人教版2024高中数学第一章集合与常用逻辑用语(二十一).docx

人教版2024高中数学第一章集合与常用逻辑用语(二十一)

1

单选题
1、在下列命题中，是真命题的是（    ）
A．∃x∈R,x2+x+3=0
B．∀x∈R,x2+x+2>0
C．∀x∈R,x2>x
D．已知A=a∣a=2n,B=b∣b=3m，则对于任意的n,m∈N*，都有A∩B=∅
答案：B
分析：可通过分别判断选项正确和错误，来进行选择/
选项A，∃x∈R,x2+x+3=0，即x2+x+3=0有实数解，所以Δ=1−12=−11＜0，显然此方程无实数解，故排除；
选项B，∀x∈R,x2+x+2>0，x2+x+2=（x+12）2+74≥74＞0，故该选项正确；
选项C，∀x∈R,x2>x，而当x=0时,0>0，不成立，故该选项错误，排除；
选项D，A=a∣a=2n,B=b∣b=3m，当n,m∈N*时，当a、b取得6的正整数倍时，A∩B≠∅，所以，该选项错误，排除.
故选：B.
2、下面四个命题：
①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；
③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2.
其中真命题的个数为（    ）
A．3B．2C．1D．0
答案：D
分析：对于①，计算判别式或配方进行判断；
对于②，当x2＝2时，只能得到x为±2，由此可判断；
对于③，方程x2＋1＝0无实数解；
对于④，作差可判断.
解：x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，
∴①为假命题.
当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题.
对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题.
∴①②③④均为假命题.
故选：D
小提示：此题考查特称命题和全称命题真假的判断，特称命题要为真，只要有1个成立即可，全称命题要为假，只要有1个不成立即可，属于基础题.
3、设命题p:∃x∈Z,x2≥2x+1，则p的否定为（    ）
A．∀x∉Z,x2<2x+1B．∀x∈Z,x2<2x+1
C．∃x∉Z,x2<2x+1D．∃x∈Z,x2<2x
答案：B
分析：由特称命题的否定可直接得到结果.
命题p:∃x∈Z,x2≥2x+1，则p的否定为：∀x∈Z,x2<2x+1.
故选：B
小提示：全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．
4、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（    ）
A．2个B．3个C．4个D．8个
答案：B
分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.
解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}
∴P=1，3，P的真子集是1,{3},∅共3个.
故选：B.
5、“m≥−1”是“m≥−2”的（    ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
分析：根据“m≥−1”和“m≥−2”的逻辑推理关系，即可判断答案.
由m≥−1可以推出m≥−2，但反之不成立，故“m≥−1”是“m≥−2”的充分不必要条件，故选:A
6、已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的（    ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
分析：由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
由题意，若a>6，则a2>36，故充分性成立；
若a2>36，则a>6或a<−6，推不出a>6，故必要性不成立；
所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件.
故选：A.
7、设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P（A）＋P（B）＝1”，则甲是乙的（  ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案.
①若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P（A）＋P（B）＝1；
②投掷一枚硬币3次，满足P（A）＋P（B）＝1，但A，B不一定是对立事件，如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，则P（A）＝78，P（B）＝18，满足P（A）＋P（B）＝1，但A，B不是对立事件.
所以甲是乙的充分不必要条件.
故选：A
小提示：本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查对立事件的理解，属于基础题.
8、下图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则不能表示阴影部分的是（    ）

A．(∁UA)∩B
B．∁B(A∩B)
C．∁U(A∩(∁UB))
D．∁A∪BA
答案：C
分析：根据韦恩图，分U为全集，B为全集，A∪B为全集时，讨论求解.
由图知：当U为全集时，阴影部分表示集合A的补集与集合B的交集，即(∁UA)∩B
当B为全集时，阴影部分表示A∩B的补集，即∁B(A∩B)
当A∪B为全集时，阴影部分表示A的补集，即∁A∪BA
故选：C
9、已知集合S=x∈N|x≤5，T=x∈R|x2=a2，且S∩T=1，则S∪T=（    ）
A．{1，2}B．{0，1，2}C．{-1，0，1，2}D．{-1，0，1，2，3}
答案：C
分析：先 根据题意求出集合T，然后根据并集的概念即可求出结果.
S=x∈N|x≤5=0,1,2，而S∩T=1，所以1∈T，则a2=1，所以T=x∈R|x2=a2=−1,1，则S∪T=−1,0,1,2
故选：C.
10、已知集合M=xx=m−56,m∈Z，N=xx=n2−13,n∈Z，P=xx=p2+16,p∈Z，则集合M，N，P的关系为（    ）
A．M=N=PB．M⊆N=P
C．M⊆NPD．M⊆N，N∩P=∅
答案：B
分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n−2与3p+1都是表示同一类数，6m−5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.
对于集合M=xx=m−56,m∈Z，x=m−56=6m−56=6m−1+16，
对于集合N=xx=n2−13,n∈Z，x=n2−13=3n−26=3n−1+16，
对于集合P=xx=p2+16,p∈Z，x=p2+16=3p+16，
由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，
注意到3n−1+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6m−1+1表示的数是6的倍数加1，
所以6m−1+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，
所以M⊆N=P.
故选：B.
多选题
11、已知全集U=R，集合A=x|−2≤x≤7，B=x|m+1≤x≤2m−1，则使A⊆∁UB成立的实数m的取值范围可以是（  ）
A．m|6<m≤10B．m|−2<m<2
C．m|−2<m<−12D．m|5<m≤8
答案：ABC
分析：讨论B=∅和B≠∅时，计算∁UB，根据A⊆∁UB列不等式，解不等式求得m的取值范围，再结合选项即可得正确选项.
当B=∅时，m+1>2m−1，即m<2，此时∁UB=R，符合题意，
当B≠∅时，m+1≤2m−1，即m≥2，
由B=x|m+1≤x≤2m−1可得∁UB=x|x<m+1或x>2m−1，
因为A⊆∁UB，所以m+1>7或2m−1<−2，可得m>6或m<−12，
因为m≥2，所以m>6，
所以实数m的取值范围为m<2或m>6，
所以选项ABC正确，选项D不正确；
故选：ABC.
12、“不等式x2−x+m>0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（    ）
A．m>14B．0<m<1C．m>2D．m>1
答案：CD
解析：先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.
因为“不等式x2−x+m>0在R上恒成立”，所以等价于二次方程的x2−x+m=0判别式Δ=1−4m<0，即m>14.
所以A选项是充要条件，A不正确；
B选项中，m>14不可推导出0<m<1，B不正确；
C选项中，m>2可推导m>14，且m>14不可推导m>2，故m>2是m>14的充分不必要条件，故C正确；
D选项中，m>1可推导m>14，且m>14不可推导m>1，故m>1是m>14的充分不必要条件，故D正确.
故选：CD.
小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；
（2）p是q的充分不必要条件， 则p对应集合是q对应集合的真子集；
（3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；
（4）p是q的既不充分又不必要条件， q对的集合与p对应集合互不包含．
13、已知集合A=xax2+2x+a=0,a∈R，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是（    ）
A．1B．−1C．0D．2
答案：ABC
分析：分析可知，集合A为单元素集合，分a=0与a≠0两种情况讨论，结合方程ax2+2x+a=0只有一根可求得实数a的值.
由于集合A有且仅有两个子集，则集合A为单元素集合，即方程ax2+2x+a=0只有一根.
①当a=0时，方程为2x=0，解得x=0，合乎题意；
②当a≠0时，对于方程ax2+2x+a=0，Δ=4−4a2=0，解得a=±1.
综上所述，a=0或a=±1.
故选：ABC.
14、已知p：x2+x−6=0；q：ax+1=0.若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（    ）
A．﹣2B．−12C．13D．−13
答案：BC
解析：根据集合关系将条件进行化简，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.
由题意得p:A={−3，2}，
当a=0时，q：B=∅，
当a≠0时，q：B=−1a，
因为p是q的必要不充分条件，所以BÜ A，
所以a=0时满足题意，当−1a=−3或−1a=2时，也满足题意，解得a=13或a=−12，
故选：BC.
小提示：本题考查利用集合间的关系判断命题间充分必要条件，属于中档题.
15、下列说法正确的是（    ）
A．我校爱好足球的同学组成一个集合
B．{1,2,3}是不大于3的正整数组成的集合
C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合
D．数1，0，5，12，32，64，14组成的集合有7个元素
答案：BC
分析：根据集合的元素的特征逐一判断即可.
我校爱好足球的同学不能组成一个集合；
{1,2,3}是不大于3的正整数组成的集合；
集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合；
由于32=64,12=14，所以数1，0，5，12，32，64，14组成的集合有5个元素；
故选：BC
填空题
16、集合A＝{﹣1，2，4}，B＝{2，m2}，B⊆A，则m＝___．
答案：±2
分析：根据B⊆A，得到集合B的元素都是集合A的元素，进而求出m的值．
∵集合A={−1，2，4}，B={2，m2}，B⊆A，
∴m2=4，解得m=±2．
所以答案是：±2．
17、设非空集合Q⊆M，当Q中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q是M的偶子集，若集合M=1,2,3,4,5,6,7，则其偶子集Q的个数为___________.
答案：63
分析：对集合Q中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合Q的个数，综合可得结果.
集合Q中只有2个奇数时，则集合Q的可能情况为：1,3、1,5、1,7、3,5、3,7、5,7，共6种，
若集合Q中只有4个奇数时，则集合Q=1,3,5,7，只有一种情况，
若集合Q中只含1个偶数，共3种情况；
若集合Q中只含2个偶数，则集合Q可能的情况为2,4、2,6、4,6，共3种情况；
若集合Q中只含3个偶数，则集合Q=2,4,6，只有1种情况.
因为Q是M的偶子集，分以下几种情况讨论：
若集合Q中的元素全为偶数，则满足条件的集合Q的个数为7；
若集合Q中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共7种；
若集合Q中的元素是2个奇数1个偶数，共种；
若集合Q中的元素为2个奇数2个偶数，共种；
若集合Q中的元素为2个奇数3个偶数，共6×1=6种；
若集合Q中的元素为4个奇数1个偶数，共1×3=3种；
若集合Q中的元素为4个奇数2个偶数，共1×3=3种；
若集合Q中的元素为4个奇数3个偶数，共1种.
综上所述，满足条件的集合Q的个数为7+7+18+18+6+3+3+1=63.
所以答案是：63.
18、全集U=xx是不大于20的素数}，若A∩B=3,5，A∩B=7,19，A∪B=2,17，则集合A=___________.
答案：3,5,11,13
解析：本题首先可根据素数的定义得出U=2,3,5,7,11,13,17,19，然后根据题意绘出韦恩图，最后根据韦恩图即可得出结果.
因为全集U=xx是不大于20的素数}，所以U=2,3,5,7,11,13,17,19，
因为A∪B=2,17，所以A∪B=3,5,7,11,13,19，
因为A∩B=3,5，A∩B=7,19，
所以可绘出韦恩图，如图所示：

由韦恩图可知，A=3,5,11,13，
所以答案是：3,5,11,13.
小提示：本题考查根据集合运算结果求集合，考查素数的定义，素数是指在大于1的自然数中，只能被1和该数本身整除的数，考查韦恩图的应用，能否根据题意绘出韦恩图是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.
19、设全集U=R，集合A=3,−1，B=m2−2m,−1，且A=B，则实数m=______．
答案：3或-1##-1或3
分析：根据集合相等得到m2−2m=3，解出m即可得到答案.
由题意，m2−2m=3⇒m=3或m=-1.
所以答案是：3或-1.
20、已知集合A=x3≤x<7，C=xx>a，若A⊆C，求实数a的取值范围_______.
答案：−∞,3
分析：根据集合的包含关系画出数轴即可计算.
∵A⊆C，
∴A和C如图：

∴a＜3.
所以答案是：−∞,3.

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