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2015高考数学专题复习:平面向量 2015.4.81.向量平行与共线：为不平行向量，已知，且（共线），则有结论： 2.两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作，则 叫与的夹角， 3.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，与的数量积记作，即有 并规定与任何向量的数量积为 当与同向时， ， ，当与反向时， 4.（1）已知两个非零向量，则 （2）设，则 ， （3）已知，那么 ， 5.设，则有： （1）两个非零向量平行的充要条件： 当时，与方向 ，此时 ， 当时，与方向 ，此时 ， （2）两个向量垂直的充要条件： （3）两向量夹角的余弦值 6.投影的概念： 定义： 叫做向量在方向上的投影，在的投影为 已知，则在轴上的投影为 ，在轴上投影为 7.平行四边形法则：以为邻边作平行四边形，则有（1）两条对角线 （2）当时，四边形为 （3）当时，与的夹角是 与的夹角是 （4）当时，与的夹角是 （5）当时，四边形为 （6）当时，与的夹角是 （7）当时，与的夹角是 , （8）已知，则 8.三点共线：1.中，点在底边上，且满足，则用向量表示 A B C P 2.中，点在底边上，且满足，则用向量表示 3.中，点在底边上，且满足，则用向量表示 4.中，点在底边上，且满足，则用向量表示 5.中，点在底边上,平分，则有结论： = （1）由三角形面积公式 ，有 （2）由三角形面积公式 ，有 6.中，点在底边上，平分,且满足，则用向量表示 A B C P 7.中，平分，,则 8.点为的重心，则有结论： ， ， 9.点为的垂心，则有结论： ， 10.点为的内心，则有结论： 11.点为的外心，则有结论： ,12.四心合一：当一点满足是三角形内心、外心、重心、垂心中任意两个时，此三角形必为 三角形练习：1.设，求 2.若，则 3.(1)若且 , 求点的坐标 (2)已知与共线，且，求点的坐标4.在平行四边形中，设,，,则下列等式中不正确的是 （ ）AB C D5. 为不共线向量，,下列关系式中正确的是 （ ）A B C D6.向量=,=且,则= 7.已知=,=,若与-平行,则的值为 8.已知两向量、不共线,=,=-,若与共线,则实数= 9.若三点共线，则的值 10.已知四点坐标分别，则四边形的形状 11.平面向量已知，求及夹角12.已知，则为 三角形13.已知=，=，则= 14.若=,=,则 15.已知,与的夹角为，则()(-)= 16.已知（1）求的值 （2）求的夹角（3）求的值17.已知，则与的夹角为 ，在的投影为 18., 与的夹角为，则在的投影为 19.若则与的夹角的余弦值为 ，在的投影为 和平行的单位向量（ ），和垂直的单位向量（ ）20.若向量，在上的投影为 ，在轴上的投影为 21.如图,分别是的边的中点，则 （ ）A BC D 22.正六边形中，= ( )A B C D23（04山东）已知均为单位向量，它们的夹角为，那么 （ ）ABCD24.在平行四边形中，为一条对角线， （ ）AB.C.D.25.已知，若，则实数的值为_26.已知点，则与共线的单位向量是 27.非零向量满足，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为 28.已知的面积为，在所在的平面内有两点，满足，则的面积为 2015高考数学真题汇编:平面向量定义运算：1.若向量，则 ( ) 2.若向量满足/，则 3.设向量 , 则下列结论中正确的是 （ ）A B C D与垂直4.已知向量，如果，那么 （ ）A且与同向 B且与反向C且与同向 D且与反向5.已知平面向量=,=， 则向量 （ ）A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 6.若向量满足，则 7.已知是夹角为的两个单位向量，若，则的值为 8.已知均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题真命题是 （ ）、 A B C D9.定义向量一种运算“”如下：对任意的，令，下面错误的是（ ）A若与共线，则 BC对任意的，有 D. 10.一质点受力处于平衡状态成角，且，的大小为，则的大小为 11.已知向量满足则 12.若非零向量满足，则与的夹角为 13.若向量满足，则向量与的夹角为 14.已知向量夹角为，且，则 15.直角坐标平面上三点，若为线段的三等分点，则 16.已知点、,则向量在方向上的投影为（）ABCD 17.已知是边长为1的等边的中心，则的值为 投影：18.设为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为 （ ）A B CD19.设，在上的投影为，在轴上的投影为，且，则= （ ）ABCD几何意义：20.已知两个非零向量满足，则下面结论正确 （ ） 21.设是两个非零向量正确的是 （ ） 若，则存在实数，使得 若，则若，则 若存在实数，使得，则22.两非零向量满足，则向量与的夹角是 23.设点是线段的中点，点在直线外，则（ ）A B C D24. 已知非零向量满足，则与的夹角为_25.三角形的外接圆半径为1，圆心，已知，则 26.在四边形中，则四边形的面积为 27.给出下列命题中， 非零向量满足，则的夹角为已知非零向量则是的夹角为锐角的充要条件 将函数的图像按向量=平移，得到的图像对应的函数表达式为 若，则为等腰三角形.以上命题正确的是 28.直线与圆交于两点，且，为坐标原点，则 29.(1) 已知，将向量按逆时针旋转后，得向量,则点的坐标是 (2) 已知，将向量按顺时针旋转后，得向量,则点的坐标是 （3）已知，将向量按逆时针旋转后，得向量,则点的坐标是 （ ） 30.设非零向量满足，则的夹角为 （ ）A B C D31.（11山东理科）坐标系中两两不相同的四点，若，且，则称调和分割，已知平面上的点调和分割点，则下面说法正确的是 （ ）A可能是线段的中点 B可能是线段的中点 C可能同时在线段上 D不可能同时在线段的延长线上32.平面上三点不共线，设,则的面积等于 （ ） A B C D33.设向量满足，则的最大值等于 （ ）A2 B C D134.若均为单位向量，且，则的最大值为 （ ）A B1 C D2三点共线：A B C P 35.（09山东）设是所在平面内的一点,，则 （ ）A. B. C. D.36.中，点在上，则= （ ）A B C D37.在中，是上的一点，若，则实数 38.是平面上一点，点是平面上不共线的三点， 平面内的动点满足，若，则的值为 39.中，点在上,平分若，则=（ ）A B C D40.中,边上的高为,若，则 （ ） （2）中，的平分线交边于点，且，则的长为 (3)如图,在中,为中点,若, ,则_（4）中，在边上,等差数列中，满足，求和 41.若为边沿及内部一点，且满足，求与的面积之比 42.中，在上,平分若， 三角形法则 43.（1）若，则必定是（ ）A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形（2）在中，若 则是 （ ）A等边三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形44.在正三角形中，是上的点，则 45.（1）在中，是边的中点，则 （2）在中，为边中线上的任意一点，则 46.在平行四边形中，垂足为，且则= 47.在边长为的正三角形中, 设，则=_ 48.在中，则= 49.为等边三角形,，若，则 （ ） 四心问题：50.已知在所在平面内，且，且，则点依次是的 （ ）A重心 外心 垂心 B外心 垂心 重心 C外心 重心 垂心 D外心 重心 内心51.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的 （ ）A外心 B内心 C重心 D垂心52.若的外接圆的圆心为，半径为，则 ( )A B C D(53). 1.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的 （ ）A外心 B内心 C重心 D垂心2.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的 （ ） A外心 B内心 C重心 D垂心3.已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为 （ ） A2 B C3 D64.点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（ ） A B C D5.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的 （ ）A外心 B内心 C重心 D垂心6.是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足，则点一定为的 ()A.边中线的中点 B.边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.边的中点7. 设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分不必要条件是 （ ） D且8.在中，已知，且,则为 三角形9.已知为的外接圆的圆心，满足，则等于 （ ）A. 1 B. C. D. 10已知是所在平面内一点,为边中点，且， 11.若所在的平面内的点，且.给出下列说法：来源:Zxxk.Com；的最小值一定是点在一条直线上向量及在向量的方向上的投影必相等. 其中正确的个数是 （ ）A.1B.2 C.3 D.412.中，设，那么动点的轨迹必通过的 （ ）A外心 B内心 C重心 D垂心54.矩形中,为中点,在上,若,则的值是 设分别是的斜边上的两个三等分点，已知，则 55.给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点在以为圆心的圆弧上变动. 若其中, 则的最大值是_，的最大值是_56.正方形边长为，是边上的动点，则的值为_，的最大值为 57.平行四边形中，,在边上，则 58.直角梯形，,是腰上动点，最小值 59.(山东)已知向量与的夹角，且，若，且，则实数的值为 60.是半径为1的圆上两点，且若点是圆上任意一点，则的取值范围为 61. 在边长为1的正中，为边上一动点，则的取值范围是 62.是圆的直径,是圆弧上的点,是直径上关于对称的两点,且,则 （）ABCD63.在平行四边形中,，边、的长分别为，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 .64.中,.若,（）ABCD65. 已知，与的夹角为，则与的夹角为 66. 已知，若则实数等于 ( )A. B. C. D.367.两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则 ， 68.设是单位向量，且，则的最小值为 （ ）A B C D69.在中，且，点满足等于 ( )A B C D70.在中，是的中点，点满足 （ ）ABCD71.在中，点是上一点，且,是中点，与交点为，又，则的值为 72.平行四边形中，点是边（靠近点）的三等分点，是（靠近点）的三等分点，是与的交点，则表示为 73.（三角形法则）中，与交于，为（ ）A B C D74.中，点是边的中点，是边（靠近点）的三等分点，交于点，则用向量表示= 75.在中,，则= （ ）A B C D76.若函数的图像按向量平移后，得到函数的图像，则向量 77.在中，角所对的边分别为，若，那么 78.已知，点在第一象限内，且，若，则+的值是 79.（三点共线）四边形是正方形,延长至,使得.若动点从点出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点,其中,下列判断正确的是（）A.满足的点必为的中点 B.满足的点有且只有一个 C.的最大值为D.的最小值不存在80.在中,，则（）ABCD81.设单位向量.若,则_82.已知向量,则与同向的单位向量的坐标表示为_，向量与向量夹角的余弦值为_.83.中,是中点，, 点在上且满足,则等于（ ）A B C D 84.在中，且，点满足，则 85.在边长为1的正，是的中点，则= （ ）ABCD86.已知(其中为正数)，若，则的最小值是 ()A2 B C4 D887.已知向量=,若，则的最小值为 88.若平面向量满足，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是 89.在中，是的中点，则_90.直线与圆相交于两点，若，则等于 ()A B C7 D1491.定义：，为向量与的夹角，若，则=（）A B C或 D92.，对任意，恒有则 （ ） (A) (B) (C) (D) 93.已知是同一平面内的三个向量，其中若，且，求的坐标 若且与垂直，与的夹角= 94.向量且若满足不等式，则的取值范围为 95.在正中，是上的点，则 96.已知向量，向量（）若，求的值 （）若恒成立，求实数的取值范围97.已知向量，（）若，求（）求的最大值98.（重心）已知是所在平面内一点,为边中点，且，那么 （ ） 99.已知向量，则在方向上的投影为 100.设向量满足：以的模为边长构成三角形，则它的边与半径 为的圆的公共点个数最多为 （ ） A B C D101.已知点，为坐标原点。（）若,求的值；（）若实数满足,求的最大值。102.在平面直角坐标系中，设是圆上相异三点，若存在正实数，使得，则的取值范围是（ ）A BC D103.在直角中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则等于 104.中，则= 106. 给出以下四个命题： 对任意两个向量,都有| =|若,是两个不共线的向量，且，则共线若向量，则与的夹角为若向量满足，则的夹角为,以上命题中，错误命题的序号是 107. 在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是 （ ）A. B. C. D.108.（不等式）已知圆的半径为，为两条切线，为两切点，那么的最小值为 109.已知，则的夹角取值范围是 110.为具有相同起点的三个非零向量，且与不共线，,则的值等于（ ） A.以为邻边的平行四边形的面积 B. 以为两边的三角形面积C.以为两边的三角形面积 D. 以为邻边的平行四边形的面积111.如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于时，的坐标为_112. 如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点， 设向量，则的最小值是 113.若非零向量满足，则下列结论一定成立的是 （ ） A. B. C.D114. 在中，为边中线上的任意一点，则 2015高考数学一轮复习测试题：平面向量1.已知平面向量,且,则实数的值为（）A B C D 2.设为平面上四点,则（）A.点在线段上 B.点在线段上 C.点在线段上 D.四点共线3.已知,则向量的夹角为（）ABCD4.如图,在边长为的菱形中,为中点,则 （）ABCD5.在中,是的重心,的边长分别为,.则= （）ABCD-6.若函数的图像与轴交于点,过点的直线与函数的图像交于 两点,则（）ABCD7.若两个非零向量,满足,则向量与的夹角为（）ABCD8.若等边的边长为，平面内一点满足，则 ( )A1 B C D 9.在中，点是内一点，则的最小值是（ ）A B C D 10.若向量与的夹角为，且，则有 （ ） A. B. C. D. 11.向量若与共线，则等于 （ ） A B C D. 12.在直角梯形中，动点在以点 为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设则取值范围是 （ ） A B C D13.平面上有四个互异的点，满足，则是 （ ）A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形14.设单位向量 15.已知向量、的夹角为，且，则向量与向量的夹角等于 16.若向量=,=，在上的投影为 17.给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为.点在以为圆心的圆弧上变动. 若其中, 则的最大值是_18.如图，在直角梯形中，是线段上一动点，是线段 上一动点，则的取值范围是 19.中，的平分线交于点，若，则的长为 20.在边长为的等边中，设 21.已知是圆上的动点，定点，则的最大值 22.在中，是边中点，角的对边分别是若， 证明的形状为等边三角形 24