2015高考数学专题十四-数形结合思想(教师版含14年高考试题.doc

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2015高考数学专题十四：数形结合思想
（教师版含13、14年高考题）
数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来：研究方程根的情况，讨论函数的值域(最值)及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效．从今年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数定形”在今后的高考中将会有所加强，应引起重视，复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系．
1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化
(1)集合的运算及韦恩图；
(2)函数及其图象；
(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；
(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线；
(5)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可；
(6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图象求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用．
热点一　利用数形结合思想讨论方程的根
例1　(2014·山东)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(，1)
C．(1,2) D．(2，＋∞)
答案　B
解析　先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，

当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(，1)．
思维升华　用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．
训练1　（1）设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C

解析　由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
解得b＝4，c＝2，∴f(x)＝
作出函数f(x)＝与y＝x的图象，如图，
由图知交点个数有3个，故选C.
（2）　若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内零点的个数是(　　)
A．5　　　　　 B．7
C．8 D．10
[解析]　依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象，结合图象得，当x∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数是8.

[答案]　C
热点二　利用数形结合思想解不等式、求参数范围
例2　(1)已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0，x∈R}，且在(0，＋∞)上单调递增，若f(1)＝0，则满足x·f(x)<0的x的取值范围是________．
(2)若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________．

答案　(1)(－1,0)∪(0,1)　
(2)
解析　(1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x·f(x)<0的x的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．
(2)

作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤.
思维升华　求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答．
训练2　(1)设A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，则使A⊆B成立的实数m的取值范围是__________．
(2)若不等式≤k(x＋2)－的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________.
答案　(1)[－1，＋∞)　(2)
解析　(1) 集合A是一个圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，集合B是一个不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的点的集合，

要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有＝1，又m>0，
所以m＝－1，
故m的取值范围是m≥－1.
(2)令y1＝，
y2＝k(x＋2)－，在同一个坐标系中作出其图象，

因≤k(x＋2)－的解集为[a，b]且b－a＝2.
结合图象知b＝3，a＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,2)．
又因为点(－2，－)在直线上，
所以k＝＝.
热点三　利用数形结合思想解最值问题
例3　(1)已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________．
(2)已知点P(x，y)的坐标x，y满足则x2＋y2－6x＋9的取值范围是(　　)
A．[2,4] B．[2,16]
C．[4,10] D．[4,16]
答案　(1)2　(2)B
解析　

(1)从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRt△PAC＝|PA|·|AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，
此时|PC|＝＝3，
从而|PA|＝＝2.
所以(S四边形PACB)min ＝2××|PA|×|AC|＝2.
(2)

画出可行域如图，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线x－y－1＝0(x≥0)的距离d的平方，最大值为|QA|2＝16.
∵d2＝()2＝()2＝2.
∴取值范围是[2,16]．
思维升华　(1)在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值．
(2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．
　(1)(2013·重庆)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)
A．6 B．4 C．3 D．2
(2)若实数x、y满足则的最小值是______．

答案　(1)B　(2)2
解析　(1)由题意，知圆的圆心坐标为(3，－1)，圆的半径长为2，|PQ|的最小值为圆心到直线x＝－3的距离减去圆的半径长，所以|PQ|min＝3－(－3)－2＝4.故选B.
(2) 可行域如图所示．

又的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k.
由图知，过点A的直线OA的斜率最小．
联立得A(1,2)，
所以kOA＝＝2.所以的最小值为2.
模拟演练5　对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．

[解析]　 (1)由定义可知，
f(x)＝
作出函数f(x)的图象，如图所示．
由图可知，当0<m<时，
f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3.
不妨设x1<x2<x3，
易知x2>0，
且x2＋x3＝2×＝1，
∴x2x3<.
令
解得x＝或x＝(舍去)．
∴<x1<0，∴<x1x2x3<0.

[答案]　(，0)

4．运用数形结合思想解决解析几何中的问题
在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．
例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．
【例6】　已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值．
【解】　根据题意，画出图形如下图，

当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，Rt△PAC的面积SRt△PAC＝|PA|·|AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；
当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，
即CP垂直于直线3x＋4y＋8＝0时，S四边形PACB应有唯一的最小值，
此时|PC|＝＝3，
从而|PA|＝＝2.
∴(S四边形PACB)min＝2××|PA|×|AC|＝2.

规律总结：
1．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的．
2．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．
3．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．
4．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模)；点到直线的距离公式等．
练习题
真题感悟
1．(2013·重庆)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．5－4 B.－1
C．6－2 D.
答案　A
解析　设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝＝5.
而|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.
2．(2014·江西)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)
A.π B.π
C．(6－2)π D.π
答案　A
解析　∵∠AOB＝90°，∴点O在圆C上．
设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，
则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，
∴点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，
∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.
又|OD|＝＝，
∴圆C的最小半径为，
∴圆C面积的最小值为π()2＝π.
3．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
答案　D
解析　函数y＝|f(x)|的图象如图．

①当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立．
②当a>0时，只需在x>0时，
ln(x＋1)≥ax成立．
比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度．
显然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．
③当a<0时，只需在x<0时，x2－2x≥ax成立．
即a≥x－2成立，所以a≥－2.
综上所述：－2≤a≤0.故选D.
4．(2014·天津)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．
答案　(0,1)∪(9，＋∞)
解析　设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，
在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示．

由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，
所以有两组不同解．
消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，
所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，
解得a<1或a>9.
又由图象得a>0，所以0<a<1或a>9.
押题练习
1．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　

(数形结合法)
∵a>0，∴a2＋1>1.
而y＝|x2－2x|的图象如图，
∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．
2．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．[1,2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
答案　A

解析　f(x)＝|x＋3|－|x－1|＝画出函数f(x)的图象，如图，可以看出函数f(x)的最大值为4，故只要a2－3a≥4即可，解得a≤－1或a≥4.正确选项为A.
3．经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.
答案　[－1,1]　[0，]∪[，π)
解析　

如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k>0时，α为锐角．
又kPA＝＝－1，
kPB＝＝1，∴－1≤k≤1.
又当0≤k≤1时，0≤α≤；
当－1≤k<0时，≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈[0，]∪[，π)．
4．(2013·山东)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．
答案　
解析　由题意知原点O到直线x＋y－2＝0的距离为|OM|的最小值．
所以|OM|的最小值为＝.
5．(2013·江西)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为________．
答案　－
解析　∵S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB＝sin∠AOB≤.

当∠AOB＝时，S△AOB面积最大．
此时O到AB的距离d＝.
设AB方程为y＝k(x－)(k<0)，即kx－y－k＝0.
由d＝＝得k＝－.
6. [2014·四川高考]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－2,0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．
[解]　(1)由已知可得，＝，c＝2，所以a＝.
又由a2＝b2＋c2，解得b＝，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)设T点的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率kTF＝＝－m.
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.
当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得
消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0.
其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.
因为四边形OPTQ是平行四边形，
所以＝，即(x1，y1)＝(－3－x2，m－y2)．
所以解得m＝±1.
此时，S四边形OPTQ＝2S△OPQ
＝2×·|OF|·|y1－y2|
＝2 ＝2.
7．设函数F(x)＝其中f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝x2－lnx，方程F(x)＝a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围．
[解]　x∈(0,1)时，g′(x)＝x－<0，x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝x－>0，所以当x＝1时，g(x)取极小值g(1)＝.
(1)当a＝0时，方程F(x)＝a2不可能有4个解；
(2)当a<0时，因为f′(x)＝3a(x2－1)，若x∈(－∞，0]时，f′(x)＝3a(x2－1)，当x∈(－1,0]时，f′(x)>0，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图(1)所示，从图象可以看出F(x)＝a2不可能有4个解．

(3)当a>0时，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，当x∈(－1,0]时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图(2)所示，从图象看出方程F(x)＝a2若有4个解，则<a2<2a，且2a>，所以实数a的取值范围是.
宁可累死在路上，也不能闲死在家里！宁可去碰壁，也不能面壁。是狼就要练好牙，是羊就要练好腿。什么是奋斗？奋斗就是每天很难，可一年一年却越来越容易。不奋斗就是每天都很容易，可一年一年越来越难。能干的人，不在情绪上计较，只在做事上认真；无能的人！不在做事上认真，只在情绪上计较。拼一个春夏秋冬！赢一个无悔人生！早安！—————献给所有努力的人.

学习参考