2018年杨浦区初三数学二模卷及答案2018.4.doc

2018年杨浦区初三数学二模卷 2018.4
(完卷时间 100分钟 满分 150分)
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列各数中是无理数的是
（A）cos60°； （B）； （C）半径为1cm的圆周长； （D）．
2．下列运算正确的是
（A）； （B）； （C）； （D）．
3．若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是
（A）； （B）； （C）； （D）．
4．某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频率分布直方图如图1所示.其中阅读时间是8-10小时的组频数和组频率分别是
（A）15和0.125； （B）15和0.25； （C）30和0.125； （D）30和0.25．
5．下列图形是中心对称图形的是

（A） （B） （C） （D）

6． 如图2，半径为1的圆O1与半径为3的圆O2相内切，如果半径为2的圆与圆O1和圆O2都相切，那么这样的圆的个数是
（A）1； （B）2； （C）3； （D）4.
0.025
0.050
0.075
0.100
0.125
0.150
0.150
小时数（个）
2
4
6
8
10
12
0
.
.
O1
O2

（图2）
（图1）

二、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．计算：= ▲ .
8．当时，化简：= ▲ .
9．函数中，自变量x的取值范围是 ▲ .
10．如果反比例函数的图像经过点A（2，y1）与B（3，y2），那么的值等于 ▲ .
11．三人中有两人性别相同的概率是 ▲ .
12．25位同学10秒钟跳绳的成绩汇总如下表：
人数
1
2
3
4
5
10
次数
15
8
25
10
17
20
那么跳绳次数的中位数是 ▲ .
13．李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x分钟，那么可列出的方程是 ▲ .
14．四边形ABCD中，向量 ▲ .
15．若正n边形的内角为，则边数n为 ▲ .
16．如图3，△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，BC的垂直平分线交AB 于点D，联结DC.如果AD=2，BD=6，那么△ADC的周长为 ▲ .
17．如图4，正△ABC的边长为2，点A、B在半径为的圆上，点C在圆内，将正△ABC绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上时，旋转角的正切值是 ▲ .
（图3）
A
B
C
D
.
A
B
C
（图4）
18．当关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”. 如果关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-2m=0是“倍根方程”，那么m的值为 ▲ .

E
D
三、 解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
先化简，再求值：，．

20．（本题满分10分）
解方程组：

21．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）
已知：如图5，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC，∠A＝60°．
求：（1）求∠CDB的度数；
（2）当AD＝2时，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．
A
B
C
D
（图5）

22．（本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）、（3）各小题4分）
l1
l2
3
4
6
1
O
t（小时）
s（千米）
（图6）
已知A、B、C三地在同一条路上，A地在B地的正南方3千米处，甲、乙两人分别从A、B两地向正北方向的目的地C匀速直行，他们分别和A地的距离s（千米）与所用的时间t（小时）的函数关系如图6所示．
（1）图中的线段l1是 ▲ （填“甲”或“乙”）的函数
图像，C地在B地的正北方向 ▲ 千米处；
（2）谁先到达C地？并求出甲乙两人到达C地的时间差；
（3）如果速度慢的人在两人相遇后立刻提速，并且比先到
者晚1小时到达C地，求他提速后的速度.

23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
已知：如图7，在□ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF分别交边AB、CD于点E、F，过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，且∠AGE=∠CGN.
（图7）
A
B
C
D
G
E
F
M
N
（1）求证：四边形ENFM为平行四边形；
（2）当四边形ENFM为矩形时，求证：BE=BN.

24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
如图8，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图（1），当CP//AO时，求∠PAC的正切值；
P
A
B
C
x
y
（备用图）
O
A
B
C
P
y
（图（1））
O
（3）当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P的坐标.
版权所有

x

（图8）

25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4 分）
如图9，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=5，AD=1，BC=9，点P为边BC上一动点，作PH⊥DC，垂足H在边DC上，以点P为圆心PH为半径画圆，交射线PB于点E.
（1） 当圆P过点A时，求圆P的半径；
（2） 分别联结EH和EA，当△ABE∽△CEH时，以点B为圆心，r为半径的圆B与圆P相交，试求圆B的半径r的取值范围；
A
C
D
P
H
E
B
F
C
A
B
D
P
H
E
A
B
C
D
P
H
E
（3） 将劣弧沿直线EH翻折交BC于点F，试通过计算说明线段EH和EF的比值为定值，并求出此定值.

（图9）

2018年杨浦区初三数学二模卷 2018.4
四、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1． C； 2． B； 3． A； 4． D； 5． B； 6． C
五、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．； 8． ； 9． 且；
10．； 11． 1； 12． 20；
13． ； 14． ； 15． 9；
16． 14； 17．； 18． -1或-4.
E
D
六、 解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
解:原式=………………………………………（6分）
== …………………………………………………（2分）
当时， 原式= ………………………………（2分）
20．（本题满分10分）
解：由（2）得，，；…………………………………………（3分）
则原方程组转化为（Ⅰ）或 （Ⅱ） …………………（2分）
解（Ⅰ）得… （2分）解（Ⅱ）得 … （2分）
∴原方程组的解是 ……………………………（1分）
21．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）
解：(1) ∵在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，∠A＝60°，∴∠CBA=∠A=60º. （1分）
∵BD平分∠ABC，∴∠CDB=∠ABD=∠CBA=30º，………………………（2分）
（2）在△ACD中，∵∠ADB=180º–∠A–∠ABD=90º．………………………………（1分）
∴BD=AD A=2tan60º=2. .…………………………………………………（1分）
过点D作DH⊥AB，垂足为H， …………………………………………………（1分）
∴AH=ADA=2sin60º=. .…………………………………………………（1分）
∵∠CDB=∠CBD=∠CBD=30º，∴DC=BC=AD=2. ………………………………（1分）
∵AB=2AD=4, …………………………………………………………………………（1分）
∴．……………………………（1分）
22． （本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）、（3）各小题4分）
解：（1）乙；3. ……………………………………………………………………………（2分）
（2）甲先到达. ……………………………………………………………………………（1分）
设甲的函数解析式为s=kt，则有4=t，即s=4t.
当s=6时，t=.……………………………………………………………………………（1分）
设乙的函数解析式为s=nt+3，则有4=n+3，即n=1.所以乙的函数解析式为s=t+3.
当s=6时，t=3. ……………………………………………………………………………（1分）
所以到达目的地的时间差为小时. ………………………………………………………（1分）
（3）设提速后的速度为v千米/小时，
因为相遇处距离A地4千米，所以相遇后行2千米. ……………………………………（1分）
又因为原相遇后行2小时，所以提速后2千米应行1.5小时. …………………………（1分）
即，所以.…………………………………………………………………（1分）
答：速度慢的人提速后的速度为千米/小时. ……………………………………………（1分）
23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB//CD. ………………………………（1分）
∴∠EAG=∠FCG. …………………………………………………………（1分）
∵点G为对角线AC的中点，∴AG=GC.
∵∠AGE=∠FGC，∴△EAG≌△FCG. ……………………………………（1分）
∴EG=FG. ………………………………………………………………………（1分）
同理MG=NG. …………………………………………………………………（1分）
∴四边形ENFM为平行四边形. ………………………………………………（1分）
（2）证明：∵四边形ENFM为矩形，
∴EF=MN，且EG=,GN=. ∴EG=NG. ……………（1分）
∴∠1=∠2.
∵∠1+∠2+∠3=180°，∠AGE+∠CGN+∠3=180°，∠AGE=∠CGN，
∴2∠1=2∠AGE，即∠1=∠AGE.
A
B
C
D
G
E
F
M
N
1
2
3
∴EN//AC. …………………………………（1分）
∵EG=NG，又∵AG=CG，∠AGE=∠CGN.
∴△EAG≌△NCG. ………………………（1分）
∴∠BAC=∠ACB ，AE=CN. …………（1分）
∴AB=BC. …………………………………（1分）
∴BE=BN. …………………………………（1分）

24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
解：（1）∵直线y=x+4经过点A、C，点A在x轴上，点C在y轴上
∴A点坐标是（﹣4，0），点C坐标是（0，4），…………………………………………（1分）
又∵抛物线过A，C两点，∴.………………………………（1分）
解得.∴抛物线的表达式为.…………………………………（2分）
（2）作PH⊥AC于H，
∵对称轴为直线，
又∵点C、P在抛物线上，CP//AO， C（0，4），∴P（-2,4）. ∴PC=2. ………………（1分）
∵，∴PH=………………………………………………………（1分）
∵A（﹣4，0），C（0，4），∴∠CAO=45°.
∵CP//AO, ∴∠ACP=∠CAO=45°. ………………………………………………………（1分）
∵PH⊥AC, ∴CH=PH=. ∴.
∴ .…………………………………………………………………（1分）
（3）∵对称轴为直线，
∵以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，
∴PQ∥AO，且PQ=AO=4．………………………………………………………………（1分）
∵P，Q都在抛物线上，∴P，Q关于直线x=﹣1对称， ………………………………（1分）
∴P点的横坐标是﹣3， …………………………………………………………………（1分）
∵当x=﹣3时，，
∴P点的坐标是.……………………………………………………………………（1分）
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4 分）
解：（1）作AM⊥BC于M，联结AP，
由题意可求得AM=3，BM=4，tanB= tanC=.……………………………………………（1分）
∵PH⊥DC，∴设PH=3k，HC=4k，CP=5k.
∵BC=9，∴MP=5-5k. ∴.
∵圆P过点A，且圆P的半径= PH=3k，∴AP=PH.
∴，即.…………………………………………（1分）
解得.
当时，CP=,∴舍，∴.……………………………（1分）
∴圆P的半径长为3. …………………………………………………………………（1分）
（2）∵PH⊥DC，∴设PH=3k，HC=4k，CP=5k.
∵点E在圆P上，∴PE=3k，CE=8k. ∴BE=9-8k
∵△ABE∽△CEH，∠B=∠C，∴或.……………………………（2分）
即或. 解得（舍）或.…………………（1分）
∴.即圆P的半径为. …………………………………………………（1分）
∵圆B与圆P相交，又BE=9-8k=，∴. ………………………………（2分）
（3）在圆P上取点F关于EH对称的点G，联结EG，作PQ⊥EG于G，HN⊥BC于N，
则EG=EF，∠1=∠3. ∴∠GEP=2∠1
∵PE=PH，∴∠1=∠2. ∴∠4=2∠1. ∴∠GEP=∠4.
∴△EPQ≌△PHN. ∴EQ=PN. ………………………………………………………………（1分）
A
C
D
P
H
E
B
F
G
Q
N
1
2
3
4
∵P为圆心，PQ⊥EG，∴EQ=QG，∴EF=EG=2EQ.
∵PH=3k，HC=4k，tanC=，
∴，.
∴.
∴.………………………………………………………（1分）
.……（1分）
∴ .………………………………………………………………（1分）
即线段EH和EF的比值为定值.

初三数学质量调研试卷—9—