2015高考数学专题十四-数形结合思想(教师版含14年高考试题.doc

. . . . .2015高考数学专题十四：数形结合思想（教师版含13、14年高考题）数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来：研究方程根的情况，讨论函数的值域(最值)及求变量的取值范围等对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效从今年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数定形”在今后的高考中将会有所加强，应引起重视，复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系1应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化(1)集合的运算及韦恩图；(2)函数及其图象；(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线；(5)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可；(6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图象求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用 热点一利用数形结合思想讨论方程的根例1(2014山东)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx，若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A(0，) B(，1)C(1,2) D(2，)答案B解析先作出函数f(x)|x2|1的图象，如图所示，当直线g(x)kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)kx过A点时斜率为，故f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(，1)思维升华用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数训练1（1）设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，则关于x的方程f(x)x的解的个数为()A1 B2C3 D4答案C解析由f(4)f(0)，f(2)2，解得b4，c2，f(x)作出函数f(x)与yx的图象，如图，由图知交点个数有3个，故选C.（2）若定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且x1,1时，f(x)1x2，函数g(x)则函数h(x)f(x)g(x)在区间5,5内零点的个数是()A5B7C8 D10解析依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数yf(x)与函数yg(x)的图象，结合图象得，当x5,5时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h(x)f(x)g(x)在区间5,5内的零点的个数是8.答案C热点二利用数形结合思想解不等式、求参数范围例2(1)已知奇函数f(x)的定义域是x|x0，xR，且在(0，)上单调递增，若f(1)0，则满足xf(x)0的x的取值范围是_(2)若不等式|x2a|xa1对xR恒成立，则a的取值范围是_答案(1)(1,0)(0,1)(2)解析(1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知xf(x)0，所以m1，故m的取值范围是m1.(2)令y1，y2k(x2)，在同一个坐标系中作出其图象，因k(x2)的解集为a，b且ba2.结合图象知b3，a1，即直线与圆的交点坐标为(1,2)又因为点(2，)在直线上，所以k.热点三利用数形结合思想解最值问题例3(1)已知P是直线l：3x4y80上的动点，PA、PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为_(2)已知点P(x，y)的坐标x，y满足则x2y26x9的取值范围是()A2,4 B2,16C4,10 D4,16答案(1)2(2)B解析(1)从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRtPAC|PA|AC|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|3，从而|PA|2.所以(S四边形PACB)min 2|PA|AC|2.(2)画出可行域如图，所求的x2y26x9(x3)2y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线xy10(x0)的距离d的平方，最大值为|QA|216.d2()2()22.取值范围是2,16思维升华(1)在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值(2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解(1)(2013重庆)设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点，则|PQ|的最小值为()A6 B4 C3 D2(2)若实数x、y满足则的最小值是_答案(1)B(2)2解析(1)由题意，知圆的圆心坐标为(3，1)，圆的半径长为2，|PQ|的最小值为圆心到直线x3的距离减去圆的半径长，所以|PQ|min3(3)24.故选B.(2) 可行域如图所示又的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k.由图知，过点A的直线OA的斜率最小联立得A(1,2)，所以kOA2.所以的最小值为2.模拟演练5对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设f(x)(2x1)*(x1)，且关于x的方程f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_解析 (1)由定义可知，f(x)作出函数f(x)的图象，如图所示由图可知，当0m时，f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3.不妨设x1x20，且x2x321，x2x3.令解得x或x(舍去)x10，x1x2x30时，只需在x0时，ln(x1)ax成立比较对数函数与一次函数yax的增长速度显然不存在a0使ln(x1)ax在x0上恒成立当a0时，只需在x0，即a210a90，解得a9.又由图象得a0，所以0a9.押题练习1方程|x22x|a21(a0)的解的个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析(数形结合法)a0，a211.而y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点2不等式|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A(，14，) B(，25，)C1,2 D(，12，)答案A解析f(x)|x3|x1|画出函数f(x)的图象，如图，可以看出函数f(x)的最大值为4，故只要a23a4即可，解得a1或a4.正确选项为A.3经过P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为_，_.答案1,10，)解析如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPAkkPB，而kPB0，kPA0，故k0时，为锐角又kPA1，kPB1，1k1.又当0k1时，0；当1k0时，.故倾斜角的取值范围为0，)4(2013山东)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是_答案解析由题意知原点O到直线xy20的距离为|OM|的最小值所以|OM|的最小值为.5(2013江西)过点(，0)引直线l与曲线y相交于A、B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为_答案解析SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB.当AOB时，SAOB面积最大此时O到AB的距离d.设AB方程为yk(x)(kb0)的左焦点为F(2,0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，T为直线x3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积解(1)由已知可得，c2，所以a.又由a2b2c2，解得b，所以椭圆C的标准方程是1.(2)设T点的坐标为(3，m)，则直线TF的斜率kTFm.当m0时，直线PQ的斜率kPQ，直线PQ的方程是xmy2.当m0时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m23)y24my20.其判别式16m28(m23)0，所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即(x1，y1)(3x2，my2)所以解得m1.此时，S四边形OPTQ2SOPQ2|OF|y1y2|2 2.7设函数F(x)其中f(x)ax33ax，g(x)x2lnx，方程F(x)a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围解x(0,1)时，g(x)x0，所以当x1时，g(x)取极小值g(1).(1)当a0时，方程F(x)a2不可能有4个解；(2)当a0，当x(，1)时，f(x)0时，当x(，1)时，f(x)0，当x(1,0时，f(x)0，所以当x1时，f(x)取得极大值f(1)2a，又f(0)0，所以F(x)的图象如图(2)所示，从图象看出方程F(x)a2若有4个解，则a2，所以实数a的取值范围是.宁可累死在路上，也不能闲死在家里！宁可去碰壁，也不能面壁。是狼就要练好牙，是羊就要练好腿。什么是奋斗？奋斗就是每天很难，可一年一年却越来越容易。不奋斗就是每天都很容易，可一年一年越来越难。能干的人，不在情绪上计较，只在做事上认真；无能的人！不在做事上认真，只在情绪上计较。拼一个春夏秋冬！赢一个无悔人生！早安！献给所有努力的人.学习参考