上海市宝山区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案).doc

2019届宝山区高三年级一模数学试卷（教师版） 2018.12
一、填空题（本题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.
1、函数的最小正周期为_____【答案】
【解析】最小正周期
2、集合，集合，则____【答案】
【解析】
3、若复数满足（是虚数单位），则____【答案】
【解析】
4、方程的根为__________【答案】
【解析】
5、从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有 种不同的选法。（用数字作答） 【答案】20
【解析】分类讨论：或直接隔板法：
6、关于的二元一次方程的增广矩阵为，则____【答案】
【解析】
7、如果无穷等比数列所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比____【答案】
【解析】
8、函数与的图像关于直线对称，则__________【答案】
【解析】设点在的图像上，则关于直线对称的点在的图像上，得到
9、已知，且，，则____【答案】或
【解析】或，则或
10、将函数的图像绕着轴旋转一周所得的几何容器的容积是______【答案】
【解析】将函数图像（此为下半圆）旋转一周得到半球体，体积
11、张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，分别是角的对边，已知，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的可能取值是 （只需填写一个适合的答案）【答案】
【解析】正弦定理，
或数形结合也行
12、 如果等差数列，的公差都为，若满足对于任意，都有，其中为常数，，则称它们互为“同宗”数列．已知等差数列中，首项，公差，数列为数列的“同宗”数列，若，则 【答案】2
【解析】由题知，又为的“同宗”数列，所以，则．
所以
所以
当时，
，故不满足；
当时，
，故满足；
当时，
，故也不满足；
……
则当时，
若，即
则设，由
所以是递减数列，所以仅有，
故仅2时，有．
【点评】本题得出答案2，还是相对容易的，若想要验证仅满足，需要构造数列判断其单调性去验证，整体难度不高．
二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13、若等式对一切 都成立，其中为实常数，则（ ）（A）2 （B）－1 （C）4 （D）1 【答案】D
【解析】(赋值法) 令时，，故选D．

14、“”是“”的（ ）条件
（A）充分非必要 （B）必要非充分 （C）充要 （D）既非充分又非必要【答案】B
【解析】由的定义域为，所以成立的条件为，
故选B．
15、关于函数的下列判断，其中正确的是（ ）【答案】A
（A）函数的图像是轴对称图形 （B）函数的图像是中心对称图形
（C）函数有最大值 （D）当时，是减函数
【解析】由，且定义域为，知故选择A．
16．设点M、N均在双曲线上运动，是双曲线C的左、右焦点，的最小值为（ ）（A） （B）4 （C） （D）以上都不对
【答案】B 【解析】由为的中点，则
由双曲线的性质知，所以的最小值为4．

三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．
17、（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分，
如图，在四棱锥中，平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，P4＝4，设E为侧棱PC的中点．．
(1) 求正四棱锥E－ABCD的体积V；
(2) 求直线BE与平面PCD所成角的大小．
【解析】(1) 由E为侧棱PC的中点．由E为侧棱PC的中点，则正四棱锥E－ABCD的体积
．
(2) 以点A为坐标原点，如图建系．则，，，，则
所以，，．设平面PCD的法向量为．
则，得，不妨．
所以．
所以直线BE与平面PCD所成角的大小为．
18．（满分14分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题7分．
已知函数，将的图像向左移个单位的函数的图像．
（1）若，求的单调递增区间；
（2）若，的一条对称轴，求，的值域．
【解析】（1），，
若，则，，
得，即的单调递增区间为；
（2） ∵的一条对称轴，∴，从而，
得，∵，∴，于是，
∵，∴，∴，
∴．

19．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．
某温室大棚规定：一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工人作业时段．从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度（单位：度）与时间（单位：小时，）近似地满足函数关系，其中，为大棚内一天中保温时段的通风量．
（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度（精确到0.1℃）；
（2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17℃，求大棚一天中保温时段通风量的最小值．
【解析】（1），
①时，，此时函数单调递减，当时，，

②时，，
令，，则，此时函数单调递增，，
综上，最低温度为℃；
（2）即对恒成立，
①时，，得，
在单调递增，∴，
②时，，得，
∴，
综上，，∴大棚一天中保温时段通风量的最小值为256．

20．（满分16分）本题有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．
已知椭圆的左、右焦点为、．
（1） 求以为焦点，原点为顶点的抛物线方程；
（2）若椭圆上点满足，求的纵坐标；
（3）设，若椭圆上存在两不同点满足，证明直线过定点，并求该定点的坐标．
【20题解析】（1），抛物线方程为；
（2）；
（3）设，，，
，得，
∵，∴，即，
，
，
，∵，∴．
∴，∴必过定点
【说明】如右图，根据对称性可知，若存在定点，则该定点必定落在轴上．
答案可考虑特殊情况，下图中轴时，计算直线与的交点，得到，
从而可秒出定点坐标为．

21．（满分18分）本题有3小题，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分．
如果数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等差数列”，为“间公差”，若数列满足，，．
（1）求证：数列是“间等差数列”，并求间公差；
（2）设为数列的前项和，若的最小值为，求实数的取值范围；
（3）类似地：非常数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等比数列”，为“间公比”．已如数列中，满足，，，试问数列是否为“间等比数列”，若是，求最大整数使得对于任意，都有；若不是，说明理由．

【解析】（1）证明：，，则，两式相减得：，，故数列是“间等差数列”，其间公差；
（2）（I）（）时：
，易得其最小值为时，最小值为；
（II）（）时：
当时最小，其最小值为；
要使其最小值为，则，解之得：；

（3）；，两式相除得：，故为“间等比数列”，其“间公比”， ，，易求出其通项公式为：；，则数列单调递减，那么奇数项，偶数项分别单调递减，故，要使得整个数列单调递减，则只需满足
，即：，
解得：，那么的最大整数为．

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