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全国通用高中数学选修二综合测试题(二十二)

1

单选题
1、函数f(x)=x(lnx)2的减区间是（    ）
A．(0,1e2)B．(0,1e)C．(1e2,1)D．(1e,1)
答案：C
分析：求得f'(x)=(lnx)2+2lnx，根据减函数有f'(x)<0求减区间即可.
由题意，f'(x)=(lnx)2+x⋅2lnxx=(lnx)2+2lnx，
令f'(x)<0，得-2<lnx<0，则1e2<x<1，故f(x)的减区间是(1e2,1).
故选：C
2、已知an是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和．若S3=3a1+3，则d=（    ）
A．-2B．-1C．1D．2
答案：C
解析：根据an是公差为d的等差数列，且S3=3a1+3，利用等差数列的前n项和公式求解.
因为an是公差为d的等差数列，且S3=3a1+3，
所以3a1+3d=3a1+3，
解得d=1，
故选：C
3、如图，函数y=f(x)的图象在点P(2,y)处的切线是l，则f(2)+f'(2)=（       ）

A．-3B．-2C．2D．1
答案：D
分析：由题图求得函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程，再求得f(2)，f'(2)，从而求得答案.
解：由题图可得函数y=f(x)的图象在点P处的切线与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,4)，则切线l:x+y=4，
∴f(2)=2，f'(2)=-1，f(2)+f'(2)=2-1=1，
故选：D.
4、函数fx=e|x|3x的部分图象大致为（    ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：先求解fx的定义域并判断奇偶性，然后根据f1的值以及fx在0,+∞上的单调性选择合适图象.
fx=ex3x定义域为-∞,0∪0,+∞，f-x=-ex3x，
则f-x=-fx，fx为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；
f1=e3<1，故排除A；
∵fx=ex3x，当x>0时，可得f'x=x-1ex3x2，当x>1时，f'x>0，fx单调递增，故排除D.
故选：C.
5、已知函数fx=x2+1,x≥0-x3+3x+a,x<0的值域为1,+∞，则实数a的取值范围是（    ）
A．1,+∞B．1,+∞C．3,+∞D．3,+∞
答案：D
分析：求出函数y=x2+1在x≥0时值的集合， 函数y=-x3+3x+a在x<0时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.
当x≥0时，f(x)=x2+1在[0,+∞)上单调递增，∀x∈[0,+∞)，f(x)≥f(0)=1，则f(x)在[0,+∞)上值的集合是1,+∞，
当x<0时，f(x)=-x3+3x+a，f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1)，
当x<-1时，f'(x)<0，当-1<x<0时，f'(x)>0，即f(x)在(-∞,-1)上单调递减，在(-1,0)上单调递增，
∀x<0，f(x)≥f(-1)=a-2，则f(x)在(-∞,0)上值的集合为[a-2,+∞)，
因函数fx=x2+1,x≥0-x3+3x+a,x<0的值域为1,+∞，于是得[a-2,+∞)⊆[1,+∞)，则a-2≥1，解得a≥3，
所以实数a的取值范围是3,+∞.
故选：D
6、函数y=f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是（    ）

A．0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)
B．0<f'(2)<f(3)-f(2)<f'(3)
C．0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)
D．0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)
答案：C
分析：根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.
如图所示，根据导数的几何意义，可得f'2表示切线l1斜率k1>0，
f'3表示切线l3斜率k3>0，
又由平均变化率的定义，可得f(3)-f(2)3-2=f(3)-f(2)，表示割线l2的斜率k2，
结合图象，可得0<k3<k2<k1，即0<f'3<f(3)-f(2)<f'2.
故选：C.

7、已知a=cos23，b=sin79，c=79，则（    ）
A．a>c>bB．a>b>cC．c>a>bD．c>b>a
答案：A
分析：令f(x)=x-sinx,求导得f'(x)=1-cosx≥0，于是得f(x)在R上单调递增，所以当x>0时有x>sinx，进而可得c>b，由二倍角公式及f(x)的单调性可得a=cos23=1-2sin213>1-2×(13)2=79，即可得答案.
解：令f(x)=x-sinx,则f'(x)=1-cosx≥0，
所以f(x)在R上单调递增，
所以当x>0时，f(x)>f(0)=0，
即当x>0时，x>sinx，
所以79>sin79，即c>b，
又因为a=cos23=1-2sin213>1-2×(13)2=79，
即a>c，
综上所述：a>c>b.
故选：A.
小提示：本题考查了通过构造函数，利用函数的单调性进行大小比较，也考查了导数的应用和逻辑推理能力，属于较难题.
8、在数列an中，a1=-14,an=1-1an-1n≥2,n∈N*，则a2021的值为（    ）
A．-14B．5
C．45D．54
答案：B
分析：根据递推关系可判断数列为周期数列，从而可求a2021.
因为在数列an中，a1=-14,an=1-1an-1，
所以an+2=1-1an+1=1-11-1an=1-anan-1=-1an-1=-11-1an-1-1=an-1，
故an是周期数列且周期为3，故a2021=a673×3+2=a2=1-1-14=5.
故选：B.
多选题
9、已知函数fx=x2-3ex，现给出下列结论，其中正确的是（    ）
A．函数fx有极小值，但无最小值
B．函数fx有极大值，但无最大值
C．若方程fx=b恰有一个实数根，则b>6e-3
D．若方程fx=b恰有三个不同实数根，则0<b<6e-3
答案：BD
分析：先求导，根据导数和函数单调性的关系，以及极值和最值的关系即可判断．
解： 由题意得f'x=x2+2x-3ex．令f'x=0，即x2+2x-3ex=0，解得x=1或x=-3．则当x<-3或x>1时，f'x>0，函数在-∞,-3和1,+∞上单调递增；当-3<x<1时，f'x<0，函数在-3,1上单调递减．所以函数在x=-3处取得极大值f-3=6e-3，在x=1处取得极小值f1=-2e．又x→-∞时，fx→0；x→+∞时fx→+∞．作出函数fx=x2-3ex的大致图象如下图所示：

因此fx有极小值f1，也有最小值f1，有极大值f-3，但无最大值．若方程fx=b恰有一个实数根，则b>6e-3或b=-2e；若方程fx=b恰有三个不同实数根，则0<b<6e-3．
故选：BD
10、若Sn为数列an的前n项和，且Sn=2an+1,(n∈N*)，则下列说法正确的是
A．a5=-16B．S5=-63
C．数列an是等比数列D．数列Sn+1是等比数列
答案：AC
解析：根据题意，先得到a1=-1，再由an=Sn-Sn-1(n≥2)，推出数列an是等比数列，根据等比数列的通项公式与求和公式，逐项判断，即可得出结果.
因为Sn为数列an的前n项和，且Sn=2an+1,(n∈N*)，
所以S1=2a1+1，因此a1=-1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，即an=2an-1，
所以数列an是以-1为首项，以2为公比的等比数列，故C正确；
因此a5=-1×24=-16，故A正确；
又Sn=2an+1=-2n+1，所以S5=-25+1=-31，故B错误；
因为S1+1=0，所以数列Sn+1不是等比数列，故D错误.
故选：AC.
小提示：本题主要考查由递推公式判断等比数列，以及等比数列基本量的运算，熟记等比数列的概念，以及等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.
11、已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=ex(x+1)，则下列命题正确的是（    ）
A．当x>0时，f(x)=-e-x(x-1)
B．函数fx有3个零点
C．fx<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1)
D．∀x1,x2∈R，都有fx1-fx2<2
答案：BCD
分析：由函数的奇偶性求出x>0时的解析式，可判断选项A；利用方程根与函数零点的关系，可判断选项B；利用导数得出函数的图象可判断选项C；根据函数的最值可判断选项D．
函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=ex(x+1)，
设x>0时，-x<0，f(-x)=e-x(-x+1)，∴f(x)=-f(-x)=e-x(x-1)，
x=0时，f(0)=0．因此函数f(x)有三个零点：0，±1．
当x<0时，f(x)=ex(x+1)，f'(x)=ex(x+2)，可得x=-2时，函数f(x)取得极小值，
f(-2)=-1e2．可得其图象：

f(x)<0时的解集为：(-∞,-1)∪(0,1)．
∀x1,    x2∈R，都有fx1-fx2≤f0+-f0-<2．
因此BCD都正确．
故选：BCD．
小提示：关键点点睛：本题考查函数的性质，考查奇偶性的应用，考查函数的零点，考查函数的图象，解决本题的关键点是利用导数判断出函数的单调性和极值，画出函数的图象，根据函数的性质解决问题，考查学生数形结合能力与计算能力，属于基础题．
12、已知正项数列an的首项为2，前n项和为Sn，且an+1-anan+1+an2+Sn+an=Sn+1+1，bn=1an+an+1-2，数列bn的前n项和为Tn，若Tn<16，则n的值可以为（    ）
A．543B．542
C．546D．544
答案：AB
分析：由an+1-anan+1+an2+Sn+an=Sn+1+1可得an+1-12-an-12=2，然后求出an，然后可得bn、Tn，然后可解出答案.
因为an+1-anan+1+an2+Sn+an=Sn+1+1，所以an+12-an2=2an+1-an+1，
即an+1-12-an-12=2，故数列an-12是首项为a1-12=1，公差为2的等差数列，
则an-12=2n-1，则an=2n-1+1，
所以bn=1an+an+1-2=12n+1+2n-1=2n+1-2n-12，
则Tn=123-1+5-3+⋅⋅⋅+2n+1-2n-1=122n+1-1，
令122n+1-1<16，解得2n+1<33，即n<544，
故选:AB
解答题
13、已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna．
（1）当a=e时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式fx≥1恒成立，求a的取值范围．
答案：（1）2e-1（2）[1,+∞)
分析：（1）利用导数的几何意义求出在点1,f1切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）方法一：利用导数研究函数fx的单调性，当a=1时，由f'1=0得fxmin=f1=1,符合题意；当a>1时，可证f'(1a)f'(1)<0，从而f'x存在零点x0>0，使得f'(x0)=aex0-1-1x0=0，得到f(x)min，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得fx≥1恒成立；当0<a<1时，研究f1.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.
（1）∵f(x)=ex-lnx+1，∴f'(x)=ex-1x，∴k=f'(1)=e-1.
∵f(1)=e+1，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数fx在点(1,f(1)处的切线方程为y-e-1=(e-1)(x-1),即y=e-1x+2,
∴切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(-2e-1,0),
∴所求三角形面积为12×2×|-2e-1|=2e-1．
（2）［方法一］：通性通法
∵f(x)=aex-1-lnx+lna,∴f'(x)=aex-1-1x，且a>0.
设g(x)=f'(x),则g'(x)=aex-1+1x2>0,
∴g(x)在(0,+∞)上单调递增，即f'(x)在(0,+∞)上单调递增，
当a=1时，f'(1)=0,∴fxmin=f1=1,∴fx≥1成立.
当a>1时，1a<1 ，∴e1a-1<1，∴f'(1a)f'(1)=a(e1a-1-1)(a-1)<0,
∴存在唯一x0>0，使得f'(x0)=aex0-1-1x0=0，且当x∈(0,x0)时f'(x)<0，当x∈(x0,+∞)时f'(x)>0，∴aex0-1=1x0，∴lna+x0-1=-lnx0，
因此f(x)min=f(x0)=aex0-1-lnx0+lna
=1x0+lna+x0-1+lna≥2lna-1+21x0⋅x0=2lna+1>1,
∴fx>1,∴fx≥1恒成立；
当0<a<1时， f(1)=a+lna<a<1,∴f(1)<1,f(x)≥1不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
［方法二］【最优解】：同构
由f(x)≥1得aex-1-lnx+lna≥1，即elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x，而lnx+x=elnx+lnx，所以elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx．
令h(m)=em+m，则h'(m)=em+1>0，所以h(m)在R上单调递增．
由elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx，可知h(lna+x-1)≥h(lnx)，所以lna+x-1≥lnx，所以lna≥(lnx-x+1)max．
令F(x)=lnx-x+1，则F'(x)=1x-1=1-xx．
所以当x∈(0,1)时，F'(x)>0,F(x)单调递增；
当x∈(1,+∞)时，F'(x)<0,F(x)单调递减． 
所以[F(x)]max=F(1)=0，则lna≥0，即a≥1．
所以a的取值范围为a≥1．
［方法三］：换元同构
由题意知a>0,x>0，令aex-1=t，所以lna+x-1=lnt，所以lna=lnt-x+1．
于是f(x)=aex-1-lnx+lna=t-lnx+lnt-x+1．
由于f(x)≥1,t-lnx+lnt-x+1≥1⇔t+lnt≥x+lnx，而y=x+lnx在x∈(0,+∞)时为增函数，故t≥x，即aex-1≥x，分离参数后有a≥xex-1．
令g(x)=xex-1，所以g'(x)=ex-1-xex-1e2x-2=ex-1(1-x)e2x-2．
当0<x<1时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x>1时，g'(x)<0,g(x)单调递减．
所以当x=1时，g(x)=xex-1取得最大值为g(1)=1．所以a≥1．
［方法四］：
因为定义域为(0,+∞)，且f(x)≥1，所以f(1)≥1，即a+lna≥1．
令S(a)=a+lna，则S'(a)=1+1a>0，所以S(a)在区间(0,+∞)内单调递增．
因为S(1)=1，所以a≥1时，有S(a)≥S(1)，即a+lna≥1．
下面证明当a≥1时，f(x)≥1恒成立．
令T(a)=aex-1-lnx+lna，只需证当a≥1时，T(a)≥1恒成立．
因为T'(a)=ex-1+1a>0，所以T(a)在区间[1,+∞)内单调递增，则[T(a)]min=T(1)=ex-1-lnx．
因此要证明a≥1时，T(a)≥1恒成立，只需证明[T(a)]min=ex-1-lnx≥1即可．
由ex≥x+1,lnx≤x-1，得ex-1≥x,-lnx≥1-x．
上面两个不等式两边相加可得ex-1-lnx≥1，故a≥1时，f(x)≥1恒成立．
当0<a<1时，因为f(1)=a+lna<1，显然不满足f(x)≥1恒成立．
所以a的取值范围为a≥1．
【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数fx的单调性，求出其最小值，由fmin≥0即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；
方法二：利用同构思想将原不等式化成elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx，再根据函数h(m)=em+m的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；
方法三：通过先换元，令aex-1=t，再同构，可将原不等式化成t+lnt≥x+lnx，再根据函数y=x+lnx的单调性以及分离参数法求出；
方法四：由特殊到一般，利用f(1)≥1可得a的取值范围，再进行充分性证明即可．
14、在①a3=5，S9=63；②3a2=a10，S2=7；③a1=3，S8-S6=19这三个条件中任选一个，补充在下列问题中的横线上，并解答（若选择两个或三个按照第一个计分）.已知等差数列an的前n项和为Sn，___________，数列bn是公比为2的等比数列，且b2=a2.求数列an，bn的通项公式.
答案：an=n+2；bn=2n
分析：设等差数列an的公差为d，根据等差数列的基本量方法，结合等差数列的性质可得an，进而根据b2=a2求得bn的通项公式即可
设等差数列an的公差为d.
若选①：根据等差数列的性质，由S9=63有9a5=63，故a5=7，所以a1+2d=5a1+4d=7，解得a1=3d=1，故an=3+n-1=n+2.故b2=a2=4，故bn=b2⋅2n-2=2n
若选②：由题意3a1+d=a1+9d2a1+d=7，即a1=3d2a1+d=7，解得a1=3d=1，故an=3+n-1=n+2.故b2=a2=4，故bn=b2⋅2n-2=2n
若选③：由S8-S6=19可得a7+a8=19，即a1+2d=52a1+13d=19，解得a1=3d=1，故an=3+n-1=n+2.故b2=a2=4，故bn=b2⋅2n-2=2n
15、已知数列an是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且a1,a3,a7成等比数列.
（1）求an的通项公式；
（2）求数列4anan+1的前n项和Tn.
答案：（1）an=2n+2，（2）Tn=n2n+2
分析：（1）由题意可得an=a1+2(n-1)，从而可求出a1，进而可求得{an}的通项公式；
（2）由（1）可得4anan+1=4(2n+2)[2(n+1)+2]=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2，然后利用裂项相消求和法可求得结果
（1）因为数列{an}是公差为2的等差数列，且a1,a3,a7成等比数列，
所以a32=a1a7即(a1+4)2=a1(a1+12)，解得a1=4，
所以an=2n+2；
（2）由（1）得4anan+1=4(2n+2)(2n+4)=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2，
所以Tn=(12-13)+(13-14)+⋅⋅⋅+(1n+1-1n+2)=12-1n+2=n2(n+2).

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