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2012年高二年级数学试卷(文科)
一。 选择题
1。四条直线相交于一点，它们能确定的平面的个数是( ）
A.1 B。4 C。6 D.1或4或6
2.l1，l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是（ ）
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2,l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2,l3共面
3.下列命题中错误的是
A．如果平面⊥平面,那么平面内一定存在直线平行于平面.
B．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面.
C．如果平面⊥平面,平面⊥平面,,那么⊥平面。
D．如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面.
4.若二面角α-l-β为120°,直线m⊥α，则β所在平面内的直线与m所成角的取值范围是
5。已知α，β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“”是“”的( ）
A。必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D。既不充分也不必要条件
6.若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60°角，则到底面的距离为 （ ）
A． B．1 C． D．
7．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为
A.3a2 B.6a2 C。12a2 D。 24a2
8.若地球半径为R，在北纬300圈上有A、B两地，它们的球面距离为2πR/3，则A、B两地的经度差是（ ）
A。 300 B。600 C。1500 D.1800
9。 已知正四棱柱中，=，为中点,则异面直线与所形成角的余弦值为
A． B。 C. D.
10。 已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点,则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（ ）
11.Rt△ABC的两直角边AB=6，AC=8，在△ABC所在平面外有一点P和A、B、C的距离都是13，那么点P到△ABC所在平面的距离为 （ ）
A.13 B.12 C。10 D.9
12．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一球，某人画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形如图所示,则下列说法正确的是（ ）
A．以上四个图形都正确 B.只有②④正确
C．只有④错误 D.只有①②正确
二、填空题
13．已知两异面直线a，b所成角为40°，则过空间一点O能作____ ________ 条直线与a，b所成角都是40°.
14．已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 .
15．正方体中，棱长为a，E是的中点,在对角面上取一点M，使AM+ME最小，其最小值为 。
16． 一个锐角为30，斜边为2的直角三角形纸片，以斜边上的中线为折痕折成直二面角,折后斜边两端点的距离等于。
A
C
B
D
B
D
C
A
三、解答题
17．如图，已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱DA=DC=， 试求第三条侧棱长DB的取值范围．
18。如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面AC，PD=DC，
E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明:PA∥平面EDB;
（2)证明:PB⊥平面EFD。
19、在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点E是CC1的中点.
(1）求二面角E-BD—C的大小;
(2）求点D1到平面BDE的距离。
21.如图，在三棱锥中，底面，
点，分别是棱的中点,
（Ⅰ)求证：平面;
（Ⅱ）求与平面所成的角的大小；
22. 如图所示的几何体中,已知ABCD是边长为3的正方形，SD⊥底面ABCD，，点E、G分别在AB、SC上，且,.
（1）证明：BG∥平面SDE；
(2）求面SAD与面SBC所成二面角的大小。
一、选择题 DBDDA DBDCD BC
二、填空题13。文2 理24 14. 15. 16.
17．(文） 解: 如图, 四面体ABCD中,AB=BC=CA=1（2分）， DA=DC=（4分）， 只有棱 DB的长x是可变的． 在三角形ACD中, M为AC的中点,
MD=． MB=(6分）．
由MF—MB〈BD〈MD+MB(8分）， （MF=MD）
得: （10分）
18.（1）连结AC,设AC∩BD=O,连结EO，∵底面是正方形,∴O为AC的中点.
∴OE为△PAC的中位线∴PA∥OE,而OE⊂平面EDB，PA⊄平面EBD，∴PA∥平面EDB.
（2)∵PD⊥平面AC，BC⊂平面AC,∴BC⊥PD,而BC⊥CD，PD∩CD=D.∴BC⊥平面PDC.
O
∵DE⊂平面PDC,∴BC⊥DE. ①
又∵PD⊥平面AC,DC⊂平面AC，∴PD⊥DC，而PD=DC，
∴△PDC为等腰三角形。∴DE⊥PC ②
由①、②及PC∩BC=C可知DE⊥平面PBC
∴DE⊥PB.又EF⊥PB，DE∩EF=F。∴PB⊥平面EFD.
O
F
E
F
21【解法1】(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC。又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)∵D、E分别为PB、PD的中点，DE//BC，∴,
又由(Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB,又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形，
∴，∴在Rt△ABC中，，∴。
∴在Rt△ADE中,，
∴与平面所成的角的大小.
z
y
【解法2】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设，由已知可得 .
（Ⅰ）∵，
x
∴，∴BC⊥AP。
又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ)∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，
∴，
∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E。
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵，
∴.
∴与平面所成的角的大小.
22。（1）在SD上取点F，使，连结FG、FE，由得
FG 又得BE，∴FGBE，∴BG∥FE，
∵FE⊆平面SDE，BG⊄平面SDE,∴BG∥平面SDE.
(2)连结BD，在正方形ABCD中，BC=3，∴，
F
∵SD⊥面ABCD，∴SD⊥BD，又，∴SD=3，
又面SAD⊥面ABCD，面SCD⊥面ABCD，
∴BC⊥SC,，
BA⊥面SAD，CD⊥面SAD，
设面SAD与面SBC所成二面角的平面角为θ。
，
即面SAD与面SBC所成二面角的大小为.
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