初二数学-八年级数学动点问题专项训练.doc

动点问题专项训练
1.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

【答案】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°。
∵∠BQD=30°，∴∠QCP=90°。
设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+C=6+x。
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2。
∴当∠BQD=30°时，AP=2。
（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF。
∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°。
∵点P、Q做匀速运动且速度相同，∴AP=BQ。
∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°。
∴在△APE和△BQF中，
∵∠A=∠FBQ，AP=BQ，∠AEP=∠BFQ=90°，∴△APE≌△BQF（AAS）。
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF。∴四边形PEQF是平行四边形。
∴DE=EF。
∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB。
又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3。
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。
2. 如图，已知一次函数的图象与x轴相交于点A，与反比例函数
的图象相交于B（－1，5）、C（，d）两点．点P（m，n）是一次函数的图象上的动点．
（1）求k、b的值；
（2）设，过点P作x轴的平行线与函数的图象相交于点D．试问△PAD的面积是
否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值
范围．

【答案】解：（1）将点B 的坐标代入，得 ，解得。
∴反比例函数解析式为。
将点C（，d）的坐标代入，得。∴C（，－2）。
∵一次函数的图象经过B（－1，5）、C（，－2）两点，
∴，解得。
（2）存在。
令，即，解得。∴A（，0）。
由题意，点P（m，n）是一次函数的图象上的动点，且
∴点P在线段AB 上运动（不含A、B）。设P（）。
∵DP∥x轴，且点D在的图象上，
∴，即D（）。
∴△PAD的面积为。
∴S关于n的二次函数的图象开口向下，有最大值。
又∵n=，，得，而。
∴当时，即P（）时，△PAD的面积S最大，为。
（3）由已知，P（）。
易知m≠n，即，即。
若，则。
由题设，，解出不等式组的解为。
若，则。
由题设，，解出不等式组的解为。
综上所述，数a的取值范围为，。
【考点】反比例函数和一次函数综合问题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的性质，二次函数的性质，不等式组的应用。
【分析】（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，由B 的坐标求得，从而得到；由点C在上求得，即得点C的坐标；由点B、C在上，得方程组，解出即可求得k、b的值。
（2）求出△PAD的面积S关于n的二次函数（也可求出关于m），应用二次函数的最值原理即可求得面积的最大值及此时点P的坐标。
（3）由m≠n得到。分和两种情况求解。
3.如图，已知双曲线，经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；
（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

【答案】解：（1）∵双曲线经过点D（6，1），∴，解得k=6。
（2）设点C到BD的距离为h，
∵点D的坐标为（6，1），DB⊥y轴，∴BD=6，∴S△BCD=×6•h=12，解得h=4。
∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，∴点C的纵坐标为1－4= －3。
∴，解得x= －2。∴点C的坐标为（－2，－3）。
设直线CD的解析式为y=kx＋b，
则，解得。
∴直线CD的解析式为。
（3）AB∥CD。理由如下：
∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，点C的坐标为（－2，－3），点D的坐标为（6，1），
∴点A、B的坐标分别为A（－2，0），B（0，1）。
设直线AB的解析式为y=mx+n，
则，解得。
∴直线AB的解析式为。
∵AB、CD的解析式k都等于相等。
∴AB与CD的位置关系是AB∥CD。
【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的判定。
【分析】（1）把点D的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解。
（2）先根据点D的坐标求出BD的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到BD的距离，然后求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答。
（3）根据题意求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，可知与直线
CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行。