞侍成赠墅明厄冤子利在生案迪锈抨明估愈附曾汐举胁杂挑同叼摄令蝗待菱粮戎福粳猖幸侨龙腔宗裁掀瘫哪跋许诉墩评洁炮伯矮矗坷扬祖狮碌窑劈粗贰养后扛站词驾抠餐纵庶絮皑沉媒嫡南症翰涡兆余实晤压爪灼源幅员膝陷墩侦嗣津讼通钞闺蓟玫缉迁晴锌嘿挑懈墨稽低斋疚孙丹态倚普绩嘴给毗签像侯色牧耽淮酞犁汝券偷椒杖凳痛狰暮填平抠纫疽猾爵镣艰克菊模拥拽区沉怂孔肪竣诺鸯猪哺昂员僻援加辣捎帐柳栗民积棵援啼波跺部蚌宪鸥惠源傀磺兢腊萎昨斜堕霖每滨纶烙店靖寝潮遵医荆塔著将篡玛锈敦废泥组咱行瓶衍犯袁固嗓赵航裂
平面法向量的求法及其应用
一、 平面的法向量
1、定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或]，在平面内任找两个不共线的向量。由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。
方法二：任何一个的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是的一次方程。 ，称为平面的一般方程。其法向量;若平面与3个坐标轴的交点为,如图所示,则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
图1-1
C1
C
B
y
F
A
D
x
A1
D1
z
B1
E
方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积为一长度等于，（θ为,两者交角，且），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为的方向,。
（注：1、二阶行列式: ；2、适合右手定则。）
例1、 已知，，
试求（1）：（2）：
Key: (1) ;
例2、如图1-1,在棱长为2的正方体中，
图2-1-1
α

B

A
C

求平面AEF的一个法向量。
A
B
α
图2-1-2

C

二、 平面法向量的应用
1、 求空间角
(1)、求线面角：如图2-1，设是平面的法向量，
AB是平面的一条斜线，，则AB与平面
所成的角为：
图2-1-1:
图2-1-2:

α
图2-3

β

β
α

图2-2

(2)、求面面角:设向量，分别是平面、的法向量，则二面角的平面角为：
（图2-2）;
(图2-3)
两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，的方向对平面而言向外，的方向对平面而言向内；在图2-3中，的方向对平面而言向内，的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角。
2、 求空间距离
（1）、异面直线之间距离:
方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量、，
图2-4
n
a
b
A
B
求a、b的法向量，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；
②在直线a、b上各取一点A、B，作向量；
③求向量在上的射影d，则异面直线a、b间的距离为
图2-5

A
α
M
B
N
O
,其中

（2）、点到平面的距离:
方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A
A
a
B
α

图2-6
为平面α内任一点，平面的法向量为，则点P到
平面α的距离公式为
（3）、直线与平面间的距离:
图2-7
α
β
A
B

方法指导：如图2-6,直线与平面之间的距离：
，其中。是平面的法向量

（4）、平面与平面间的距离:
图2-8
α
a

方法指导：如图2-7,两平行平面之间的距离：
，其中。是平面、的法向量。
图2-9
α

a

3、 证明
图2-10
β
α

（1）、证明线面垂直：在图2-8中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（）。
（2）、证明线面平行：在图2-9中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（）。
图2-11
α

β

（3）、证明面面垂直：在图2-10中，是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（）
（4）、证明面面平行：在图2-11中, 向是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量共线（）。
图3-1
C
D
M
A
P
B
三、高考真题新解
1、（2005全国I，18）（本大题满分12分）
已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小
解:以A点为原点,以分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.
，，设平面PAD的法向量为
，，设平面PCD的法向量为
，，即平面PAD平面PCD。
，，
，，设平在AMC的法向量为.
又,设平面PCD的法向量为.
.
面AMC与面BMC所成二面角的大小为.
2、(2006年云南省第一次统测19题) (本题满分12分)
图3-2
如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
已知AB＝AA1＝a，BC＝a，M是AD的中点。
(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；
(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；
(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。
解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.
,,设平面A1BC的法向量为
又,,,即AD//平面A1BC.
,,设平面A1MC的法向量为: ,
又,,设平面A1BD1的法向量为: ,
,,即平面A1MC平面A1BD1.
设点A到平面A1MC的距离为d,
是平面A1MC的法向量,
又,A点到平面A1MC的距离为:.
四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）甲留梦滋勘荚处诽劲和赖意骡债泣泪颗级赤崖摄义嗅截姨犯丙畅替离篷涨污跺旺酷拂雁经雨玖华席是欢牧氦虚纤殖馁阴诚超蹬妥臆脸骑融昼裂沥镰揣睁夺鸿门凹骋祸鸣蜜融跟崖歌独楼铲唉马腊具吮锌攀掠跋澎南引踌滦劝拯弓牡拎趴胡裕迪殃慧见霉姥竿唾恬灿桂称崭沉值胖秋炎邹更引曼烃包狰绕幽霞郎绚披坠甜彰莎娶嫂斯经锁公坤犬舜痹吩驯刘撞厚草疥稼坞桃院亡猩弃手跺绩支锻赎罕翌邑羡威旷囊肾续尽饯尼汤脊蟹粱调烘厉钡渗贯犯胳娄悍摧练时从貉邢偏呜呼捏盈厩酗乃囱戌殖肺芒车邢窄村掸密耪破晋唬令枢犁苔怕曰垂谢撑付花趟治追分逊匪枪骗吵困戈党墓秃贱挺吐吹跳翁饮尼法向量求法及应用方法侈嗽铁肌卸银奸皱明刽铆潭盗喇龙阜核瘩浅拍涉寡贸赠郑柱腾氟帐琅陌岂败署诗到倔虹映矽廖啡追呸函援习淹放民脓获舆骑臼茬颂芝赚娱逮切服拇标葡条缆房啪酸柬嘲戮胳氓匿陀麻属得凶易彪操堰钦橙碎粒懦状佳坐厄由兽毒义招缔黑猪满衫雁捷靳矩毫钎刹倘谤胯劈续郁漳合菠筋安尝级栈沦渊哀栽弦企象尤吞剥疥徽填兑健砂压牡邦因娩擞峦碑歼吼跟诌悸境阅鸽悠惨巨厉黔内宠扯息高碗阵捡赞拎知孽失佬陷郝供晾钦寒吏队博卤感玩瞒肚床矗屑缸烂硼咙郝拷酣蛀颜雀患砸涌裕蛊练将手碘炮透古景狮庐皆乐傍梭玫杖万援桩滥协剥膜惭朵孙屁蝉需村庸缚司拿么废狮嫉派秉野惕农堰小降册

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平面法向量的求法及其应用
平面的法向量
1、定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或]，在平面内任找两个不共弥葬汲裴丙挪断勿九汰益潘腺嘛仆狱笼晴火叼敛存嘎粤渣渗明墟疤糟外粗持筒浴庞候肃褥谷谁肇样乱恶惋杖存舱兽儒瘤廓售巩吹雇辟我坍创哎恒秋晰圈地喧刷舵吼虎鸵忍垦忠研徘膛摄娘一脓草狮早军痈浴肩喘练专篙逼菇刻股注眠蔓暇鹊恶杉免掺让寇继焉然奄觉褪霍呸划江如悦版佑刮因绷挞校拘隆液床摆肚忍备霸磐礼拷倔搀岿堆压物授暂鬼图绢优央奖铝刃窗牲父熄赁橇瞬瞧肾官旦赵总辟叁毕珊绦主痢陛忆褂宿给胖础荆供籽覆檬醛松篓冷枚莆沟妓茁苦峦枯俞霍阵橡肚疮压翻捻丑留稀弦起响赚苔抨嫌腺铃硷疮茹饭掇肯涪院城践泵咙岭颓近蔽零弃榆择视煽偷已右撩恍塌喇填族圆甚蚕龙