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2023年人教版高中数学第一章集合与常用逻辑用语基础知识手册.docx

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(名师选题)2023年人教版高中数学第一章集合与常用逻辑用语基础知识手册 单选题 1、已知集合A=x∈Nx≤1,B=-1,0,1,2,则A∩B的子集的个数为(    ) A.1B.2C.3D.4 答案:D 分析:根据集合交集的定义,结合子集个数公式进行求解即可. 由题意A∩B=0,1,因此它的子集个数为4. 故选:D. 2、对与任意集合A,下列各式①∅∈∅,②A∩A=A,③A∪∅=A,④N∈R,正确的个数是(    ) A.1B.2C.3D.4 答案:C 分析:根据集合中元素与集合的关系,集合与集合的关系及交并运算可判断. 易知①∅∈∅,②A∩A=A,③A∪∅=A,正确 ④N∈R,不正确,应该是N⊆R 故选:C. 3、已知集合M={-1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的真子集共有(    ) A.2个B.3个C.4个D.8个 答案:B 分析:根据交集运算得集合P,再根据集合P中的元素个数,确定其真子集个数即可. 解:∵M={-1,0,1,2,3,4},N={1,3,5} ∴P=1,3,P的真子集是1,{3},∅共3个. 故选:B. 4、下列命题中正确的是(    ) ①∅与0表示同一个集合 ②由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1 ③方程(x-1)2(x-2)=0的所有解的集合可表示为1,1,2 ④集合{x∣4<x<5}可以用列举法表示 A.只有①和④B.只有②和③C.只有②D.以上都对 答案:C 分析:由集合的表示方法判断①,④;由集合中元素的特点判断②,③. 解:对于①,由于“0”是元素,而“0”表示含0元素的集合,而 ϕ 不含任何元素,所以①不正确; 对于②,根据集合中元素的无序性,知②正确; 对于③,根据集合元素的互异性,知③错误; 对于④,由于该集合为无限集、且无明显的规律性,所以不能用列举法表示,所以④不正确. 综上可得只有②正确. 故选:C. 5、已知x∈R,则“x-2x-3≤0成立”是“|x-2+x-3|=1成立”的(   )条件. A.充分不必要B.必要不充分 C.充分必要D.既不充分也不必要 答案:C 分析:先证充分性,由(x-2)(x-3)≤0 求出x的取值范围,再根据x的取值范围化简|x-2+x-3|即可,再证必要性,若|x-2+x-3|=1,即|x-2+x-3|=|(x-2)-(x-3)|,再根据绝对值的性质可知(x-2)(x-3)≤0. 充分性:若(x-2)(x-3)≤0,则2≤x≤3, ∴|x-2+x-3|=x-2+3-x=1, 必要性:若|x-2+x-3|=1,又∵|(x-2)-(x-3)|=1, ∴|x-2+x-3|=|(x-2)-(x-3)|, 由绝对值的性质:若ab≤0,则a+b=|a-b|, ∴(x-2)(x-3)≤0, 所以“(x-2)(x-3)≤0成立”是“|x-2+x-3|=1成立”的充要条件, 故选:C. 6、已知集合A=x1x>1,则∁RA=(    ) A.xx<1B.xx≤0或x≥1 C.{x|x<0}∪{x|x>1}D.{x1≤x} 答案:B 分析:先解不等式,求出集合A,再求出集合A的补集 由1x>1,得1-xx>0,x(1-x)>0,解得0<x<1, 所以A={x0<x<1}, 所以∁RA= xx≤0或x≥1 故选:B 7、设x∈R,则“1<x<2”是“-2<x<2”的(    ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要 答案:A 分析:根据集合{x|1<x<2}是集合{x|-2<x<2}的真子集可得答案. 因为集合{x|1<x<2}是集合{x|-2<x<2}的真子集, 所以“1<x<2”是“-2<x<2”的充分不必要条件. 故选:A 小提示:名师点评本题考查充分不必要条件的判断,一般可根据如下规则判断: (1)若p是q的必要不充分条件,则q对应集合是p对应集合的真子集; (2)p是q的充分不必要条件, 则p对应集合是q对应集合的真子集; (3)p是q的充分必要条件,则p对应集合与q对应集合相等; (4)p是q的既不充分又不必要条件, q对的集合与p对应集合互不包含. 8、命题“∀x<0,x2+ax-1≥0”的否定是(    ) A.∃x≥0,x2+ax-1<0B.∃x≥0,x2+ax-1≥0 C.∃x<0,x2+ax-1<0D.∃x<0,x2+ax-1≥0 答案:C 分析:根据全称命题的否定是特称命题判断即可. 根据全称命题的否定是特称命题,所以“∀x<0,x2+ax-1≥0”的否定是“∃x<0,x2+ax-1<0”. 故选:C 9、已知U=R,M=xx≤2,N=x-1≤x≤1,则M∩∁UN=(    ) A.xx<-1或1<x≤2B.x1<x≤2 C.xx≤-1或1≤x≤2D.x1≤x≤2 答案:A 分析:先求∁UN,再求M∩∁UN的值. 因为∁UN={xx<-1或x>1},所以M∩CUN={xx<-1或1<x≤2}. 故选:A. 10、已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为(    ) A.2B.3C.4D.6 答案:C 分析:采用列举法列举出A∩B中元素的即可. 由题意,A∩B中的元素满足{y≥xx+y=8,且x,y∈N*, 由x+y=8≥2x,得x≤4, 所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4), 故A∩B中元素的个数为4. 故选:C. 【点晴】本题主要考查集合的交集运算,考查学生对交集定义的理解,是一道容易题. 11、已知集合A=x,y∣2x-y+1=0,B=x,y∣x+ay=0,若A∩B=∅,则实数a=(    ) A.-12B.2C.-2D.12 答案:A 分析:根据集合的定义知2x-y+1=0x+ay=0无实数解.由此可得a的值. 因为A∩B=∅,所以方程组2x-y+1=0x+ay=0无实数解.所以12=a-1≠0,a=-12. 故选:A. 12、等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,设甲:q>0,乙:Sn是递增数列,则(    ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案:B 分析:当q>0时,通过举反例说明甲不是乙的充分条件;当Sn是递增数列时,必有an>0成立即可说明q>0成立,则甲是乙的必要条件,即可选出答案. 由题,当数列为-2,-4,-8,⋯时,满足q>0, 但是Sn不是递增数列,所以甲不是乙的充分条件. 若Sn是递增数列,则必有an>0成立,若q>0不成立,则会出现一正一负的情况,是矛盾的,则q>0成立,所以甲是乙的必要条件. 故选:B. 小提示:在不成立的情况下,我们可以通过举反例说明,但是在成立的情况下,我们必须要给予其证明过程. 双空题 13、已知全集U=R,集合A=x-1≤x≤3,B=xx≤2,则A∪B=_______,A∩∁UB__________ 答案:     xx≤3##-∞,3     x2<x≤3##2,3 分析:求出B的补集,根据并集,交集的定义求出结论即可. 因为A=x-1≤x≤3,B=xx≤2, 所以A∪B=xx≤3, 所以∁UB=xx>2,所以A∩∁UB=x2<x≤3. 所以答案是:xx≤3;x2<x≤3. 14、若集合A=x-1<x<5,B=x|x≤1或x≥4,则A∪B=______,A∩B=______. 答案:     R     x|-1<x≤1或4≤x<5 分析:根据集合的交并集运算求解即可得答案 解: 因为A=x-1<x<5,B=x|x≤1或x≥4, 所以A∪B=R,A∩B=x|-1<x≤1或4≤x<5 所以答案是:R;x|-1<x≤1或4≤x<5 15、在国庆70周年庆典活动中,东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务.设A={x|x是参与国庆中心区合唱的学校},B={x|x是参与27方阵群众游行的学校},C={x|x是参与国庆联欢晚会的学校}.请用上述集合之间的运算来表示:①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为_____;②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为_____. 答案:     A∩B     A∪C 解析:①利用交集定义直接求解,②利用并集定义直接求解. 解:①设A={x|x是参与国庆中心区合唱的学校}, B={x|x是参与27方阵群众游行的学校}, C={x|x是参与国庆联欢晚会的学校}. 既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B. 所以答案是:A∩B. ②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C. 所以答案是:A∪C. 小提示:本题考查并集、交集的求法,考查并集、交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 16、若U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3},B={5,6,7},则∁UA=___,(∁UA)∩(∁UB)=(=___. 答案:     4,5,6,7,8     4,8 分析:根据集合的补集、交集运算即可得到结论. ∵U={1,2,3,4,5,6,7,8}, A={1,2,3},B={5,6,7}, ∁UA= 4,5,6,7,8 ∴(∁UA)∩(∁UB)={4,5,6,7,8}∩{1,2,3,4,8}={4,8}, 所以答案是:4,5,6,7,8,4,8. 小提示:本题主要考查集合的补集、交集运算,比较基础. 17、设全集U=R,集合A={x|x<2},集合B={x|x<1},则集合∁UA=___________,集合∁UA∪B=___________. 答案:     2,+∞     -∞,1∪2,+∞ 解析:利用集合的交集和并集进行求解即可 A={x|x<2}, ∁UA=xx≥2 =2,+∞; B={x|x<1},∁UA∪B= -∞,1∪2,+∞; 所以答案是:①2,+∞;②-∞,1∪2,+∞ 解答题 18、已知集合A=xx≤-3或x≥-1,B=x|2m<x<m-1,且A∪B=A,求m的取值范围. 答案:m≤-2或m≥-1 分析:因为A∪B=A,所以B⊆A,分别讨论B=ϕ和B≠ϕ两种情况然后求并集. 解:因为A∪B=A,所以B⊆A, 当B=ϕ时,2m≥m-1,解得:m≥-1; 当B≠ϕ时,2m<m-1m-1≤-3或2m<m-12m≥-1解得:m≤-2或m∈ϕ 所以m≤-2或m≥-1. 19、已知集合A=x3≤x<7,B=x2<x<10,C=xx<a. (1)求A∪B,∁RA∩B; (2)若A∩C≠∅,求a的取值范围. 答案:(1)A∪B=x2<x<10,(∁RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}; (2)3,+∞. 分析:(1)直接利用集合并集、交集和补集的定义求解; (2)分析A∩C≠∅即得解. (1) 解:因为A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10}, 所以A∪B=x2<x<10. 因为A={x|3≤x<7}, 所以∁RA={x|x<3或 x≥7} 则(∁RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}. (2) 解:因为A={x|3≤x<7},C={x|x<a},且A∩C≠∅, 所以a>3. 所以a的取值范围为3,+∞. 20、已知M={x|2≤x≤5},N={x|a+1≤x≤2a﹣1}. (1)若M⊆N,求实数a的取值范围; (2)若M⊇N,求实数a的取值范围. 答案:(1)a∈∅ (2)a≤3 分析:(1)利用M⊆N,建立不等关系即可求解; (2)利用M⊇N,建立不等关系即可求解,注意当N=∅时,也成立 (1) ∵M⊆N,∴a+1≤22a-1≥5,∴a∈∅; (2) ①若N=∅,即a+1>2a﹣1,解得a<2时,满足M⊇N. ②若N≠∅,即a≥2时,要使M⊇N成立, 则a+1≥22a-1≤5,解得1≤a≤3,此时2≤a≤3. 综上a≤3.
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