初二数学寒假培优班讲义.doc

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第一讲分式
主要公式：1.同分母加减法则:
2.异分母加减法则:;
3.分式的乘法与除法:,
4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项
5.同底数幂的乘法与除法;am●an=am+n;am÷an=am－n
6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=ambn,(am)n=amn
7.负指数幂:a-p=a0=1
8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式
(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2
例1、当有何值时，下列分式有意义
（1） （2）
例2、当取何值时，下列分式的值为0.
（1） （2）
例3、当为何值时，分式为正；
例4、已知：，求的值.
例5已知：，求的值.
例6、若，求的值.
例7、计算：
（1）； （2）；
例8、先化简后求值
，其中满足a=2.
例9、解下列分式方程
（1）；（2）；
例10、若分式方程的解是正数，求的取值范围.
例11．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇，若同向而行，则b小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（）。
（A）(B)(C)(D)
例12.A、B两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购贷方式不同，其中，采购员A每次购买1000千克，购贷员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购贷方式合算？（）
（A）Ａ(B)Ｂ　　（C)都一样(D)不能确定
例13．某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务，设原计划每天固沙造林x公顷，根据题意列方程正确的是（）。
（A）（B）
（C）（D）
例14．某校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？
例15．.翻译一份文稿，用某种电脑软件翻译的效率相当于人工翻译的效率的75倍，电脑翻译3300个字的文稿比人工翻译少用2小时28分。求用人工翻译与电脑翻译每分钟各翻译多少个字？
练习：
1．当取何值时，下列分式有意义：
（1） （2） （3）
2．当为何值时，下列分式的值为零：
（1） （2）
3、若，求的值.
4．计算
（1）； （2）；
（3）；（4）；
7．解下列方程：
（1）； （2）；
8．已知关于的分式方程无解，试求的值.
第二讲二次根式
一、基础知识：
1.二次根式：形如（）的式子叫二次根式。
2.二次根式的性质：
①（）②（）
③
注意：对于二次根式要明确被开方数必须是非负数；化简特别要注意时，
3.二次根式的乘除：
①乘法：②除法：
③二次根式乘除法则的逆用。
④最简二次根式：
当二次根式满足：
a.被开方数不含分母，即被开方数中因数是整数，因式是整式;
b.被开方数中不含开得尽方的因式这两个条件时，我们称这样的二次根式为最简二次根式。
⑤加减实质是同类项合并。
二、例题：
1、化简：__________。
2、，。
3、计算：＝_______，()2＝______
4、计算＝
5、已知，则，．
6、计算：
(1)(2)
7、先化简，再求值：，其中．
8、计算：
（1）；（2）；
（3）|1－|+（3．14-π）-
9、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。
10.已知，求的值。
11.已知为实数，且，求的值。
12．若x，y是实数，且，求的值。
13.观察下列等式：①=+1；②=+；③=+；……，
（1）、请用字母表示你所发现的律：即=。（n为正整数）
（2）化简计算：（＋＋＋…＋）．
四、练习
3．在，，，中最简二次根式的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．下列各式正确的是（）
A．B．C．D．
5．若1＜x＜2，则的值为（）
A．2x-4B．-2 C．4-2xD．2
6．是整数，则正整数的最小值是（）
A．4；B．5；C．6；D．7
7.如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的范围是（）
A、x≤10B、x≥10 C、x<10D、x>10
8、若a，b，c为三角形的三边，化简的结果是{}
A、a-b+cB、a+b-cC、a+b+cD、-a+b+c
10.当时，有意义。
11.若有意义，则的取值范围是。
12.若，则的取值范围是。
13.已知，则的取值范围是。
14.化简：的结果是。
15.当时，。
16.若与互为相反数，则。
17.若，则等于（）
A.B.C.D.
18.若，则化简后为（）
A.B.
C.D.
19.计算：的值是（）
A.0B.C.D.或
第三讲勾股定理
例1、已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长是________________．
例2、已知两条线段的长为9cm和12cm,当第三条线段的长为????????????????cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
例3、已知Rt△ABC中，∠C＝900，AB边上的中线长为2，且AC＋BC＝6，则＝
例4、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，你能计算出这个三角形的面积吗？
练习：
1、在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是__________
2、如果梯子底端离建筑物9m，那么15m长的梯子可达到建筑物的高度是______________
3、已知直角三角形的两边长分别为7和24，则第三边长为
4、如果一个直角三角形的一条直角边是另一条直角边的2倍，斜边长是5cm，那么这个直角三角形的周长是
例5、已知直角三角形的两条直角边长为6，8，那么它的最长边上的高为（）
A、6B、8 C、D、
例6、一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为()
A.12cm B. C. D.
练习：
1、CD为直角三角形ABC斜边AB上的高，若AB=10，AC：BC=3：4，则这个直角三角形的面积为（）
A、6 B、8 C、12 D、24
2、直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为（）
A、6 B、8 C、 D、
3、在同一平面上把三边BC=3，AC=4、AB=5的三角形沿最长边AB翻折后得到△ABC′，则CC′的长等于（）
A、 B、 C、 D、
例7、已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少?
例8、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．
B
A
6cm
3cm
1cm
例8
Cˊ
Dˊ
B
C
D
Aˊ
Bˊ
A

例9

例7

例9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是_________．
例10、如图，公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公 路AB上建一车站E，
（1）使得C，D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少km处？
（2）DE与CE的位置关系
（3）使得C，D两村到E站的距离最短，E站建在离A站多少km处？
A
D
E
B
C

例11、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如下图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东300方向往C移动，且台风中心风力不变。若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。
（1）该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由。
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?
练习
1、已知，如图，折叠长方形的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10 cm，EC的长是__________
2、如图，从电线杆离地面6 m处向地面拉一条长10 m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部____________m
3、为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15 km，DB=10km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等?
第四讲函数的初步认识
知识点一：变量
1、确定自变量、因变量
2、求变量的值或取值范围

例1、写出下列各问题中的函数关系式，并指出其中的常量与变量
（1）圆的周长C与半径r的函数关系式
（2）厦门BRT以60km/h的速度行驶，它行驶的路程S（km）与所用的时间t（h）的函数关系式。
（3）n边形的内角和度数S与边数n的函数关系式
（4）n边形对角线条数S与边数n的函数关系式
（5）等腰三角形顶角度数y与底角的度数x之间的函数关系式
（6）已知等腰三角形的面积为20，设它的底边长为x,求底边上的高y关于x的函数关系式
（7）在一个半径为10的圆形纸片中剪出一个半径为r的同心圆得到一个圆环，求圆环的面积S关于r的函数关系式
（8）一个正方形边长为3，它的各个边长减少x后，得到的新的正方形的周长为y，求y与x的函数关系式
例2、指出下列自变量x的取值范围：
（1）（2）（3）（4）
例3、找出下列哪些是函数
①②
③④
⑤⑥
例4、当x=16时,函数y=－+2的值为____
练习：
1、在圆周长公式C=2πr中，变量个数是（）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2、函数y=－中，自变量x的取值范围为_______________
3、已知等腰三角形的周长为20,底边长为y,腰长为x,写出y与x的函数关系式,并注明x的取值范围
知识点二：表达方法
1、图像法 2、列表法 3、解析法

例1、（1）图像法
问题1、这一天6时、10时、14时的气温分别是多少？
问题2、这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
问题3、这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？
（2）、列表法
一、下表是2006年8月中国人民银行公布的“整存整取”年利率
存期X
三月
六月
一年
二年
三年
五年
年利率y(%）
1.80
2.25
2．52
3.06
3.69
4.14
（3）、解析式法
设S表示圆的面积，r表示圆的半径，则S与r之间满足下列关系，S=π,假设π取3，填写下列表格
半径r
1
2
3
4
圆面积S
3

故有S=3,
知识点三：平面直角坐标系
1、Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限坐标，X、Y轴坐标
2、点对称问题
3、点到坐标轴的距离

例1、请在同一直角坐标里描出下列各点：A(3,8)，B(-3,8),C(-3,-8),D(3,-8)E(3,0)F(0,3)G(-3,0)H(0,-3)
备用图

我们发现每个象限内点的特征：___________________
坐标轴上点的特征：________________________________
我们又发现A,B关于_____对称，A,D关于?______对称，A,C关于______对称
若点Q(2，3)关于Y轴的对称点为____________，关于X轴的对称点为____________，关于原点的对称点为_________
例2、点在第_______象限
例3、点（a,2）和点（-2，b）关于Y轴对称，则a=?____,b=______
例4、已知A（-1，-1），B(1,1)，点A到X轴的距离为_______，点B到Y轴的距离为_______，AB两点间的距离为_______
例5、若到X轴的距离为3，则A点坐标为______________
例6．若点P(一3，一4)的横坐标变为相反数，纵坐标乘以一2，此时新点的坐标是_________
例7、如果a－b＜0,且ab＜0,那么点(a，b)在()
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限,D．第四象限.
练习：
1、 判断下列各题：
①（2，3）和（3，2）表示同一个点（）
②点（4，-1）和（-4，1）关于原点对称（）
③坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0（）
④点，在第一象限（）
2、点A(-2,3)关于X轴的对称点为?________,关于Y轴的对称点为_______,关于原点的对称点为__________
3、若点P(a,b)在第四象限,则点Q(b,a)在第______象限.
4、点P(－2,3)到x轴的距离是________,到y轴的距离是________
5、若点(a,－3)与点(2,b)关于x轴对称,则a=______,b=________
6、已知点M(3x－2,2x+1)在x轴上,则M点的坐标为__________
7、若m+n<0,mn>0,则P(m,n)在第______象限
8、小丽的爷爷饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的街心花园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家里.下面图形中表示小丽爷爷离家的时间与外出距离之间的关系是（　　）
综合练习：
1、点（0，-2）在（　　）.
A．x轴上　　　　　　　B．y轴上 C．第三象限内　　　　D．第四象限内
2、求下列函数中自变量x的取值范围：
（1）y＝3x－1 （2）y＝2x2＋7 （3）y=
（4）y＝（5）y=-2x-5x2 （6）y=x（x+3）
（7）y=（8）y=
3、已知点P在第四象限，它的横坐标与纵坐标的和为l，点P的坐标可以是____________(只要求写出符合条件的-个点的坐标即可).
A
B
C
D
o
x
y
4、如图，矩形ABCD中，已知A（-4，1），B（0，1），C（0，3），则点D的坐标为；
5、请在同一直角坐标里描出下列各点：A(3,8)，B(-3,-8),C(-3,8),D(3,-8)E(4,0)F(0,4)G(-4,0)H(0,-4)
备用图

第五讲一次函数
知识点一：图像
画图像三步骤：列表、描点、连线

例1、已知函数，当x＝_________时，函数值为0；
例2、当x=时，P（1+x，1-2x）在x轴上。
例3、在同一坐标系内画出下列函数的图像：
①②
步骤一：列表
X
0

Y

0
X
0

Y

0
②
①

③

步骤二：描点 步骤三：连线
备用图

练习
1、在同一坐标系内画出下列函数的图像：
①②
步骤一：列表
X
0

Y

0
X
0

Y

0
②
①

步骤二：描点 步骤三：连线
备用图

知识点二：图像与X、Y轴的交点坐标
1、与X轴交点坐标为（，0） 2、与Y轴交点坐标为（0，）

例1、直线与X轴和Y轴的交点坐标分别为_________，_________；若点(m,2m+7)在这个函数的图象上,则m=____
例2、已知函数，找出到轴距离等于1.5的点的坐标为___________
例3、直线，分别交，轴于A,B两点，是原点，求的面积。（请把图像画在上面的备用图）
练习：
1、直线过点（_______,0），（0，_______）；
直线过点（______,0），（0，______）
2、分别求出下列直线与x,y轴的交点坐标。
（1） （2） （3）
3、直线y=2x－2与x,y轴围成的三角形的面积是多少?
知识点三：待定系数法求解析式
1、设；
2、把点坐标分别代入
3、联立求解

例1、一次函数的图象经过点（3，3）和（1，-1）.求它的函数关系式，并画出图象.
2、根据条件写出相应的函数关系式
（1）直线经过点（-2，-1）
（2）一次函数中,当时，当时，
练习
1、已知一次函数的图像经过点(-1,-1)和（1，-5），求当=5时，函数的值？
2、写出两个一次函数，使它们的图像都经过点(-2,3)。
3、已知一次函数y＝kx＋b（k≠0），当x＝1时，y＝3；当x＝0时，y＝2．则函数解析式为___________，函数不经过第_____象限，
4、一次函数（是常数，）的图象如图所示，则不等式的解集是（）
A． B． C． D．
5、直线y=－2x+b与x轴交于(－1,0),则不等式－2x+b<0的解集是____________
综合练习
1、画出直线，借助图像找出：
（1）直线上横坐标是2的点
（2）直线上纵坐标是-3的点
（3）直线上到Y轴距离等于2的点
2、已知一次函数的图象经过点。
（1）求此一次函数的解析式（2）求此函数与轴、轴的交点坐标
（3）作出此一次函数的图象（4）求出此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积
第六讲一次函数的性质
知识点一：性质1:k>0,b>0
1、k>0，决定y随x的增大而增大且图像必过一、三象限
2、b>0，决定直线与y轴的交点在y正半轴

例1、已知一次函数y=kx+b的图象过第一、二、三象限,则k,b的符号是()
A、k>0,b>0B、k>0,b<0 C、k<0,b>0D、k<0,b<0
例2、若函数y=mx+4m－3的图象过第一、二、三象限，则m的取值范围为________。
例3、已知一次函数y=kx+k,若y随x的增大而增大,则该函数的图象不经过第_____象限。
例4、对于一次函数y=x+4,函数值y随x的增大而__________。
练习
1、如果直线y=ax+b第一、二、三象限，那么ab0(填“﹥”，“﹤”，“﹦”)
2、已知一条直线，那么直线不经过第_____象限。
3、若函数的图象过第一、二、三象限，则a，b的取值范围为________。
知识点二：性质2:k>0,b<0
1、k>0，决定y随x的增大而增大且图像必过一、三象限
2、b<0，决定直线与y轴的交点在y负半轴

例1、如果直线y=kx+b经过一、三、四象限，那么有（）
A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k<0，b＜0D．k＜0，b＞0
例2、对于一次函数y=x－4,函数值y随x的增大而__________。
例3、已知一次函数y=kx-k,若y随x的增大而增大,则该函数的图象不经过第_____象限。
练习
1、已知一次函数的大致图像为()
知识点三：性质3:k<0,b>0
1、k<0，决定y随x的增大而减小且图像必过二、四象限
2、b>0，决定直线与y轴的交点在y正半轴

例1、如果直线y=kx+b经过一、二、四象限，那么有（）
A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k<0，b＜0D．k＜0，b＞0
例2、已知A(a,b),B(c,d),C(e,f)是函数y=－x+3的图象上的点,且a<c<e,b,d,f的大小关系_____________。
例3、已知一次函数y=kx－k,若y随x的增大而减小,则该函数的图象不经过第_____象限。
练习
1、在平面直角坐标系中，函数y=－x+3的图象经过()
2
3
第2题图
y
x
O
A．一、二、三象限B．二、三、四象限 C．一、三、四象限D．一、二、四象限
2、一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（）
A． B． C． D．
知识点四：性质4:k<0,b<0
1、k<0，决定y随x的增大而减小且图像必过二、四象限
2、b<0，决定直线与y轴的交点在y负半轴

例1、一次函数y=－5x－3的图象不经过第______象限。
例2、已知一次函数y=kx+k,若y随x的增大而减小,则该函数的图象不经过第_____象限。
例3、一次函数中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_________
练习
1、已知一次函数y=-kx-k,若y随x的增大而减小,则该函数的图象不经过第_____象限。
2、已知关于x的函数y=(m－2)x＋n的图象经过第一、二、四象限，则m、n的取值范围。
知识点五：两直线位置关系:①平行②相交③重合
1、平行（k相等）
2、相交（k不相等）：求交点必联立

例1、分别在同一直角坐标系内画出下列直线，并指出每一小题中两条直线的位置关系，并求出它们的交点坐标。
（1）， （2），
例2、直线y=－x－2与y=x+3的交点在()
A、第一象限　　B、第二象限　　C、第三象限 D、第四象限
例3、若直线与的图象交于y轴上，则（）
A、B、C、D、
例4、直线与平行，且经过（2，1），则k=,b=.
练习
1、已知直线与，求它们的交点坐标。
2、已知一直线平行于，根据下列条件求解析式：
（1）经过点（3，5）；
（2）与y轴交点到原点的距离为2。
综合练习
1、已知直线l1：交y轴于点C，直线l2：交l1于点A（-1，m）且经过点B（3，-1）；
（1）求m的值；
（2）求直线l2和BC的解析式；
（3）求S△ABC。
2、许老师骑摩托车上班，最初以某一速度匀速前进，中途由于摩托车出现故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，许老师加快了行车速度，但仍保持匀速前进，结果准时到校，在课堂上，许老师画出摩托车行进路程s（千米）与行进时间t（小时）之间的函数关系图象的示意图，其中正确的是（）
A
t
0
s
D
t
0
s
C
t
0
s
B
t
0
s

3、画出一次函数y＝3x＋4的图象，回答下列问题：
(1)图象通过哪几个象限?
(2)函数值的变化情况如何?
(3)该图象与两个坐标轴所围成的三角形面积有多大?
4、已知函数y＝4x－3．当x取何值时，函数的图象在第四象限？
5、不论b取什么值，直线y=3x+b必经过（）
A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限
6、写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式（写出一个即可）（1）y随着x的增大而减小。（2）图象经过点（1，-3）
7、直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为．
第七讲正比例函数
知识点一：图像
画图像三步骤：列表、描点、连线

例1、 在下面直角坐标系内画出下列四个函数①y＝一2x，②y＝2x，
③y＝-x+2，④y＝-x+3
步骤一：列表 步骤二：描点 步骤三：连线
备用

知识点二：性质
1、 必过点（0，0）
2、 k>0，则y随x的增大而增大且图像必过象限；
3、 k<0，则y随x的增大而增大且图像必过象限

例1、若函数y=(4－m)x是正比例函数，则m的值是()
A．4　　　 B．±2 　　 C．4或2　　 D．2
例2、若函数，则下列坐标不在直线上的是()
A．(2，6)　　　 B．(1，3)　　 C．(4，5)　 D．(0，0)
例3、若正比例函数y=(1—2m)x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1<x2时，y1>y2，则m的取值范围是()
A．m<0 B．m>0 C．m< D．m>
练习
1、写出一个y随x的增大而增大的正比例函数的解析式：。
2、直线y＝－x的图像过象限。
3、下列说法正确的是()。
A．正比例函数是一次函数 B．一次函数是正比例函数
C．变量x，y是x的函数，但x不是y的函数 D．正比例函数不是一次函数，一次函数也不是正比例函数
4、下列函数关系式：①y＝一x；②y=－2x+11；③y=x2＋x＋1；④y=．其中一次函数的个数是()。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、结合正比例函数y=4x的图象回答：当x>1时，y的取值范围是()
A．y<1 B．1≤y<4 C．y＝4 D．y>4
知识点三：待定系数法求解析式
1、设
2、把点坐标分别代入
3、联立求解

例1、已知直线y=kx经过（2，-6），则k的值是（）
A．3 B．-3 C．1/3 D．-1/3
例2、已知y与x成正比例，当x=4时，y＝3。
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）y与x之间是什么函数关系；
（3）求x=3时，y的值。
练习
1、一个正比例函数的图像过点（2，-3），它的表达式为（）
A． B．C． D．
2、如果正比例函数的图象经过点(2，3)，那么这个函数的解析式是__________。
3、已知y与x一3成正比例，当x=4时，y＝3。
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）y与x之间是什么函数关系；
（3）求x=2．5时，y的值．
知识点四：求交点
1、设
2、联立求解

例1、直线y=2x+1与直线y=3x的交点坐标为________
例2、直线y=bx+1与直线y=ax的交点坐标为(1，2)，则a=________，b=________。
练习：
1、求两直线的交点坐标
2、写出同时具备下列两个条件的正比例函数表达式（写出一个即可）
（1）y随着x的增大而减小，
（2）图象经过点（1，-3）_________________________________
3、两直线y=2x+m与直线y=x-1的交点在x轴上，则m=_________________________________
综合练习
1、下列函数关系中表示一次函数的有()
①y＝2x+l；②y＝；③y＝；④s=60t；⑤y＝100—25x．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
S(米)
2、甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示（图中实线为甲的路程与时间的关系图象，虚线为乙的路程与时间的关系图象）
乙
甲
1500

1000

t（秒）
500

300
283

小王根据图象得到如下四个信息，其中错误的是（）
A．这是一次1500米的赛跑 B．甲、乙两人中乙先到达终点
C．甲、乙同时起跑 D．甲的这次赛跑中的速度为5米/秒
3、已知一次函数的图象经过点(1，2)和(-2，-1)。
（1）求此一次函数的解析式
（2）求此函数与轴、轴的交点坐标
（3）作出此一次函数的图象
（4）求出此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积
4、已知函数求当、取何值时
（1）是正比例函数？
（2）是一次函数？
第八、九讲平行四边形性质与判定
知识点一：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
表示：平行四边形用符号“”来表示．平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．
平行四边形性质1　　平行四边形的对边相等．
平行四边形性质2平行四边形的对角相等．
例1、如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，
求证：AF=CE．
练习
1．填空：
（1）在ABCD中，∠A=，则∠B=度，∠C=度，∠D=度．
（2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A=度，∠B=度，∠C=度，∠D=度．
（3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB=cm，BC=cm，CD=cm，CD=cm．
2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．
知识点二：平行四边形的性质：
①具有一般四边形的性质（内角和是）．
②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．
边：平行四边形的对边相等．
平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；
平行四边形的对角线互相平分．
例2、已知：如图4－21，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．
求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．
例3、若例2中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．
例4、已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．
练习：
1．在平行四边形中，周长等于48，
① 已知一边长12，求各边的长
② 已知AB=2BC，求各边的长
③ 已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长
2．如图，ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是_______cm．
3．ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成，的两条线段，则ABCD的周长是_____．
知识点三：
平行四边形判定方法1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定方法2：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
平行四边形判定方法3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
平行四边形判定方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
平行四边形判定方法5：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
例5、已知：如图ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
例6、已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．
求证：(1)∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；
(2)△ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．
例7、已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF．
例8、已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．
练习
1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，
（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么BC=____cm，CD=____cm时，
四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=___cm，DO=___cm时，
四边形ABCD为平行四边形．
2．已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．
3、已知：如图，在ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线．
求证：四边形AFCE是平行四边形．
知识点四：
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．
五、例习题分析
例9、如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=BC．
例10、已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．．
练习
1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是m，理由是．
2．已知：三角形的各边分别为8cm、10cm和12cm，求连结各边中点所成三角形的周长．
3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
（1）若EF=5cm，则AB=cm；若BC=9cm，则DE=cm；
（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．
综合练习
1．在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）．
（A）对角相等（B）对角互补（C）邻角互补（D）内角和是
2．在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（）．
（A）4个（B）5个（C）8个（D）9个
3．下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（）．
（A）对角线互相垂直（B）对角线相等
（C）对角线互相垂直且相等（D）对角线互相平分
4．判断对错
（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD．（）
（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等．（）
（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等．（）
（4）平行四边形是轴对称图形．（）
5．在ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是________．
6．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是．
7．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE．
8．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．
、
9．已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥BC，
求证：BE=CF
第十讲特殊平行四边形
知识点一：矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．
矩形性质1　矩形的四个角都是直角．
矩形性质2　矩形的对角线相等．
矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．
矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．
例1、已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．
例2、已知：如图，矩形ABCD，AB长8 cm，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．
例2、 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC。
求证：CE＝EF．
∴
例3、下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
???（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）
???（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（）
???（3）四个角都相等的四边形是矩形；（）
?????（4）对角线相等的四边形是矩形；（）
?????（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（）
（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）
?（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．()
例4、已知ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．
例5、??已知：如图（1），ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．
练习
1．下列说法正确的是（）．
（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形
（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
（C）对角线互相平分的四边形是矩形
（D）对角互补的平行四边形是矩形
2．（1）矩形的定义中有两个条件：一是，二是．
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．