2015高考数学专题复习：平面向量.doc

2015高考数学专题复习:平面向量 2015.4.8
1.向量平行与共线：
为不平行向量，已知，，且（共线），则有结论：
2.两个非零向量夹角的概念：
已知非零向量与，作，，则 叫与的夹角，
3.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，与的数量积记作×，即有
× 并规定与任何向量的数量积为

当与同向时，× ， ，当与反向时，×
4.（1）已知两个非零向量，，
则

（2）设，则 ，
（3）已知，，那么 ，
5.设，，则有：
（1）两个非零向量平行的充要条件： 
当时，与方向 ，此时 ，
当时，与方向 ，此时 ，
（2）两个向量垂直的充要条件： 
（3）两向量夹角的余弦值
6.投影的概念：

定义： 叫做向量在方向上的投影，在的投影为
已知，则在轴上的投影为 ，在轴上投影为
7.平行四边形法则：
以为邻边作平行四边形，则有
（1）两条对角线

（2）当时，四边形为

（3）当时，与的夹角是 与的夹角是

（4）当时，与的夹角是

（5）当时，四边形为

（6）当时，与的夹角是

（7）当时，与的夹角是 ,

（8）已知，则

8.三点共线：
1.中，点在底边上，且满足，则用向量表示
A
B
C
P

2.中，点在底边上，且满足，则用向量表示

3.中，点在底边上，且满足，则用向量表示

4.中，点在底边上，且满足，则用向量表示
5.中，点在底边上,平分，则有结论： =
（1）由三角形面积公式 ，有
（2）由三角形面积公式 ，有
6.中，点在底边上，平分,且满足，则用向量表示
A
B
C
P

7.中，平分，,则

8.点为的重心，则有结论： ， ，

9.点为的垂心，则有结论： ，

10.点为的内心，则有结论：

11.点为的外心，则有结论： ,

12.四心合一：当一点满足是三角形内心、外心、重心、垂心中任意两个时，此三角形必为 三角形

练习：
1.设，求

2.若，则

3.(1)若且 , 求点的坐标
(2)已知与共线，且，求点的坐标

4.在平行四边形中，设,，,,则下列等式中不正确的是 （ ）
A． B． C． D．

5. 为不共线向量，,,下列关系式中正确的是 （ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
6.向量=,=且,则=

7.已知=,=,若与-平行,则的值为

8.已知两向量、不共线,=,=-,若与共线,则实数=

9.若三点共线，则的值

10.已知四点坐标分别，则四边形的形状

11.平面向量已知，，求及夹角

12.已知，则为 三角形

13.已知=，=，则=

14.若=,=,则

15.已知,,与的夹角为，则()(-)=

16.已知
（1）求的值
（2）求的夹角
（3）求的值

17.已知，，，则与的夹角为 ，在的投影为

18., 与的夹角为，则在的投影为
19.若则与的夹角的余弦值为 ，在的投影为
和平行的单位向量（ ），和垂直的单位向量（ ）
20.若向量，在上的投影为 ，在轴上的投影为

21.如图,分别是的边的中点，则 （ ）
A．
B．
C．
D．

22.正六边形中，= ( )
A． B． C． D．

23（04山东）已知均为单位向量，它们的夹角为，那么 （ ）
A． B． C． D．
24.在平行四边形中，为一条对角线， （ ）
A． B. C. D.

25.已知，，若，则实数的值为______

26.已知点，则与共线的单位向量是

27.非零向量满足，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为

28.已知的面积为，在所在的平面内有两点，满足，则的面积为

2015高考数学真题汇编:平面向量
定义运算：
1.若向量，则 ( )

2.．若向量满足//，，则
3.设向量 , 则下列结论中正确的是 （ ）
A． B． C． D．与垂直
4.已知向量，如果，那么 （ ）
A．且与同向 B．且与反向
C．且与同向 D．且与反向
5.已知平面向量=,=， 则向量 （ ）
A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线
6.若向量满足，，则
7.已知是夹角为的两个单位向量，，若，则的值为
8.已知均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题真命题是 （ ）
、

A． B． C． D．
9.定义向量一种运算“”如下：对任意的，令，下面错误的是（ ）
A．若与共线，则 B．
C．对任意的，有 D.
10.一质点受力处于平衡状态．成角，且，的大小为，则的大小为

11.已知向量满足则

12.若非零向量满足，则与的夹角为

13.若向量满足，，，则向量与的夹角为

14.已知向量夹角为，且，则

15.直角坐标平面上三点，若为线段的三等分点，则

16.已知点、、、,则向量在方向上的投影为 （　　）
A． B． C． D．

17.已知是边长为1的等边的中心，则的值为
投影：
18.设为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，
则与满足的关系式为 （ ）
A． B． C． D．
19.设，在上的投影为，在轴上的投影为，且，则= （ ）
A． B． C． D．
几何意义：
20.已知两个非零向量满足，则下面结论正确 （ ）

21.设是两个非零向量．正确的是 （ ）
若，则存在实数，使得 若，则
若，则 若存在实数，使得，则
22.两非零向量满足，则向量与的夹角是
23.设点是线段的中点，点在直线外，则（ ）
A． B． C． D．

24. 已知非零向量满足，则与的夹角为________．
25.三角形的外接圆半径为1，圆心，已知，则

26.在四边形中，，则四边形的面积为

27.给出下列命题中，
① 非零向量满足，则的夹角为
②已知非零向量则是的夹角为锐角的充要条件
③ 将函数的图像按向量=平移，得到的图像对应的函数表达式为
④ 若，则为等腰三角形.以上命题正确的是

28.直线与圆交于两点，且，为坐标原点，则

29.(1) 已知，将向量按逆时针旋转后，得向量,则点的坐标是
(2) 已知，将向量按顺时针旋转后，得向量,则点的坐标是
（3）已知，将向量按逆时针旋转后，得向量,则点的坐标是 （ ）

30.设非零向量满足，则的夹角为 （ ）
A． B． C． D．
31.（11山东理科）坐标系中两两不相同的四点，若，，
且，则称调和分割，已知平面上的点调和分割点，则下面说法
正确的是 （ ）
A．可能是线段的中点 B．可能是线段的中点
C．可能同时在线段上 D．不可能同时在线段的延长线上
32.平面上三点不共线，设,则的面积等于 （ ）
A． B． C． D．

33.设向量满足，，，则的最大值等于 （ ）
A．2 B． C． D．1

34.若均为单位向量，且，，则的最大值为 （ ）
A． B．1 C． D．2
三点共线：
A
B
C
P

35.（09山东）设是所在平面内的一点,，则 （ ）
A. B. C. D.

36.中，点在上，，，则= （ ）
A． B． C． D．
37.在中，，是上的一点，若，则实数

38.是平面上一点，点是平面上不共线的三点， 平面内的动点满足
，若，则的值为
39.中，点在上,平分．若，，，则=（ ）
A． B． C． D．

40.中,边上的高为,若，则 （ ）

（2）中，的平分线交边于点，且，则的
长为
(3)如图,在中,为中点,若, ,则________

（4）中，在边上,等差数列中，满足，求和
41.若为边沿及内部一点，且满足，求与的面积之比

42.中，在上,平分．若，
三角形法则

43.（1）若，则必定是 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
（2）在中，若 则是 （ ）
A．等边三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形
44.在正三角形中，是上的点，，则

45.（1）在中，，，是边的中点，则
（2）在中，为边中线上的任意一点，则

46.在平行四边形中，垂足为，且则=

47.在边长为的正三角形中, 设，则=________
48.在中，，，，则=
49.为等边三角形,,，，若，则 （ ）

四心问题：
50.已知在所在平面内，且，且，则点依次是的 （ ）
A．重心 外心 垂心 B．外心 垂心 重心 C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心
51.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的 （ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
52.若的外接圆的圆心为，半径为，，则 ( )
A． B． C． D．
(53). 1.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，
，则点的轨迹一定通过的 （ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
2.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，
，则点的轨迹一定通过的 （ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
3.已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：
，则的值为 （ ）
A．2 B． C．3 D．6
4.点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（ ）
A． B． C． D．
5.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，
则是的 （ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6.是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足，
则点一定为的 (　　)
A.边中线的中点 B.边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.边的中点
7. 设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分不必要条件是 （ ）
D．且

8.在中，已知，且,则为 三角形
9.已知为的外接圆的圆心，满足，则等于 （ ）
A. 1 B. C. D.
10已知是所在平面内一点,为边中点，且，，

11.若所在的平面内的点，且.给出下列说法：[来源:Zxxk.Com]
①；
②的最小值一定是
③点在一条直线上
④向量及在向量的方向上的投影必相等. 其中正确的个数是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
12.中，设，那么动点的轨迹必通过的 （ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
54.矩形中,为中点,在上,若,则的值是
设分别是的斜边上的两个三等分点，已知，则 ．
55.给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点在以为圆心的圆弧上
变动. 若其中, 则的最大值是_____，的最大值是_____

56.正方形边长为，是边上的动点，则的值为____，的最大值为
57.平行四边形中，,在边上，，则

58.直角梯形，,,,是腰上动点，
最小值
59.(山东)已知向量与的夹角，且，若，且，
则实数的值为

60.是半径为1的圆上两点，且．若点是圆上任意一点，则的取值范围为 ．

61. 在边长为1的正中，为边上一动点，则的取值范围是

62.是圆的直径,是圆弧上的点,是直径上关于对称的两点,且,则
（　　）
A． B． C． D．

63.在平行四边形中,，边、的长分别为，若、分别是边、
上的点，且满足，则的取值范围是 .
64.中,,,,.若,（　　）
A． B． C． D．
65. 已知，，与的夹角为，，则与的夹角为

66. 已知，，，，若则实数等于 ( )
A.　　 　　B.　　 　C.　　　 　D.3
67.两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则 ，

68.设是单位向量，且，则的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
69.在中，，且，点满足等于 ( )
A． B． C． D．
70.在中，是的中点，，点满足 （ ）
A． B． C． D．
71.在中，点是上一点，且,是中点，与交点为，又
，则的值为
72.平行四边形中，点是边（靠近点）的三等分点，是（靠近点）的三等分点，
是与的交点，则表示为

73.（三角形法则）中，与交于，
为（ ）
A． B． C． D．

74.中，点是边的中点，是边（靠近点）的三等分点，交于点，则用向量
表示=
75.在中,,,，则= （ ）
A． B． C． D．
76.若函数的图像按向量平移后，得到函数的图像，则向量

77.在中，角所对的边分别为，若，那么

78.已知，点在第一象限内，，且，若，则+的值是

79.（三点共线）四边形是正方形,延长至,使得.若动点从点出发,沿正方形
的边按逆时针方向运动一周回到点,其中,下列判断正确的是（　　）
A.满足的点必为的中点 B.满足的点有且只有一个
C.的最大值为 D.的最小值不存在

80.在中,，则 （　　）
A． B． C． D．
81.设单位向量.若,则_______________
82.已知向量,则与同向的单位向量的坐标表示为________，向量与向量
夹角的余弦值为____________.

83.中,是中点，, 点在上且满足,则等于（ ）
A． B． C． D．
84.在中，且，点满足，则

85.在边长为1的正，，是的中点，则= （ ）
A． B． C． D．
86.已知(其中为正数)，若，则的最小值是 (　　)
A．2 B． C．4 D．8

87.已知向量==,若，则的最小值为

88.若平面向量满足，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则与的
夹角的取值范围是

89.在中，是的中点，，则______________．

90.直线与圆相交于两点，若，则等于 (　　)
A． B． C．7 D．14

91.定义：，为向量与的夹角，若，，，则=（　　）
A． B． C．或 D．

92.，对任意，恒有则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
93.已知是同一平面内的三个向量，其中若，且，求的坐标
若且与垂直，与的夹角=

94.向量且．若满足不等式，则的取值范围为

95.在正中，是上的点，，则

96.已知向量＝，，向量
（Ⅰ）若，求的值
（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围

97.已知向量，
（Ⅰ）若，求
（Ⅱ）求的最大值．

98.（重心）已知是所在平面内一点,为边中点，且，那么 （　 　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

99.已知向量，则在方向上的投影为

100.设向量满足：．以的模为边长构成三角形，则它的边与半径
为的圆的公共点个数最多为 （ ）
A． B． C． D．

101.已知点，为坐标原点。
（Ⅰ）若,求的值；
（Ⅱ）若实数满足,求的最大值。

102.在平面直角坐标系中，设是圆上相异三点，若存在正实数，使得，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
103.在直角中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则等于

104.中，则=
106. 给出以下四个命题：
① 对任意两个向量,都有|·| =||·||
②若,是两个不共线的向量，且，则共线
③若向量，则与的夹角为
④若向量满足，则的夹角为,以上命题中，错误命题的序号是
107. 在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是 （ 　）
A. B. C. D.
108.（不等式）已知圆的半径为，为两条切线，为两切点，那么的最小值为

109.已知，则的夹角取值范围是

110.为具有相同起点的三个非零向量，且与不共线，，,则的值等于（ ）
A.以为邻边的平行四边形的面积 B. 以为两边的三角形面积
C.以为两边的三角形面积 D. 以为邻边的平行四边形的面积
111.如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于时，的坐标为_______

112. 如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，
设向量，则的最小值是 ．

113.若非零向量满足，则下列结论一定成立的是 （ ）
A. B. C. D．

114. 在中，为边中线上的任意一点，则

2015高考数学一轮复习测试题：平面向量
1.已知平面向量,且,则实数的值为 （　　）
A． B． C． D．
2.设为平面上四点,,则 （　　）
A.点在线段上 B.点在线段上 C.点在线段上 D.四点共线
3.已知,则向量的夹角为 （　　）
A． B． C． D．
4.如图,在边长为的菱形中,,为中点,则 （　　）

A． B． C． D．
5.在中,是的重心,的边长分别为,.则= （　　）
A． B． C． D．-
6.若函数的图像与轴交于点,过点的直线与函数的图像交于
两点,则 （　　）
A． B． C． D．
7.若两个非零向量,满足,则向量与的夹角为 （　　）
A． B． C． D．
8.若等边的边长为，平面内一点满足，则 ( )
A．1 B． C． D．
9.在中，，，点是内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10.若向量与的夹角为，且，则有 （ ）
A. B. C. D.
11.向量若与共线，则等于 （ ）
A． B． C． D.
12.在直角梯形中，，∥，，，动点在以点
为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设则取值范围是 （ ）
A． B． C． D．

13.平面上有四个互异的点，满足，则是 （ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

14.设单位向量

15.已知向量、的夹角为，且，，则向量与向量的夹角等于 ．

16.若向量=,=，在上的投影为

17.给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为.点在以为圆心的圆弧上变动.
若其中, 则的最大值是_____

18.如图，在直角梯形中，是线段上一动点，是线段
上一动点，，则的取值范围是 ．

19.中，的平分线交于点，若，，则的长为

20.在边长为的等边中，设

21.已知是圆上的动点，定点，则的最大值

22.在中，是边中点，角的对边分别是若，
证明的形状为等边三角形

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