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高中数学学业水平测试知识点（整理人：李辉）
【必修一】
一、 集合与函数概念
并集：由集合A和集合B的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取一次。记作：A∪B
交集：由集合A和集合B的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次记作：A∩B
补集：就是作差。
1、集合的子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有–1个；非空的真子有–2个.

2、指数函数与对数函数互为反函数（）它们的图象关于y=x对称。

3、（1）函数定义域：①分母不为0；②开偶次方被开方数；③指数的真数属于R、对数的真数.

4、函数的单调性：如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<（）f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增（减）函数，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。

5、奇函数：是，函数图象关于原点对称（若在其定义域内，则）；
偶函数：是，函数图象关于y轴对称。

6、指数幂的含义及其运算性质：
（1）函数叫做指数函数。
（2）指数函数当 为减函数，当 为增函数；
①；②；③。
（3）指数函数的图象和性质

图
象

性
质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数
（4）在R上是减函数
(5);

(5);

7、对数函数的含义及其运算性质：
（1）函数叫对数函数。
（2）对数函数当 为减函数，当 为增函数；
①负数和零没有对数；②1的对数等于0 ：；③底真相同的对数等于1：，
（3）对数的运算性质：如果a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么：
①； ②； ③。
指数与对数互化式：；对数恒等式：.

(5)对数函数的图象和性质

图
象

性
质
(1)定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0
（4）在 （0，+∞）上是增函数
（4）在（0，+∞）上是减函数
(5)；

(5)；

8、幂函数：函数叫做幂函数（只考虑的图象）。
9、方程的根与函数的零点：如果函数在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间 (a , b) 内有零点，即存在，使得这个c就是方程的根。
【必修二】
一、直线 平面 简单的几何体
1、长方体的对角线长；正方体的对角线长
2、球的体积公式： ； 球的表面积公式：
3、⑴圆柱侧面积； ⑵圆锥侧面积：⑶圆台侧面积：
柱体、锥体、台体的体积公式：=h (为底面积，为柱体高)； = (为底面积，为柱体高)
=(’++) (’, 分别为上、下底面积，为台体高)
4、点、线、面的位置关系及相关公理及定理：
（1）四公理三推论:
公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内。
公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.
（2）空间线线，线面，面面的位置关系：
空间两条直线的位置关系：
相交直线——有且仅有一个公共点；
平行直线——在同一平面内，没有公共点；
异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。
空间直线和平面的位置关系：
（1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，。
空间平面和平面的位置关系：
（1）两个平面平行——没有公共点；
（2）两个平面相交——有一条公共直线。
5、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。
符号表示：。图形表示：
6、两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
符号表示：。图形表示：
7、. 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么交线与这条直线平行。
符号表示：。 图形表示：
8、两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的平行。
符号表示：
9、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么
这条直线垂直于这个平面。
符号表示：
10、.两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号表示：
11、直线与平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
符号表示：。
12、平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。符号表示：
13、异面直线所成角：平移到一起求平移后的夹角。
直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角。（如右图）
14、异面直线所成角的取值范围是；
直线与平面所成角的取值范围是；
二面角的取值范围是；
两个向量所成角的取值范围是
二、直线和圆的方程
1、斜率：，；直线上两点，则斜率为
2、直线的五种方程 ：
（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)．
（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).
（3）两点式( (、； ()、()).
(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)
（5）一般式 (其中A、B不同时为0).
3、两条直线的平行、重合和垂直：
(1)若，
①‖≠
②；
③.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①；②
4、两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的距离公式 │P1P2│=
5、两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的中点坐标公式 M（，）
6、点P（x0，y0）到直线（直线方程必须化为一般式）Ax+By+C=0的距离公式d=
7、平行直线Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0的距离公式d=
8、圆的方程：标准方程，圆心，半径为；
一般方程，（配方：）
时，表示一个以为圆心，半径为的圆；
9、点与圆的位置关系：
点与圆的位置关系有三种：
若，则
点在圆外;点在圆上;点在圆内.
10、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有三种:
;;
.其中.
11、弦长公式：
若直线y=kx+b与二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交于A(x1，y1)，B（x2，y2）两点，则由
ax2+bx+c=0(a≠0)
二次曲线方程
y=kx+m
则知直线与二次曲线相交所截得弦长为：
=
= =

=
=
13、 空间直角坐标系，两点之间的距离公式：
⑴ xoy平面上的点的坐标的特征A（x，y，0）：竖坐标z=0
xoz平面上的点的坐标的特征B（x，0，z）：纵坐标y=0
yoz平面上的点的坐标的特征C（0，y，z）：横坐标x=0
x轴上的点的坐标的特征D（x，0，0）：纵、竖坐标y=z=0
y轴上的点的坐标的特征E（0，y，0）：横、竖坐标x=z=0
z轴上的点的坐标的特征E（0，0，z）：横、纵坐标x=y=0
⑵│P1P2│=

【必修三】
统计：
三．三种常用抽样方法：
1、简单随机抽样；2．系统抽样；3．分层抽样。4．统计图表：包括条形图，折线图，饼图，茎叶图。
四、频率分布直方图：具体做法如下：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数；
（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图。注：小矩形的高度=频率/组距。
2、频率分布直方图： （注意：不是小矩形的高度）
计算公式：
各组频数之和=样本容量， 各组频率之和=1
3、茎叶图：茎表示高位，叶表示低位。
折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。
4、刻画一组数据集中趋势的统计量：平均数，中位数，众数。
在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
5、刻画一组数据离散程度的统计量：极差 ，极准差，方差。
（1）极差一定程度上表明数据的分散程度，对极端数据非常敏感。
（2）方差，标准差越大，离散程度越大。方差，标准差越小，离散程度越小，聚集于平均数的程度越高。
（3）计算公式：

标准差：

方差：
直线回归方程的斜率为，截距为，即回归方程为=x+（此直线必过点（，））。
6、频率分布直方图：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，方长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。
五、随机事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母A,B,C…表示.
随机事件的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P（A）。由定义可知0≤P（A）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
1、事件间的关系：
（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；
（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；
（3）包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B（或事件B包含事件A）；
（4）对立一定互斥，互斥不一定对立。
2、概率的加法公式：
（1）当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）（2）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．
3、古典概型：
（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；（2）掌握古典概型的概率计算公式：
4、几何概型：
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。
（2）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．
（3）几何概型的概率公式：

【必修四】
一、 三角函数
1、弧度制：（1）、弧度，1弧度；弧长公式： （为所对的弧长，为半径，正负号的确定：逆时针为正，顺时针为负）。
2、三角函数：
（1）、定义：
3、特殊角的三角函数值：
的角度

的弧度

—

—

4、同角三角函数基本关系式：
5、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限） 一全正二正弦三正切四余弦。
1、 诱导公式一： 2、 诱导公式二： 3、诱导公式三：

4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6、诱导公式六：

6、两角和与差的正弦、余弦、正切：
： ：
： ：
： ：
tan+tan= tan(+)() tan-tan= tan(-)()
7、辅助角公式：

8、二倍角公式：（1）、： ： ：
（2）、降次公式：（多用于研究性质）

9、在四个三角函数中只有是偶函数，其它三个是寄函数。（指数函数、对数函数是非寄非偶函数）
10、在三角函数中求最值（最大值、最小值）；求最小正周期；求单调性（单调递增区间、单调递减区间）；求对称轴；求对称中心点都要将原函数化成标准型；
如：再求解。
11、三角函数的图象与性质：
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象

定义域

值域

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
周期性

单调性
在
上是增函数
在
上是减函数
在
上是增函数
在
上是减函数
在
上是增函数

最值
当时，
当时，
当时，
当时，

无

对称性
对称中心，
对称轴：
对称中心，
对称轴：
对称中心，
对称轴：无
12．函数的图象：
（1）用“图象变换法”作图
由函数的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。
法一：先平移后伸缩

，
法二：先伸缩后平移

当函数（A>0，，）表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数，它叫做振动的频率；叫做相位，叫做初相（即当x＝0时的相位）。
二、平面向量
1、平面向量的概念：
在平面内，具有大小和方向的量称为平面向量．
向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
向量的大小称为向量的模（或长度），记作．
模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量．
与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作．
方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μ)=(λμ);(2)第一分配律：(λ+μ) =λ+μ;(3)第二分配律：λ()=λ +λ.
3、向量的数量积的运算律：(1) · =· （交换律）;
(2)（）· = （·）=· =·（）;(3)（）·= · +·.
4、平面向量基本定理：
如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得 =λ1 +λ2．
不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
5、坐标运算：（1）设，则
数与向量的积：λ，数量积：
（2）、设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则.（终点减起点）
6、平面两点间的距离公式：（1） =
（2）向量的模||：；
（3）、平面向量的数量积： ， 注意：，，
（4）、向量的夹角，则，
7、重要结论：（1）、两个向量平行： ，
（2）、两个非零向量垂直
（3）、P分有向线段的：设P（x，y） ，P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，且 ，

则定比分点坐标公式 中点坐标公式

．
。
【必修五】：
一、解三角形：（1）三角形的面积公式：：
（2）正弦定理：
（3）、余弦定理：
（4）求角：

二. 数列
1、数列的前n项和：； 数列前n项和与通项的关系：

2、等差数列 ：（1）、定义：等差数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数；
（2）、通项公式： （其中首项是，公差是；）

（3）、前n项和： （d≠0）

（4）、等差中项： 是与的等差中项： 或，三个数成等差常设：a-d，a，a+d
3、等比数列：（1）、定义：等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（）。

（2）、通项公式：（其中：首项是，公比是）

（3）、前n项和：

（4）、等比中项： 是与的等比中项：， 即（或，等比中项有两个）
三：不等式
1.一元二次不等式的解法
求一元二次不等式
解集的步骤：
一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.

2、重要不等式：（1） 或 (当且仅当a＝b时取“=”号)．

3、均值不等式：（2） 或
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
一正、二定、三相等
注意：解指数、对数不等式的方法：同底法，同时对数的真数大于0；
4、线性规划问题
⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：
法一：取点定域法：
由于直线的同一侧的所有点的坐标代入后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（如原点），由的正负即可判断出或表示直线哪一侧的平面区域.
即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.
法二：根据或，观察的符号与不等式开口的符号，若同号，或表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.
⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
⑶利用线性规划求目标函数为常数）的最值：
法一：角点法：
如果目标函数 （即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应值，最大的那个数为目标函数的最大值，最小的那个数为目标函数的最小值
法二：画——移——定——求：
第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线 ，平移直线（据可行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解；第四步，将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法：
利用的几何意义：,为直线的纵截距.
①若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最小值；
②若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最大值.
⑷常见的目标函数的类型：
①“截距”型：
②“斜率”型：或
③“距离”型：或
或
在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.

选修数学知识点
专题一：常用逻辑用语
1、命题：可以判断真假的语句叫命题；
逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；
简单命题：不含逻辑联结词的命题;
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题.
常用小写的拉丁字母，，，，……表示命题.
2、四种命题及其相互关系

四种命题的真假性之间的关系：
⑴、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3、充分条件、必要条件与充要条件
⑴、一般地，如果已知，那么就说：是的充分条件，是的必要条件；
若，则是的充分必要条件，简称充要条件．
⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件与结论之间的关系：
Ⅰ、从逻辑推理关系上看：
①若，则是充分条件，是的必要条件；
②若，但 ，则是充分而不必要条件;
③若 ，但，则是必要而不充分条件;
④若且，则是的充要条件；
⑤若 且 ，则是的既不充分也不必要条件.
4、复合命题
⑴复合命题有三种形式：或（）；且（）；非（）.
⑵复合命题的真假判断
“或”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；
“且”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；
“非”形式复合命题的真假判断方法：真假相对.
5、全称量词与存在量词
⑴全称量词与全称命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.
⑵存在量词与特称命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.
⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定①全称命题：，它的否定：全称命题的否定是特称命题．
②特称命题：，它的否定：特称命题的否定是全称命题.
专题二：圆锥曲线与方程
1．椭圆
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形

标准方程

第一定义
到两定点的距离之和等于常数2，即（）
第二定义
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
长轴的长 短轴的长
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点
、
、
焦距

离心率

准线方程

焦半径

左焦半径：
右焦半径：
下焦半径：
上焦半径：
焦点三角形面积

通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
（焦点）弦长公式
，

焦点在轴上
焦点在轴上
图形

标准方程

第一定义
到两定点的距离之差的绝对值等于常数，即（）
第二定义
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即
范围
或，
或，
顶点
、
、
轴长
实轴的长 虚轴的长
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点
、
、
焦距

离心率

准线方程

渐近线方程

焦半径

在右支
在左支
在上支
在下支
焦点三角形面积

通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：

图形

标准方程

定义
与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点不在定直线上)
顶点

离心率

对称轴
轴
轴
范围

焦点

准线方程

焦半径

通径
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：
焦点弦长
公式

参数的几何意义
参数表示焦点到准线的距离，越大，开口越阔
关于抛物线焦点弦的几个结论：
设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则
⑴ ⑵ ⑶ 以为直径的圆与准线相切；
⑷ 焦点对在准线上射影的张角为 ⑸
专题五：数系的扩充与复数
1、复数的概念⑴虚数单位；⑵复数的代数形式；
⑶复数的实部、虚部，虚数与纯虚数.
2、复数的分类
复数

3、相关公式
⑴⑵
⑶⑷
指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）.
4、复数运算
⑴复数加减法：；
⑵复数的乘法：；
⑶复数的除法：
（类似于无理数除法的分母有理化虚数除法的分母实数化）
5、常见的运算规律

6、复数的几何意义
复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中轴叫做复平面的实轴，轴叫做复平面的虚轴.

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