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2018学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科
2018．12
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1.若复数满足，其中是虚数单位，则的实部为___________.
2.已知全集，集合，则___________.
3.若实数满足，则的最小值为___________.
4.若数列的通项公式为，则___________.
5.已知双曲线（）的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程是___________.
6.在平面直角坐标系中，直线经过坐标原点，是的一个法向量.已知数列满足：对任意的正整数，点均在上.若，则的值为 .
7.已知的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是 .（结果用数值表示）
8.上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如下表所示：
等级
A+
A
B+
B
B-
C+
C
C-
D+
D
E
分数
70
67
64
61
58
55
52
49
46
43
40
上海某高中2018届高三（1）班选考物理学业水平等级考的学生中，有5人取得成绩，其他人的成绩至少是级及以上，平均分是64分.这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为___________人.
9.已知函数是以为周期的偶函数，当时，，令函数，则的反函数为______________________.
10.已知函数的定义域是，值域是，则的最大值是 ___________.
11.已知，函数.若函数恰有2个零点，则的取值范围是___________．
12.已知圆:，圆:.直线、分别过圆心、，且与圆相交于两点，与圆相交于两点.点是椭圆上任意一点，则的最小值为___________.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.设，则“”是“”的（ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
14.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
15.对于函数，如果其图像上的任意一点都在平面区域内，则称函数为“蝶型函数”.已知函数：①；②，下列结论正确的是( )
（A）①、②均不是“蝶型函数”
（B）①、②均是“蝶型函数”
（C）①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数”
（D）①不是“蝶型函数”；②是“蝶型函数”
16.已知数列是公差不为0的等差数列，前项和为.若对任意的，都有，则的值不可能为（ ）
（A）2 （B） （C） （D）
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，已知正方体的棱长为.
（1）正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线？
（2）若分别是的中点，求异面直线与所成角的大小.
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数其中
（1）解关于的不等式；
（2）求的取值范围，使在区间上是单调减函数.
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多. 某沿海地区的海岸线为一段圆弧，对应的圆心角. 该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）.在圆弧的两端点分别建有监测站，与之间的直线距离为100海里.
（1）求海域的面积；
（2） 现海上点处有一艘不明船只，在点测得其距点40海里，在点测得其距点海里. 判断这艘不明船只是否进入了海域？请说明理由.
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知椭圆的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆的上顶点，为中点，为坐标原点，连接并延长交椭圆于，,求的值；
（3）若原点到直线的距离为，，当时， 求的面积的范围.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知项数为项的有穷数列，若同时满足以下三个条件：
①(为正整数)；②或，其中；
③任取数列中的两项，剩下的项中一定存在两项，满足. 则称数列为数列.
（1）若数列是首项为，公差为，项数为项的等差数列，判断数列是否是数列，并说明理由；
（2）当时，设数列中出现次，出现次，出现次，其中，求证：；
（3）当时，求数列中项数的最小值.
参考答案
一、 填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9.
10. 11. 12.
二、 选择题：(共20分，每题5分)
13. A 14. C 15. B 16. D
三、 解答题
17、解：(1)由异面直线的定义可知，棱所在的直线与直线是异面直线 ……………….6分
(2)连结，因为分别是的中点，
所以∥，又因为∥，
所以异面直线与所成角为(或其补角)，…….9分
由于
于是， ………………13分
所以异面直线与所成角的大小为. ………….14分
18、解：（1）不等式即为 ……….3分
当时，不等式解集为； ……………….4分
当时，不等式解集为； ……………….5分
当时，不等式解集为 ……………….6分
（2）任取则……….9分
……………….11分
所以要使在递减即只要即 ………13分
故当时，在区间上是单调减函数 ……………….14分
19、解：（1）
则 ……………….2分
（平方海里） ……………….5分
所以，海域的面积为平方海里. ……………….6分
（2）
……………….8分
， ……………….10分
……………….12分
这艘不明船只没有进入海域. ……………….14分
20、解：（1） ……………….1分
又， ……………….2分
……………….3分
故椭圆方程为 ……………….4分
（2）过，
，
，则 ……………….6分
,,代入椭圆方程， ……………….8分
得，即，所以 ……………….10分
（3）原点到直线的距离为1， ……………….12分
设
联立
由式知，
，得……14分
……………….15分
令
……………….16分
21、解：(1)若数列是数列，取数列中的两项和，则剩下的4项中不存在两项，使得，故数列不是数列；……….4分
(2)若，对于，若存在，满足，
因为，于是，
所以，，从而，矛盾，
所以，同理 .……………….8分
下面证明：
若，即出现了1次，不妨设，，
等式左边是；等式右边有几种可能，分别是或或，等式两边不相等，矛盾，
于是 .……………….10分
(3)设出现次，出现次，…，出现次，其中
由(2)可知，，且，同理， ……………….12分
又因为，所以项数 .……….14分
下面证明项数的最小值是：
取，可以得到数列
.
接下来证明上述数列是数列：
若任取的两项分别是，则其余的项中还存在2个1，满足，
同理，若任取的两项分别是也满足要求；
若任取的两项分别是，则其余的项中还存在3个1,1个2，满足要求，
同理，若任取的两项分别是也满足要求；
若任取，则在其余的项中选取，满足要求，
同理，若也满足要求；
若任取的两项满足，则在其余的项中选取，
每个数最多被选取了1次，于是也满足要求.
从而，项数的最小值是. ……………….18分
徐汇区高三数学 本卷共4页 第9页
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