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(名师选题)2023年人教版高中数学第一章集合与常用逻辑用语基础知识手册
单选题
1、已知集合A=x∈Nx≤1,B=-1,0,1,2,则A∩B的子集的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
答案:D
分析:根据集合交集的定义,结合子集个数公式进行求解即可.
由题意A∩B=0,1,因此它的子集个数为4.
故选:D.
2、对与任意集合A,下列各式①∅∈∅,②A∩A=A,③A∪∅=A,④N∈R,正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
答案:C
分析:根据集合中元素与集合的关系,集合与集合的关系及交并运算可判断.
易知①∅∈∅,②A∩A=A,③A∪∅=A,正确
④N∈R,不正确,应该是N⊆R
故选:C.
3、已知集合M={-1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的真子集共有( )
A.2个B.3个C.4个D.8个
答案:B
分析:根据交集运算得集合P,再根据集合P中的元素个数,确定其真子集个数即可.
解:∵M={-1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}
∴P=1,3,P的真子集是1,{3},∅共3个.
故选:B.
4、下列命题中正确的是( )
①∅与0表示同一个集合
②由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1
③方程(x-1)2(x-2)=0的所有解的集合可表示为1,1,2
④集合{x∣4<x<5}可以用列举法表示
A.只有①和④B.只有②和③C.只有②D.以上都对
答案:C
分析:由集合的表示方法判断①,④;由集合中元素的特点判断②,③.
解:对于①,由于“0”是元素,而“0”表示含0元素的集合,而 ϕ 不含任何元素,所以①不正确;
对于②,根据集合中元素的无序性,知②正确;
对于③,根据集合元素的互异性,知③错误;
对于④,由于该集合为无限集、且无明显的规律性,所以不能用列举法表示,所以④不正确.
综上可得只有②正确.
故选:C.
5、已知x∈R,则“x-2x-3≤0成立”是“|x-2+x-3|=1成立”的( )条件.
A.充分不必要B.必要不充分
C.充分必要D.既不充分也不必要
答案:C
分析:先证充分性,由(x-2)(x-3)≤0 求出x的取值范围,再根据x的取值范围化简|x-2+x-3|即可,再证必要性,若|x-2+x-3|=1,即|x-2+x-3|=|(x-2)-(x-3)|,再根据绝对值的性质可知(x-2)(x-3)≤0.
充分性:若(x-2)(x-3)≤0,则2≤x≤3,
∴|x-2+x-3|=x-2+3-x=1,
必要性:若|x-2+x-3|=1,又∵|(x-2)-(x-3)|=1,
∴|x-2+x-3|=|(x-2)-(x-3)|,
由绝对值的性质:若ab≤0,则a+b=|a-b|,
∴(x-2)(x-3)≤0,
所以“(x-2)(x-3)≤0成立”是“|x-2+x-3|=1成立”的充要条件,
故选:C.
6、已知集合A=x1x>1,则∁RA=( )
A.xx<1B.xx≤0或x≥1
C.{x|x<0}∪{x|x>1}D.{x1≤x}
答案:B
分析:先解不等式,求出集合A,再求出集合A的补集
由1x>1,得1-xx>0,x(1-x)>0,解得0<x<1,
所以A={x0<x<1},
所以∁RA= xx≤0或x≥1
故选:B
7、设x∈R,则“1<x<2”是“-2<x<2”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要
答案:A
分析:根据集合{x|1<x<2}是集合{x|-2<x<2}的真子集可得答案.
因为集合{x|1<x<2}是集合{x|-2<x<2}的真子集,
所以“1<x<2”是“-2<x<2”的充分不必要条件.
故选:A
小提示:名师点评本题考查充分不必要条件的判断,一般可根据如下规则判断:
(1)若p是q的必要不充分条件,则q对应集合是p对应集合的真子集;
(2)p是q的充分不必要条件, 则p对应集合是q对应集合的真子集;
(3)p是q的充分必要条件,则p对应集合与q对应集合相等;
(4)p是q的既不充分又不必要条件, q对的集合与p对应集合互不包含.
8、命题“∀x<0,x2+ax-1≥0”的否定是( )
A.∃x≥0,x2+ax-1<0B.∃x≥0,x2+ax-1≥0
C.∃x<0,x2+ax-1<0D.∃x<0,x2+ax-1≥0
答案:C
分析:根据全称命题的否定是特称命题判断即可.
根据全称命题的否定是特称命题,所以“∀x<0,x2+ax-1≥0”的否定是“∃x<0,x2+ax-1<0”.
故选:C
9、已知U=R,M=xx≤2,N=x-1≤x≤1,则M∩∁UN=( )
A.xx<-1或1<x≤2B.x1<x≤2
C.xx≤-1或1≤x≤2D.x1≤x≤2
答案:A
分析:先求∁UN,再求M∩∁UN的值.
因为∁UN={xx<-1或x>1},所以M∩CUN={xx<-1或1<x≤2}.
故选:A.
10、已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为( )
A.2B.3C.4D.6
答案:C
分析:采用列举法列举出A∩B中元素的即可.
由题意,A∩B中的元素满足{y≥xx+y=8,且x,y∈N*,
由x+y=8≥2x,得x≤4,
所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),
故A∩B中元素的个数为4.
故选:C.
【点晴】本题主要考查集合的交集运算,考查学生对交集定义的理解,是一道容易题.
11、已知集合A=x,y∣2x-y+1=0,B=x,y∣x+ay=0,若A∩B=∅,则实数a=( )
A.-12B.2C.-2D.12
答案:A
分析:根据集合的定义知2x-y+1=0x+ay=0无实数解.由此可得a的值.
因为A∩B=∅,所以方程组2x-y+1=0x+ay=0无实数解.所以12=a-1≠0,a=-12.
故选:A.
12、等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,设甲:q>0,乙:Sn是递增数列,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案:B
分析:当q>0时,通过举反例说明甲不是乙的充分条件;当Sn是递增数列时,必有an>0成立即可说明q>0成立,则甲是乙的必要条件,即可选出答案.
由题,当数列为-2,-4,-8,⋯时,满足q>0,
但是Sn不是递增数列,所以甲不是乙的充分条件.
若Sn是递增数列,则必有an>0成立,若q>0不成立,则会出现一正一负的情况,是矛盾的,则q>0成立,所以甲是乙的必要条件.
故选:B.
小提示:在不成立的情况下,我们可以通过举反例说明,但是在成立的情况下,我们必须要给予其证明过程.
双空题
13、已知全集U=R,集合A=x-1≤x≤3,B=xx≤2,则A∪B=_______,A∩∁UB__________
答案: xx≤3##-∞,3 x2<x≤3##2,3
分析:求出B的补集,根据并集,交集的定义求出结论即可.
因为A=x-1≤x≤3,B=xx≤2, 所以A∪B=xx≤3,
所以∁UB=xx>2,所以A∩∁UB=x2<x≤3.
所以答案是:xx≤3;x2<x≤3.
14、若集合A=x-1<x<5,B=x|x≤1或x≥4,则A∪B=______,A∩B=______.
答案: R x|-1<x≤1或4≤x<5
分析:根据集合的交并集运算求解即可得答案
解: 因为A=x-1<x<5,B=x|x≤1或x≥4,
所以A∪B=R,A∩B=x|-1<x≤1或4≤x<5
所以答案是:R;x|-1<x≤1或4≤x<5
15、在国庆70周年庆典活动中,东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务.设A={x|x是参与国庆中心区合唱的学校},B={x|x是参与27方阵群众游行的学校},C={x|x是参与国庆联欢晚会的学校}.请用上述集合之间的运算来表示:①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为_____;②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为_____.
答案: A∩B A∪C
解析:①利用交集定义直接求解,②利用并集定义直接求解.
解:①设A={x|x是参与国庆中心区合唱的学校},
B={x|x是参与27方阵群众游行的学校},
C={x|x是参与国庆联欢晚会的学校}.
既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B.
所以答案是:A∩B.
②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C.
所以答案是:A∪C.
小提示:本题考查并集、交集的求法,考查并集、交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
16、若U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3},B={5,6,7},则∁UA=___,(∁UA)∩(∁UB)=(=___.
答案: 4,5,6,7,8 4,8
分析:根据集合的补集、交集运算即可得到结论.
∵U={1,2,3,4,5,6,7,8},
A={1,2,3},B={5,6,7},
∁UA= 4,5,6,7,8
∴(∁UA)∩(∁UB)={4,5,6,7,8}∩{1,2,3,4,8}={4,8},
所以答案是:4,5,6,7,8,4,8.
小提示:本题主要考查集合的补集、交集运算,比较基础.
17、设全集U=R,集合A={x|x<2},集合B={x|x<1},则集合∁UA=___________,集合∁UA∪B=___________.
答案: 2,+∞ -∞,1∪2,+∞
解析:利用集合的交集和并集进行求解即可
A={x|x<2}, ∁UA=xx≥2 =2,+∞;
B={x|x<1},∁UA∪B= -∞,1∪2,+∞;
所以答案是:①2,+∞;②-∞,1∪2,+∞
解答题
18、已知集合A=xx≤-3或x≥-1,B=x|2m<x<m-1,且A∪B=A,求m的取值范围.
答案:m≤-2或m≥-1
分析:因为A∪B=A,所以B⊆A,分别讨论B=ϕ和B≠ϕ两种情况然后求并集.
解:因为A∪B=A,所以B⊆A,
当B=ϕ时,2m≥m-1,解得:m≥-1;
当B≠ϕ时,2m<m-1m-1≤-3或2m<m-12m≥-1解得:m≤-2或m∈ϕ
所以m≤-2或m≥-1.
19、已知集合A=x3≤x<7,B=x2<x<10,C=xx<a.
(1)求A∪B,∁RA∩B;
(2)若A∩C≠∅,求a的取值范围.
答案:(1)A∪B=x2<x<10,(∁RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10};
(2)3,+∞.
分析:(1)直接利用集合并集、交集和补集的定义求解;
(2)分析A∩C≠∅即得解.
(1)
解:因为A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},
所以A∪B=x2<x<10.
因为A={x|3≤x<7},
所以∁RA={x|x<3或 x≥7}
则(∁RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.
(2)
解:因为A={x|3≤x<7},C={x|x<a},且A∩C≠∅,
所以a>3.
所以a的取值范围为3,+∞.
20、已知M={x|2≤x≤5},N={x|a+1≤x≤2a﹣1}.
(1)若M⊆N,求实数a的取值范围;
(2)若M⊇N,求实数a的取值范围.
答案:(1)a∈∅
(2)a≤3
分析:(1)利用M⊆N,建立不等关系即可求解;
(2)利用M⊇N,建立不等关系即可求解,注意当N=∅时,也成立
(1)
∵M⊆N,∴a+1≤22a-1≥5,∴a∈∅;
(2)
①若N=∅,即a+1>2a﹣1,解得a<2时,满足M⊇N.
②若N≠∅,即a≥2时,要使M⊇N成立,
则a+1≥22a-1≤5,解得1≤a≤3,此时2≤a≤3.
综上a≤3.
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