全国通用高中数学必修一第五章三角函数(三十一).docx

全国通用高中数学必修一第五章三角函数(三十一)

1

单选题
1、如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（    ）

A．ω＝2π15，A＝3B．ω＝152π，A＝3
C．ω＝2π15，A＝5D．ω＝152π，A＝5
答案：A
分析：根据最大值及半径求出A，根据周期求出ω.
由题目可知最大值为5，∴ 5＝A×1＋2⇒A＝3．
T=604=15，则ω=2πT=2π15．故选:A
2、f(x)=-sinx-xcosx+x2在[-π,π]的图象大致为（    ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：先由函数为奇函数可排除A，再通过特殊值排除B、D即可.
由f(-x)=-sin-x+xcosx+x2=--sinx-xcosx+x2=-fx，所以fx为奇函数，故排除选项A.
又fπ=-sinπ-πcosπ+π2=-ππ2-1<0，则排除选项B,D
故选：C
3、sin1860°等于（    ）
A．12B．-12C．32D．-32
答案：C
分析：用诱导公式先化简后求值.
sin1860°=sin5×360°+60°=sin60°=32,
故选: C
4、已知α ∈(0,π)，且3cos2α-8cosα=5，则sinα=（    ）
A．53B．23
C．13D．59
答案：A
分析：用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cosα的一元二次方程，求解得出cosα，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
3cos2α-8cosα=5，得6cos2α-8cosα-8=0，
即3cos2α-4cosα-4=0，解得cosα=-23或cosα=2（舍去），
又∵α∈(0,π),∴sinα=1-cos2α=53.
故选：A.
小提示：本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
5、把函数f(x)=sin2x-π4的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再把所得的图象向左平移a(a>0)个单位长度，得到函数y=cosx的图象，则a可以是（    ）
A．π8B．π4C．π2D．3π4
答案：D
分析：根据三角函数的图象变换得到y=sinx+a-π4，得到sinx+a-π4=cosx，结合选项，逐项判定，即可求解.
由题意，将函数fx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变可得函数y=sinx-π4的图象，将该图象向左平移a(a>0)个单位长度，
得到y=sinx+a-π4的图象，所以sinx+a-π4=cosx，
对于A中，当a=π8时，sinx+π8-π4=sinx-π8≠cosx，故A错误；
对于B中，当a=π4时，sinx+π4-π4=sinx≠cosx，故B错误；
对于C中，当a=π2时，sinx+π2-π4=sinx+π4≠cosx，故C错误；
对于D中，当a=3π4时，sinx+3π4-π4=sinx+π2=cosx，故D正确．
故选：D．
6、已知函数fx=sin2x+23sinxcosx-cos2x，x∈R，则（    ）
A．fx的最大值为1B．fx在区间0,π上只有1个零点
C．fx的最小正周期为π2D．x=π3为fx图象的一条对称轴
答案：D
分析：首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；
解：函数fx=sin2x+23sinxcosx-cos2x=3sin2x-cos2x
=2(32sin2x-12cos2x)=2sin(2x-π6)，
可得f(x)的最大值为2，最小正周期为T=2π2=π，故A、C错误；
由f(x)=0可得2x-π6=kπ,k∈Z，即x=kπ2+π12,k∈Z，
可知fx在区间0,π上的零点为π12,7π12，故B错误；
由f(π3)=2sin(2π3-π6)=2，可知x=π3为fx图象的一条对称轴，故D正确．
故选：D
7、在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）.设第x天时太阳直射点的纬度值为y，该科研小组通过对数据的整理和分析.得到y与x近似满足y=23.4392911sin0.01720279x.则每1200年中，要使这1200年与1200个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为（    ）（精确到1）参考数据π0.01720279≈182.6211
A．290B．291C．292D．293
答案：B
分析：设闰年个数为x，根据闰年个数对应天数一致的原则建立关系式366x+3651200-x=365.2422×1200，求解x即可.
解：T=2πω=2π0.01720279=2×182.6211=365.2422，
所以一个回归年对应的天数为365.2422天
假设1200年中，设定闰年的个数为x，则平年有1200-x个，
所以366x+3651200-x=365.2422×1200 
解得：x=0.2422×1200=290.64.
故选：B.
8、若sin(π-α)+cos(-α)=15，α∈(0,π)，则tan32π-α的值为（    ）
A．-43或-34B．-43C．-34D．34
答案：C
分析：根据同角三角函数的基本关系及诱导公式求解.
由sin(π-α)+cos(-α)=15可得：sinα+cosα=15，
平方得：sin2α+2sinαcosα+cos2α=125
所以tan2α+2tanα+1tan2α+1=125，
解得tanα=-43或tanα=-34，
又sinα+cosα=15，
所以|sinα|>|cosα|，
故tanα=-43，
故选：C
多选题
9、下列各式中，值为32的是（    ）
A．1-cos120°2B．cos2π12-sin2π12
C．cos15°sin45°-sin15°cos45°D．tan15°1-tan215°
答案：AB
分析：结合二倍角公式和正弦的差角公式依次讨论各选项即可得答案.
解：选项A：1-cos120°2=sin260°=sin60°=32；
选项B：cos2π12-sin2π12=cosπ6=32；
选项C：cos15°sin45°-sin15°cos45°=sin45°-15°=sin30°=12；
选项D：tan15°1-tan215°=12×2tan15°1-tan215°=12tan30°=12×33=36.
故选：AB.
10、若关于x的方程23cos2x-sin2x=3-m在区间-π4,π6上有且只有一个解，则m的值可能为（    ）
A．-2B．-1C．0D．1
答案：AC
分析：整理换元之后，原问题转化为cost=-m2在区间-π3,π2上有且只有一个解，即y=cost的图象和直线y=-m2只有1个交点. 作出简图，数形结合可得结果.
23cos2x-sin2x=3-m整理可得cos2x+π6=-m2，
令t=2x+π6，因为x∈-π4,π6，则t∈-π3,π2. 
所以cost=-m2在区间-π3,π2上有且只有一个解，即y=cost的图象和直线y=-m2只有1个交点.
由图可知，-m2=1或0⩽-m2<12，解得m=-2或-1<m⩽0.
故选：AC.

11、设函数fx=|cosx+a|+|cos2x+b|，a,b∈R，则（    ）
A．fx的最小正周期可能为π2B．fx为偶函数
C．当a=b=0时，fx的最小值为22D．存a，b使fx在0,π2上单调递增
答案：BCD
解析：A．分析fx=fx+π2是否恒成立；B．分析函数定义域，根据f-x,fx的关系判断是否为偶函数；C．采用换元法，将fx写成分段函数的形式，然后分析每一段函数的取值范围，由此确定出最小值；D．分析a=b=-1时的情况，根据复合函数的单调性判断方法进行分析判断.
A．因为fx+π2=cosx+π2+a+cos2x+π2+b=-sinx+a+-cos2x+b，
所以f0=a+1+b+1,fπ2=a-1+b，所以f0=fπ2不一定成立，
所以fx=fx+π2不恒成立，所以fx的最小正周期不可能为π2，故错误；
B．因为fx的定义域为R，关于原点对称；
又因为f-x=cos-x+a+cos-2x+b=cosx+a+cos2x+b=fx，
所以fx为偶函数，故正确；
C．因为a=b=0，所以fx=cosx+cos2x，所以fx=cosx+2cos2x-1
令cosx=t∈-1,1，记y=t+2t2-1,t∈-1,1，所以y=2t2-t-1,t∈-1,-22-2t2-t+1,t∈-22,0-2t2+t+1,t∈0,222t2+t-1,t∈22,1，
当t∈-1,-22时，y=2t2-t-1=2t-142-98>2-22-142-98=22，
当t∈-22,0时，y=-2t2-t+1=-2t+142+98≥-2-22+142+98=22，
当t∈0,22时，y=-2t2+t+1=-2t-142+98>-222-142+98=22，
当t∈22,1时，y=2t2+t-1=2t+142-98≥222+142-98=22，
综上可知：fx=cosx+2cos2x-1的最小值为22，取最小值时t=cosx=±22，故正确；
D．取a=b=-1，所以fx=|cosx-1|+|cos2x-1|，所以fx=1-cosx+1-cos2x，
所以fx=-2cos2x-cosx+3，所以fx=-2cosx+142+258，
又因为y=cosx在0,π2上单调递减，且x∈0,π2时，cosx∈0,1，且y=-2t+142+258在t∈0,1时单调递减，
根据复合函数的单调性判断方法可知：fx=-2cosx+142+258在0,π2上单调递增，
所以存在a=b=-1使fx在0,π2上单调递增，故正确，
故选：BCD.
小提示：思路点睛：复合函数fgx的单调性的判断方法：
（1）先分析函数定义域，然后判断外层函数的单调性，再判断内层函数的单调性；
（2）当内外层函数单调性相同时，则函数为递增函数；
（3）当内外层函数单调性相反时，则函数为递减函数.
12、已知函数fx=Asinωx+φ（其中A>0，ω>0，φ<π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．函数fx的图象关于x=π2直线对称
B．函数fx的图象关于点-π12,0对称
C．函数fx在区间-π3，π6上单调递增
D．y=1与图象y=fx-π12≤x≤23π12的所有交点的横坐标之和为8π3
答案：BCD
解析：根据图象求出函数解析式，再判断各选项．
由题意A=2，T=4×2π3-5π12=π，∴ω=2ππ=2，又2sin2×2π3+φ=-2，4π3+φ=2kπ-π2,k∈Z，又φ<π，∴φ=π6，
∴f(x)=2sin(2x+π6)．
∵2×π2+π6=7π6，∴x=π2不是对称轴，A错；
sin2×-π12+π6=0，∴-π12,0是对称中心，B正确；
x∈-π3，π6时，2x+π6∈-π2,π2，∴f(x)在-π3,π6上单调递增，C正确；
2sin2x+π6=1，sin2x+π6=12，2x+π6=2kπ+π6或2x+π6=2kπ+5π6,k∈Z，
即x=kπ或x=kπ+π3，k∈Z，又-π12≤x≤23π12，∴x=0,π3,π,4π3，和为8π3，D正确．
故选：BCD．
小提示：关键点点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题关键是掌握“五点法”，通过五点法求出函数解析式，然后结合正弦函数性质确定函数f(x)的性质．本题方法是代入法，整体思想，即由已知求出2x+π6的值或范围，然后结合正弦函数得出结论．
解答题
13、已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0<φ<π)是奇函数.
(1)求φ的值；
(2)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，得到函数g(x)的图象，求g(x).
答案：(1)π2；
(2)g(x)=-sin(12x-π3).
分析：（1）利用奇函数f(0)=0求参数φ.
（2）由（1）得f(x)=-sin2x，根据图象平移过程写出g(x)解析式.
（1）因为f(x)是奇函数，
所以f(0)=0，即cosφ=0.
又0<φ<π，所以φ=π2，检验符合.
（2）由（1）得：f(x)=cos(2x+π2)=-sin2x.
将f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到y=-sin2(x-π6)=-sin(2x-π3)的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，得到y=-sin(12x-π3)的图象.
故g(x)=-sin(12x-π3).
14、已知sinα=-35，且α是第________象限角.
从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：
（1）求cosα,tanα的值；
（2）化简求值：sin(π-α)cos(-α)sin32π+αcos(2020π+α)tan(2020π-α).
答案：（1）答案不唯一，具体见解析（2）1625
分析：（1）考虑α为第三象限或第四象限角两种情况，根据同角三角函数关系计算得到答案.
（2）化简得到原式=cos2α，代入数据计算得到答案.
（1）因为sinα=-35，所以α为第三象限或第四象限角；
若选③，cosα=-1-sin2α=-45,tanα=sinαcosα=34；
若选④，cosα=1-sin2α=45,tanα=sinαcosα=-34；
（2）原式=sinαcosα(-cosα)cosαtan(-α) =-sinαcosα-tanα =sinαcosαsinαcosα =cos2α =1--352 =1625.
小提示：本题考查了同角三角函数关系，诱导公式化简，意在考查学生的计算能力和转化能力.
15、已知函数f(x)=sinx-cosx    (x∈R).
(1)求函数y=f(x)⋅f(π-x)的单调递增区间；
(2)求函数y=f2(x)+f(2x-π4)的值域.
答案：(1)kπ,kπ+π2  k∈Z
(2)1-3,1+3
分析：（1）利用诱导公式及其余弦的二倍角公式化简，即为y=-cos2x，然后利用余弦函数的性质求其单调递增区间即可；
（2）利用正弦的二倍角公式及其辅助角公式化简，即为y=1-3sin(2x+φ)，利用正弦函数的性质求值域即可.
（1）
∵y=(sinx-cosx)sinπ-x-cosπ-x=(sinx-cosx)(sinx+cosx)
=sin2x-cos2x=-cos2x
∴2kπ≤2x≤2kπ+π⇒kπ≤x≤kπ+π2 k∈Z，
即所求单调递增区间为：kπ,kπ+π2 k∈Z；
（2）
y=(sinx-cosx)2+sin2x-π4-cos2x-π4 
=1-sin2x+2sin(2x-π2) =1-sin2x-2cos2x
=1-3sin(2x+φ)，其中tanφ=2 ，
即y∈1-3,1+3.

13