2019高考卷III理科数学真题(含答案).docx

2019普通高等学校招生全国统一考试(全国III卷)
理科数学
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

A．{-1，0，1} B．{0，1} C．{-1，1} D．{0，1，2}
2.若z（1+i）=2i，则z=
A．-1-I B．-1+I C．1-i D．1+i
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著。某中学为了了解本小学生阅读四大名著的情况，随机调查看了100位学生，期中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
4.的展开式中的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
5.已知各项均为正数的等比数列 {}的前4项和为15，且 ，则
A．16 B．8 C．4 D．2
6.已知曲线y=+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则
A．a=e，b=-1 B．a=e，b=1 C．a= ，b=1 D．a=，b=-1
7.函数，在[-6,6]的图像大致为

A． B. C． D.

10.双曲线的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线上,O为坐标原点,若,则△PFO 的面积为
A. B. C. D.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

三.解答题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答：

（一） 必考题：共60分。

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学·参考答案
一、选择题
1．A 2．D 3．C 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．C 10．A 11．C 12．D
二、填空题
13． 14．4 15． 16．118.8
三、解答题
17．解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．
18．解：（1）由题设及正弦定理得．
因为sinA0，所以．
由，可得，故．
因为，故，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得．
由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故，从而．
因此，△ABC面积的取值范围是．
19．解：（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．
又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．
（2）作EHBC，垂足为H．因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC．
由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=．
以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz，则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），=（1，0，），=（2，–1，0）．
设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则
即
所以可取n=（3，6，–）．
又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），所以．
因此二面角B–CG–A的大小为30°．
20. 解：（1）．
令，得x=0或.
若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；
若a=0，在单调递增；
若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.
（2）满足题设条件的a，b存在.
（i）当a≤0时，由（1）知，在[0，1]单调递增，所以在区间[0，l]的最小值为，最大值为.此时a，b满足题设条件当且仅当，，即a=0，．
（ii）当a≥3时，由（1）知，在[0，1]单调递减，所以在区间[0，1]的最大值为，最小值为．此时a，b满足题设条件当且仅当，b=1，即a=4，b=1．
（iii）当0<a<3时，由（1）知，在[0，1]的最小值为，最大值为b或．
若，b=1，则，与0<a<3矛盾.
若，，则或或a=0，与0<a<3矛盾．
综上，当且仅当a=0，或a=4，b=1时，在[0，1]的最小值为–1，最大值为1．
21．解：（1）设，则.由于，
所以切线DA的斜率为，故 .整理得
设，同理可得.
故直线AB的方程为.所以直线AB过定点.
（2）由（1）得直线AB的方程为.由，可得.
于是，
.
设分别为点D，E到直线AB的距离，则.
因此，四边形ADBE的面积.
设M为线段AB的中点，则.
由于，而，与向量平行，
所以.解得t=0或； 当=0时，S=3；当时，.
因此，四边形ADBE的面积为3或.
22.解：（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为
，，.
所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为.
（2）设，由题设及（1）知若，则，解得；
若，则，解得或；
若，则，解得.
综上，P的极坐标为或或或.

23．解：（1）由于

，
故由已知得，
当且仅当x=，y=–，时等号成立．
所以的最小值为.
（2）由于

，
故由已知，
当且仅当，，时等号成立．
因此的最小值为．
由题设知，解得或．